《误差理论与数据处理第7版》费业泰习题答案.docx
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《误差理论与数据处理第7版》费业泰习题答案
误差理论与数据处理》
习题及参考答案
(第七版)
第一章绪论
1—5测得某三角块的三个角度之和为
180°00'02”,试求测量的绝对误差
和相对误差
解:
绝对误差等于:
相对误差等于:
180°0002
180o2
2
2
2
180o180
6060
648000
0.000003086410.000031%
1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20m,试求
其最大相对误差。
8.6610-4%
1-10检定2.5级(即引用误差为2.5%)的全量程为100V的电压表,发现
50V刻度点的示值误差2V为最大误差,问该电压表是否合格?
相对误差
L1:
50mm
L2:
80mm
I1
I2
50.00450
50
80.00680
100%0.008%
100%0.0075%
该电压表合格
I1I2所以L2=80mm方法测量精度高。
1—13多级弹导火箭的射程为10000km时,其射击偏离预定点不超过0.1km,
优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心,试评述哪一个射
击精度高?
解:
多级火箭的相对误差为:
100000.00001°.001%
射手的相对误差为:
1Cm0.01m0.00020.002%
50m50m
多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm其测量误差分别为
11m和9m;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm
其测量误差为12m,试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
11
11
I2
13
0.01%
0.0082%
0.008%
m
110mm
9m
110mm
12m
150mm
I3I2I1第三种方法的测量精度最高
第二章误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次,测得数据(单位为mA为168.41,168.54,168.59,168.40,168.50。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
-168.41168.54168.59168.40168.50x
5
2
0.082(mA)
5
Vi
i1
168.488(mA)
2-7在立式测长仪上测量某校对量具,重量测量5次,测得数据(单位为mm
为20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。
若测量值服从正态分布,试以99%的置信概率确定测量结果。
-20.001520.001620.001820.001520.0011
x
5
20.0015(mm)
正态分布p=99%时,t2.58
limx
c“0.00025
2.58
0.0003(mm)
测量结果:
XxlimX(20.00150.0003)mm
2-9用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差
0.005mm,当置信概率为
0.004mm,若要求测量结果的置信限为
99%时,试求必要的测量次数。
正态分布p=99%时,t2.58
-2.580.004ccc,
、n2.064
0.005
n4.26
取n5
2-9用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差0.001mm,若要求测
量的允许极限误差为土0.0015mm,而置信概率P为0.95时,应测量多少次?
解:
根据极限误差的意义,有
根据题目给定得已知条件,有
查教材附录表3有
t2.782.78
.n52.236
1.24
若n=5,v=4,a=0.05,有t=2.78,
若n=4,v=3,a=0.05,有t=3.18,
3.18
3.18
2
1.59
即要达题意要求,必须至少测量5次。
2-12某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa)为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。
8
_PiXi
Xq102028.34(Pa)
Pi
i1
8
2PiVxi
i1
8
(81)Pi
i1
2-13测量某角度共两次,测得值为1241336,22413'24'',其
标准差分别为13.1,213.8,试求加权算术平均值及其标准差。
11
p1:
p22:
219044:
961
12
-1904416''9614''
x241320''1904429614241335''
19044961
x-3.1''J190443.0''
xx\2V19044961
i1Pi
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次,测得
值如下:
甲:
7220,730,7235,7220,7215;
1:
1
8.2326.042
3648:
6773
乙:
7225,7225,7220,7250,7245;
试求其测量结果。
甲18.4"
8.23"
364830"677333"了。
?
