届山东省栖霞市第一中学高三模拟考试数学文试题解析版.docx
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届山东省栖霞市第一中学高三模拟考试数学文试题解析版
2018届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟考试数学(文)试题(解析版)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵
,
,
∴
.选B.
2.在复平面内复数
(是虚数单位)对应的点所在的象限为()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】由题意可得:
,
复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.
本题选择C选项.
3.高三某班有学生
人,现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法,抽取一个容量为
的样本.已知
号,
号,
号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】高三某班有学生56人,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,
所以样本组距为
则
即样本中还有一个学生的编号为19,所以C选项是正确的.
4.在区间
上随机地取一个实数,则方程
有两个正根的概率为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵方程
有两个正根,
∴
,解得
或
.
由几何概型概率公式可得,在区间
上随机地取一个实数,则方程有实根的概率为
.选A.
点睛:
应用几何概型求概率的方法
(1)一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在数轴上即可;
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后建立与面积有关的几何概型;
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,然后建立与体积有关的几何概型.
5.已知向量
,
,且
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
∴
,
∴
.选D.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱柱截去一个角所得,故体积为
.
7.已知函数
,将其图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,若函数
为奇函数,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】将函数
图象向右平移
个单位长度后,得到的图象对应的解析式为
.由
为奇函数可得
,
故
,又
,所以
的最小值为
.选B.
8.已知实数
,
满足约束条件
若目标函数
取得最大值时的最优解有无数个,则的值为()
A.
B.
C.
或
D.
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分的
所示.
由
得
.因为
,所以要使
取得最大值时的最优解有无数个,故必有
.①当直线
与直线AC重合,即
时,直线
在y轴上的截距最大,此时取得最大值,且最优解有无数个,符合条件.②当直线
与直线BC重合时,直线
在y轴上的截距最小,此时取得最小值,不符合条件.故
,选B.
点睛:
线性规划问题中求参数值(或范围)的策略
已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求最优解,从而确定参数的值.
9.在
中,若
,
,则
的周长为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据正弦定理,
,那么
所以周长等于
故选C.
【点睛】正余弦定理是高考热点和重点,尤其边角互化的时候一般用正弦定理,
,变形为
这样将边化为角,利用三角函数的恒等变形和三角函数的性质求解,
这样也可将角的正弦的比例转化为边的比例关系,再结合余弦定理求解.
10.已知过原点的直线
与直线
垂直,圆
的方程为
,若直线
与圆
交于
,
两点,则当
的面积最大时,圆心
的坐标为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得
,所以
的面积为
,当
时,
的面积最大,此时
,即圆心
的坐标为
,选A.
11.已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于
,
两点,若
(
为坐标原点)的面积为
,且双曲线
的离心率为
,则抛物线
的准线方程为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程是
,抛物线的准线方程是
,A,B两点的纵坐标分别是
和
,双曲线的离心率为
,所以
,
,所以A,B两点的纵坐标分别是
和
,所以
,
,解得
,所以准线方程为
,故选D.
12.已知函数
,又
,若方程
有
个不同的实根,则的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
时,
,
,由此可得
,
,
递增,
时,
,
递减,
,因此在
时,
,当
时,易知
是增函数,且
,
,由
得
,设
,
显然不是此方程的解,因此
有4个不同的实根,则
有两个不等实根,其中
,所以
,解得
.故选C.
点睛:
方程根的问题通项与函数的零点,函数图象的交点相互转化,因此数形结合思想可以帮助我们得出解题思路和解题方法.研究函数的性质,得出函数的大致图象是解这类问题的基础.本题利用导数研究函数
的单调性、极值,得出函数图象,再结合二次方程的根的情况可易得.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数
则
__________.
【答案】
【解析】由题意得
,
故
.
答案:
14.已知为锐角,且
,则
__________.
【答案】
【解析】因为为锐角,所以
则
故填
.
15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,也就是大约一千五百年前,传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题:
“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?
