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盈不足问题
盈不足问题
《九章算术》中第七章的第一题是:
今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。
问人数物价各几何?
其意是:
有若干人共同买东西,如果每人出8块钱,则余3声,如果每人出7块钱,则少4块,问人数及所买东西的价格各是多少?
《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。
全书分九章共246个应用问题,是以问题集形式出现的数学名著。
它成书于公元1世纪,内容丰富多彩,在许多方面都居于世界领先地位。
“盈不足问题”的解决方法被称作盈不足术,设人出a1盈b1,人出a2不足b2,则
(1)
(2)
(3)
按照这组公式,开始所述问题可得解
有一个盈数和一个不足数是简单的标准的盈不足问题,使用公式
(1)、
(2)、(3)问题便迎刃而解。
如果把这组公式作适当的变通,则可以解出“两盈”、“两不足”。
“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。
下面是这四类问题的例子。
“今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。
问人数金价各几何?
”
“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。
问人数羊价各几何?
”
“今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。
问人数豕价各几何?
”
“今有共买犬,人出五,不足九十,人出五十,适足。
问人数犬价各几何?
”
以上四个问题的解题公式是:
对于“两盈”或“两不足”问题,有
对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题,有
其中a1、a2是前后两次付款数,b1、b2是相应的或盈,或不足,或适足数。
据上述公式,可分别计算出上述四题的答案,按顺序为:
33人,金价9800;21人,羊价150;10人,豕价900;2人,犬价100。
在《九章算术》的盈不足章中,前八个题目是明显的盈不足问题。
而后面的十二个题,在形式上不属于盈不足问题,但是作者仍然用盈不足术来解,十分巧妙。
例如,“今有垣高九尺。
瓜生其上,蔓日长七寸,瓠生其下,蔓日长一尺。
问几何日相逢?
瓜、瓠各长几何?
”
其意是:
有一堵高9尺的墙,墙顶上长一棵瓜,瓜蔓日长7寸往下爬;墙脚种瓠,瓠蔓日长1尺往上爬,问几天后瓜和瓠相逢,相逢时瓜和瓠各长多少?
我们假设生长了5日,瓜瓠共长了(0.7+1)×5=8.5(尺),距9尺还差5寸,再设生长了6日,瓜瓠共长了(0.7+1)×6=10.2(尺),比9尺又多出了1.2尺。
即“假令五日,不足五寸,令之六日,有余一尺二寸。
”可见,此时问题表现就是盈不足问题。
瓜瓠相逢日数=
瓜长长度=
瓠长长度=
这种计算方法在形式上是先采取两次假设,得出相应数值,以此为条件便构成盈不足问题,进而用盈不足术解之。
盈不足术后来被传到西方,受到数学家们的高度重视,得到了辉煌的发展,在世界数学只上占有相当高的地位,特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法(假设法)倍受人们推崇。
13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释,并称之为“秤盘法”。
这在1222年伊本—阿尔班纳的著作《塔尔基斯》中有记载“秤盘法是一种几何方法,其内容为:
取一定形式的秤,并在支架上放上已知量。
在一秤盘上放一任选量,然后根据要求增加,所得结果与已知量比较,如果任选量对了,则秤盘上的量即等于已知量;如果没选对,则记下这一盘的误差。
然后,在另一秤盘中放入另一任选量,重复以上步骤。
做完这些之后,将每盘误差乘以另一盘之量,如果两盘误差都是正数或都是负数,则从较大误差中减去较小误差,同时,从较大的乘积减去较小的乘积,之后,将乘积之差除以误差之差。
如果两盘之误差一正一负,则将乘积之和除以误差之和。
”
假设法(或称秤盘法)可以算是一种一次内插法,在高等数学中求某些方程的近似实根时,要借助这种方法。
著名科学史专家李瑟说得好:
“盈和不足的要领在哲学上是十分重要的,它推动了所有的古代数学,也推动了希腊的生物学。
”
第七讲盈亏问题
解盈亏问题,常常用到比较法。
例1:
三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动,如果每人搬4块砖,还剩7块;如果每人搬5块,则少2块砖,这个班少先队有几个人?
要搬的砖共有多少块?
(共有少先队员9人,砖的总数是43块。
)
例2:
妈妈买回一筐苹果,按计划吃的天数算了一下,如果每天吃4个,要多出48个苹果;如果每天吃6个,则又少5个苹果,那么妈妈买回的苹果有多少个?
计划吃多少天?
(有苹果128个,计划吃20天。
)
例3:
学校规定上午8时到校,小明去上学,如果每分钟走60米,可提早10分钟到校;如果每分钟走50米,可提早8分钟到校,求小明几时几分离家刚好8时到校?
由家到学校的路程是多少?
(小明7点40分离家去上学刚好8时到校;小明的家离校有600米。
)
例4:
学校为新生分配宿舍,每个房间住3人,则多出23人;每个房间住5人,由空出3个房间,问宿舍有多少间?
新生有多少人?
(有19间宿舍,新生有80人)
例5:
少先队员去植树,如果每人种5棵,还有3棵没人种;如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵,这些树苗正好种完,问有多少先队员参加植树,一共种多少树苗?
(有7个少先队员,一共种38棵树。
)
例6:
红山小学学生乘汽车到香山春游,如果每车坐65人,则有5人不能乘上车;如果每车多坐5人,恰多余了一辆车,问一共有几辆汽车,有多少学生?
(一共有15辆汽车,980名学生)
练习:
1、阿姨给幼儿园小朋友分饼干,如果每人分3块,则多出16块饼干;如果每人分5块,那么就缺4块饼干,问有多少小朋友,有多少块饼干?
2、某校同学排队上操,如果每行站9人,则多37人;如果每行站12人,则少20人,一共有多少学生?
3、小强由家里到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,小强家到学校的路程是多少米?
4、少先队员参加绿化植树,他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍,如果每人栽3棵梨树苗,还余2棵;如果每人栽7棵苹果树苗,要少6棵,问有多少少先队员?
他们准备栽多少棵苹果树和梨树?
5、学校进行大扫除,分配若干人擦玻璃,其中两人各擦4块,其余各擦5块,则余12块;若每人擦6块,则正好擦完,求擦玻璃的人数及玻璃的块数?
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