了。
^"
8.23
3648
36486773
4.87
P甲
P甲P乙
36486773
Xx3x7232''15''
2
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/S、标准差为
22
0.014m/s。
另外30次测量具有平均值为9.802m/s,标准差为
2
0.022m/s。
假设这两组测量属于同一正态总体。
试求此50次测量的平均
值和标准差。
1
1
1
1cC,
P1:
P22:
2
2
2242:
147
X12
xf
0.014
0.022
20
30
2429.811
147
9.802
2
X
9.808(m/s)
242
147
0.014
242
2
X-
—0.0025m/s
J20V242147
2-19对某量进行10次测量,测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,
14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。
X14.96
按贝塞尔公式10.2633
10
Vi
按别捷尔斯法21.253——i10.2642
<10(101)
由—1u得u」10.0034
11
uj20.67所以测量列中无系差存在。
如1
2-18对一线圈电感测量10次,前4次是和一个标准线圈比较得到的,后6
次是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH:
50.82,50.83,50.87,50.89;
50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。
试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。
使用秩和检验法:
排序:
序号
1
2
3
4
5
第一组
第二组
50.75
50.78
50.78
50.81
50.82
序号
6
7
8
9
10
第一组
50.82
50.83
50.87
50.89
第二组
50.85
T=5.5+7+9+10=31.5查表T14T30
n1(n21)
(—2)
203;
(山n2(mn21))
12
474求出:
TT所以两组间存在系差
0.1
2-21对某量进行两组测量,测得数据如下:
Xi
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
1.57
yi
0.99
1.12
1.21
1.25
1.31
1.31
1.38
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解:
按照秩和检验法要求,将两组数据混合排列成下表:
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xi
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
yi
0.99
1.12
1.21
T
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Xi
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
yi
1.25
1.31
1.31
1.38
T
21
22
23
24
25
26
27
28
Xi
1.57
yi
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
现nx=14,ny=14,取Xi的数据计算T,得T=154。
由
1.96。
由
现取概率2(t)0.95,即(t)0.475,查教材附表1有t
于tt,因此,可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件,量块组由四块量块研合
而成,它们的基本尺寸为l140mm,l212mm,l3「25mm,
I41.005mm。
经测量,它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为
110.7ml20.5m130.3m
555
I40.1m,limli0.35m,Iiml20.25m,0.20m,
讪丨4°.2Om。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。
修正值=(l1l2l314)
=(0.70.50.30.1)
=0.4(m)
测量误差:
—2222
l=^lim片liml2limI3limI4
=(0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2
=0.51(m)
3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为a161.6mm,
0.8mm
b44.5mm,c11.2mm,已知测量的系统误差为a1.2mm,
b0.8mm,c0.5mm,测量的极限误差为a
0.5mm
0.5mm,试求立方体的体积及其体积的极限误差。
VabcVf(a,b,c)
Voabc161.644.511.2
3
80541.44(mm)
体积V系统误差V为:
Vbcaacbabc
33
2745.744(mm)2745.74(mm)
立方体体积实际大小为:
VV0V77795.70(mm3)
limV
(f)22
(b)b
c
2
c
(bc)2
2222
(ac)2b(ab)2c
3
3729.11(mm3)
测量体积最后结果表示为
VVo
3
VlimV(77795.703729.11)mm
3-4
别为
P
测量某电路的电流I22.5mA,电压U
0.5mA,U0.1V,求所耗功率
UI
12.6V,测量的标准差分
PUI及其标准差P。
Pf(U,I)U、I成线性关系
UI1
f、22,f、22
ff
P;(U)U(I)I
2()()uI
UI
12.622.5283.5(mw)
U
IIUUI22.50.112.60.5
8.55(mw)
3—12按公式V=nr2h求圆柱体体积,若已知r约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少?
解:
若不考虑测量误差,圆柱体积为
223
Vrh3.14220251.2cm
根据题意,体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为:
-1%
V
即V1%251.21%2.51
现按等作用原则分配误差,可以求出
测定r的误差应为:
r2
1
2.51
1
0.007cm
V/r
1.412hr
测定h的误差应为:
1
2.51
1
0.142cm
h2
V/h
1.41
2r
3-14对某一质量进行4次重复测量,测得数据(单位g)为428.6,429.2,
426.5,430.8。
已知测量的已定系统误差2・6g,测量的各极限误差分
量及其相应的传递系数如下表所示。
若各误差均服从正态分布,试求该质量
的最可信赖值及其极限误差。
序号
极限误差/g
误差传递系数
随机误差
未定系统误差
1