”该著作中提出了一种解决问题的方法:
“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚加一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数
是
的整数倍时,均可采用此方法求解.如图,是解决这类问题的程序框图,若输入
,则输出的结果为__________.
【答案】121
【解析】由程序框图,循环前,
,循环时,
;
;
;
;
,满足判断条件,退出循环,
,输出
.
16.若三棱锥
的所有的顶点都在球
的球面上,且
平面
,
,
,
,则球
的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图,三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上,
因为
平面
,
所以
,所以
,
所以
截球
所得的圆
的半径
,
所以球
的半径
,
所以球
的表面积为
.
点睛:
本题主要考查了有关球的组合体问题,其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质,球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用,试题有一定的难度,属于中档试题,此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征,正确应用球的性质是解答的关键.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知正项数列
的前
项和为
,且
,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)求
的值.
【答案】
(1)
;
(2)2730.
【解析】试题解析:
(1)将已知等式中的n用n-1代换,所得等式与原式作差,可得
(
),再验证
的值,可得
是以2为首项,以2为公差的等差数列,进而写出通项公式;
(2)
可构成一个新的等差数列,利用等差求和公式即可求得.
试题分析:
(Ⅰ)因为
,①
②
所以
得,
,即
,
因为
,所以
,即
(
),
又由
,
,得
,所以
,
,
所以
是以2为首项,以2为公差的等差数列,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,所以
.
18.如图,在多面体
中,
是平行四边形,
,
,
两两垂直.
(1)求证:
平面
平面
;
(2)若
,求点
到平面
的距离.
【答案】
(1)见解析;
(2)
到平面
的距离为
.
【解析】试题分析:
(1)由线面垂直的判定定理,分别判断出
平面
以及
平面
再根据面面垂直的判定定理即可证得;
(2)根据已知可以求得三棱锥
的体积,根据
是平行四边形可知
又由(Ⅰ)知
平面
,可求得
根据
可求点
到平面
的距离.
试题解析:
(Ⅰ)证明:
∵
,
,
,∴
平面
,
∵
是平行四边形,∴
,∴
平面
,
∵
平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)解:
连接
.
∵
,
,
两两互相垂直,
,
∴
,
∴
,∴
,
∵
,∴
平面
,∴
.
又由(Ⅰ)知
平面
,
∴
,∴
.
设
到平面
的距离为
,所以由
,得
,
所以
,即
到平面
的距离为
.
19.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取
辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间,将统计结果分成
组:
,
,
,
,
,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中
的值;
(2)求续驶里程在
的车辆数;
(3)若从续驶里程在
的车辆中随机抽取
辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在
内的概率.
【答案】
(1)
;
(2)5;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为
可求得
.
(2)结合直方图和频数、样本容量和频率的关系求解即可.(3)由题意可知续驶里程在
和
内的车辆数分别为
辆,
辆,然后根据古典概型概率公式求解.
试题解析:
(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为
可得
,
解得
.
(2)由题意可知,续驶里程在
的车辆数为:
.
(3)由
(2)及题意可知,续驶里程在
内的车辆数为
,分别记为
;续驶里程在
内的车辆数为
,分别记为
.
从该
辆汽车中随机抽取
辆,所有的可能情况如下:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共
种.
设“恰有一辆车的续驶里程在
内”为事件
,则事件
包含的可能有
,
,
,
,
,
,共
种.
故
.
即恰有一辆车的续驶里程在
内的概率为
.
20.如图,椭圆
的离心率为
,顶点为
,
,
,
,且
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若
是椭圆
上除顶点外的任意一点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
.设
的斜率为
,
的斜率为
,试问
是否为定值?
并说明理由.
【答案】
(1)椭圆
的方程为:
;
(2)见解析.
试题解析:
(Ⅰ)解:
∵
,∴
,即
①
由已知,A
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- 山东省 栖霞市 第一 中学 模拟考试 数学 试题 解析
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