二项式定理单元测试题.docx
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二项式定理单元测试题
二项式定理单元测试题(人教B选修2-3)
一、选择题
1.设二项式
n的展开式的各项系数的与为P,所有二项式系数的与为S,若P+S=272,则n=( )
A.4 B.5
C.6D.8
解析:
4n+2n=272,∴2n=16,n=4.
答案:
A
2.
n的展开式中,常数项为15,则n等于( )
A.3 B.4
C.5D.6
解析:
∵Tr+1=Cnr(x2)n-r
r
=(-1)rCnrx2n-3r,
又常数项为15,∴2n-3r=0,
即r=
n时,(-1)rCnr=15,
∴n=6.故选D.
答案:
D
3.(1+2
)3(1-
)5的展开式中x的系数是( )
A.-4 B.-2
C.2D.4
解析:
(1+2
)3(1-
)5=(1+6x
+12x+8x
)(1-5x
+10x
-10x+5x
-x
),x的系数是-10+12=2.
答案:
C
4.在
6的二项展开式中,x2的系数为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析:
该二项展开式的通项为Tr+1=C6r
6-r·
r=(-1)rC6r·
·x3-r.
令3-r=2,得r=1.
∴T2=-6×
x2=-
x2.
答案:
C
5.C331+C332+C333+…+C3333除以9的余数是( )
A.7B.0
C.-1D.-2
解析:
原式=C330+C331+C332+…+C3333-C330
=(1+1)33-1=233-1=811-1=(9-1)11-1
=C110×911-C111×910+…+C1110×9×(-1)10+C1111×(-1)11-1
=C110×911-C111×910+…+C1110×9-2
=9M+7(M为正整数).
答案:
A
6.已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于( )
A.64B.32
C.63D.31
解析:
Cn0+2Cn1+…+2nCnn=(1+2)n=3n=729.
∴n=6,∴C61+C63+C65=32.
答案:
B
7.(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=( )
A.32B.-32
C.-33D.-31
解析:
令x=0,得a0=1;
令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=32
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=a0-32
=1-32=-31.
答案:
D
8.(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的与为243,不含y的项的系数绝对值的与为32,则a,b,n的值可能为( )
A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6
C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5
解析:
令x=0,y=1得(1+b)n=243,
令y=0,x=1得(1+a)n=32,将选项A、B、C、D代入检验知D正确,其余均不正确.故选D.
答案:
D
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)=________.(用数字作答)
解析:
在(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004中,令x=0,则a0=1,
令x=1,则a0+a1+a2+a3+…+a2004=(-1)2004=1,
故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)
=2003a0+a0+a1+a2+a3+…+a2004
=2004.
答案:
2004
10.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=________.
解析:
x3+x10=(x+1-1)3+(x+1-1)10
=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10
∴(x+1)9项的系数为C101(x+1)9(-1)1=-10(x+1)9
∴a9=-10.
答案:
-10
11.(1-
)20的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为__________.
解析:
(1-
)20的二项展开式的通项公式Tr+1=C20r(-
)r=C20r·(-1)r·x
,令
=1,∴x的系数为C202(-1)2=190.令
=9,∴x9的系数为C2018(-1)18=C202=190,故x的系数与x9的系数之差为0.
答案:
0
12.若
6展开式的常数项为60,则常数a的值为________.
解析:
Tr+1=C6rx6-r(-
)rx-2r=C6r(-
)rx6-3r,∴令r=2得
6的常数项为C62a,∴令C62a=60,15a=60,∴a=4.
答案:
4
三、解答题(每小题10分,共20分)
13.已知
n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
(1)证明展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
解析:
由题意:
2Cn1·
=1+Cn2·
2,即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去),
∴Tr+1=C8r(
)8-r·
r=
r·C8rx
·x
=(-1)r
·x
(0≤r≤8,r∈Z)
(1)若Tr+1是常数项,则
=0,即16-3r=0,
∵r∈Z,这不可能,∴展开式中没有常数项;
(2)若Tr+1是有理项,当且仅当
为整数,
∵0≤r≤8,r∈Z,∴r=0,4,8,
即展开式中有三项有理项,分别是:
T1=x4,T5=
x,
T9=
x-2.
14.求0.9986的近似值,使误差小于0.001.
解析:
0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)+15×
(-0.002)2+…+(-0.002)6,
∵T3=15×(-0.002)2=0.00006<0.001.
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001,
∴从第3项起,以后的项可以忽略不计,
即0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=0.988.
15.(10分)已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值.
解析:
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为Cm1·2x+Cn1·4x=(2Cm1+4Cn1)x,
∴2Cm1+4Cn1=36,即m+2n=18,
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为
t=Cm222+Cn242=2m2-2m+8n2-8n,
∵m+2n=18,∴m=18-2n,
∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612
=16
,
∴当n=
时,t取最小值,但n∈N*,
∴n=5时,t即x2项的系数最小,最小值为272,
此时n=5,m=8.
16.在(x-y)11的展开式中,求
(1)通项Tr+1;
(2)二项式系数最大的项;
(3)项的系数绝对值最大的项;
(4)项的系数最大的项;
(5)项的系数最小的项;
(6)二项式系数的与;
(7)各项系数的与.
解析:
(1)Tr+1=(-1)rC11rx11-ryr;
(2)二项式系数最大的项为中间两项:
T6=-C115x6y5,
T7=C116x5y6;
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:
T6=-C115x6y5,T7=C116x5y6;
(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故T7=C116x5y6;
(5)项的系数最小的项为T6=-C115x6y5;
(6)二项式系数的与为C110+C111+C112+…+C1111=211;
(7)各项系数的与为(1-1)11=0.
17.已知(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…a9y9,求:
(1)各项系数之与;
(2)所有奇数项系数之与;
(3)系数绝对值的与;
(4)分别求出奇数项的二项式系数之与与偶数项的二项式系数之与.
解析:
(1)令x=1,y=1,得
a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1
(2)由
(1)知,a0+a1+a2+…+a9=-1
令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59
将两式相加,可得a0+a2+a4+a6+a8=
,
即为所有奇数项系数之与.
(3)方法一:
|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|
=a0-a1+a2-a3+…-a9,
令x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9=59;
方法二:
|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|即为(2x+3y)9展开式中各项系数与,令x=1,y=1得,
|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=59.
(4)奇数项二项式系数与为:
C90+C92+…+C98=28.
偶数项二项式系数与为:
C91+C93+…+C99=28.
18.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n.
解析:
a0=1+1+…+1=n,an=1.
令x=1,则2+22+23+…+2n=a0+a1+a2…+an,
∴a1+a2+…+an-1=
-a0-an
=2(2n-1)-n-1=2n+1-n-3,
∴2n+1-n-3=29-n,∴n=4.
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- 二项式 定理 单元测试