2.1
一
1
2
一
1.5
1
3
一
1.0
1
4
一
0.5
1
5
4.5
一
1
6
一
2.2
1.4
7
1.0
一
2.2
8
一
1.8
1
-428.6429.2426.5430.8
X
4
428.775(g)428.8(g)
5(f)
i1Xi
最可信赖值xx428.82.6431.4(g)
(f)2
Xi
4.9(g)
测量结果表示为:
xX
x(431.44.9)g
第四章测量不确定度
4—1某圆球的半径为r,若重复10次测量得r±cr=(3.132±0.005)cm,
试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率
P=99%。
解:
①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为:
D2r
其标准不确定度应为:
u.Dr222r2-.43.1415920.0052
Vr
=0.0314cm
确定包含因子。
查t分布表to.01(9)=3.25,及K=3.25
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:
U=Ku=3.25X0.0314=0.102
②求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为:
r24r22
其标准不确定度应为:
163.1415923.13240.00520.616
确定包含因子。
查t分布表t0.0i(9)=3.25,及K=3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U=Ku=3.25X0.616=2.002
4-4某校准证书说明,标称值10的标准电阻器的电阻R在20C时为
10.000742129(P=99%),求该电阻器的标准不确定度,并说明属
于哪一类评定的不确定度。
Q由校准证书说明给定
属于B类评定的不确定度
QR在[10.000742-129,10.000742+129]范围内概率为
99%不为100%
不属于均匀分布,属于正态分布
a129当P=99%时,Kp2.58
皂佟50(
Kp2.58
4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组由
三块量块研合而成,其尺寸分别是:
1140mm,1210mm
I32.5mm,量块按“级”使用,经查手册得其研合误差分别不超过
0.45m、0.30m、0.25m(取置信概率P=99.73%的正态分布)
求该量块组引起的测量不确定度。
L52.5mml140mm
l210mm
l32.5mm
l1
l213
99.73%
Kp3
a
kp
0.45
3
0.15(
m)Ul2
a
kp
号0.10(m)
Ul3
0.25
3
0.08(
m)
Ul
Ul1Ul2Ul3
0.1520.1020.082
0.20(m)
第五章线性参数的最小二乘法处理
3x
y2.9
5-1测量方程为
x
2y0.9试求x、y
的最小—
1乘法处理及其相应精度。
2x
3y1.9
V1
2.9(3x
y)
误差方程为
V2
0.9(x
2y)
V3
1.9(2x
3y)
n
n
n
ai1ai1x
ai1li
列正规方程
i1
i1
i1
代入数据得
n
n
n
i1
ai2ai1x
i1
ai2ai2y
i1
14x5y134解得xo・962
测量数据的标准差为
求解不定乘数dl1
d21
--
3
2
2
v
Vi
i1■
i1
0.038
v
nt
-32
14d11
5d12
1
5d11
14d12
0
14d21
5d?
2
0
5d21
14d22
1
d12
d22
5x14y4.6y0.015
V1
2.9(30.9620.015)
0.001
将x、y代入误差方程式v2
0.9
(0.9622
0.015)
0.032
V3
1.9
(20.962
30.015)
0.021
解得d11d220.082
x、y的精度分别为x.d110.01
■'d220.01
5-7不等精度测量的方程组如下:
x3y
4xy
2xy
5.6,P1
8.1,P2
0.5,P3
V1
5.
6(x
3y),P1
1
列误差方程v2
8.1
(4x
y),P2
2
V3
0.5
(2x
y),P3
3
3
3
3
piai1ai1
xPi
ai1ai2ypiai1
正规方程为
i1
i1
i1
3
3
3
piai2ai1
xP
iC2ai2yPiai
i1
i1
i1
试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。
代入数据得
2li
li
45xy
x14y
陀2解得
31.5
1.434
将x、y代入误差方程可得
则测量数据单位权标准差为
求解不定乘数
解得d11
d22
Vi
V2
V3
2.352
0.022
0.012
0.016
3
2
PM
i1
0.039
45d11
d12
1
d11
d12
d11
14d12
0
d21
d22
45d21
d22
0
d21
14d22
1
0.022
0.072
x、y的精度分别为
d110.006
0.010
第六章回归分析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。
对某种材料试验的数据如下:
正应力x/Pa
26.8
25.4
28.9
23.6
27.7
23.9
抗剪强度y/Pa
26.5
27.3
24.2
27.1
23.6
25.9
正应力x/Pa
24.7
28.1
26.9
27.4
22.6
25.6
抗剪强度y/Pa
26.3
22.5
21.7
21.4
25.8
24.9
假设正应力的数值是正确的,求
(1)抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。
(2)当正应力为24.5Pa时,抗剪强度的估计值是多少?
(1)设一元线形回归方程
y
b0
bx
N12
b
1xy
'xx
〔xx
43.047lXy
29.533
bo
y
bx
x
1
311.625.97
12
.lxyb一
29.533
0.69y
1
297.224.77
1xx
43.047
12
b。
24.770.6925.9742.69
?
42.690.69x
(2)当
iX=24.5Pa
?
42.690.6924.525.79(Pa)
6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线yabx表示。
X
30
35
40
45
50
55
60
y
-0.4786
-2.188
-11.22
-45.71
-208.9
-870.9
-3802
X
yablog(y)log(a)logbx
乙log(y)Z2x
取点做下表
Z2
30
40
50
60
Z1
-0.32
1.05
2.32
3.58
以Zi与Z2画图
所得到图形为一条直线,故选用函数类型yabx合适
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- 误差理论与数据处理第7版 误差 理论 数据处理 费业泰 习题 答案