高中立体几何测试题及答案理科.docx
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高中立体几何测试题及答案理科
立体几何测试题
1.如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2正方形,AE=EB,F为CE上点,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B—AC—E大小余弦值;
2.已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面是菱形,且
,F为棱BB1中点,M为线段AC1中点.
(1)求证:
直线MF//平面ABCD;
(2)求证:
平面AFC1⊥平面ACC1A1;
(3)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角大小.
3、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:
BD⊥平面PAC;
(2)
(2)若PH=1,AD=2,求二面角B-PC-A正切值;
4、如图,直三棱柱
中,
,
是棱
中点,
(1)证明:
(2)求二面角
大小.
5.如图,
是正四棱锥,
是正方体,其中
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求平面
与平面
所成锐二面角
大小;
(Ⅲ)求
到平面
距离.
6.已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F为CD中点.
(Ⅰ)求证:
AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值;
(Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角大小.
7.
已知斜三棱柱
,
,
,
在底面
上射影恰为
中点
,又知
。
(I)求证:
平面
;
(II)求
到平面
距离;
(III)求二面角
大小
8.
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC中点,AA1=AB=1.
(I)求证:
A1C//平面AB1D;
(II)求二面角B—AB1—D大小;
(III)求点c到平面AB1D距离.
参考答案
1、解:
(Ⅰ)
平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角,且
,
平面ABE.
(Ⅱ)连结BD交AC于C,连结FG,
∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=
,
平面ACE,
由三垂线定理逆定理得FG⊥AC.
是二面角B—AC—E平面角
由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,又
,
∴在等腰直角三角形AEB中,BE=
.
又
直角
,
,
∴二面角B—AC—E大小余弦值等于
2、解(Ⅰ)延长C1F交CB延长线于点N,连结AN.因为
F是BB1中点,
所以F为C1N中点,B为CN中点.
又M是线段AC1中点,故MF//AN.
(Ⅱ)证明:
连BD,由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1
可知:
平面ABCD,
又∵BD
平面ABCD,
四边形ABCD为菱形,
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD,
平面ACC1A1.
ACC1A1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知BD⊥ACC1A1,又AC1
ACC1A1,
∴BD⊥AC1,∵BD//NA,∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC可知NA⊥AC,
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角平面角或补角.
在Rt△C1AC中,
,
故∠C1AC=30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角大小为30°或150°
3.
4.【答案】
(1)在
中,
得:
同理:
得:
面
(2)
面
取
中点
,过点
作
于点
,连接
,面
面
面
得:
点
与点
重合
且
是二面角
平面角
设
,则
,
既二面角
大小为
5.解:
(Ⅰ)连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,又∵
∴
∵
∴
.
(Ⅱ)∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥面PBD,过点O作OM⊥PD于点M,连结AM,则AM⊥PD,∴∠AMO就是二面角A-PD-O平面角,
又∵
∴AO=
PO=
∴
即二面角大小为
.
(Ⅲ)用体积法求解:
解得
,
即
到平面PAD距离为
6.解:
(Ⅰ)∵DE⊥平面ACD,AF
平面ACD
∴DE⊥AF。
又∵AC=AD=C,F为CD中点
∴AF⊥CD,
∴AF⊥面CDE
∴AF⊥平面CDE。
(Ⅱ)∵
取DE中点M,连结AM、CM,则四边形AMEB为平行四边形
AM//BE,则∠CAM为AC与BE所成角。
在△ACM中,AC=2a
由余弦定理得:
∴异面直线AC、AE所成角余弦值为
。
(Ⅲ)延长DA。
EB交于点G,连结CG。
因为AB//DE,AB=
DE,所以A为GD中点。
又因为F为CD中点,所以CG//AF。
因为AF⊥平面CDE,所以CG⊥平面CDE。
故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角平面角易求∠DCE=45°
7.解:
(I)因为
平面
,
所以平面
平面
,
又
,所以
平面
,
得
,又
所以
平面
;
(II)因为
,所以四边形
为
菱形,
故
,又
为
中点,知
。
取
中点
,则
平面
,从而面
面
,
过
作
于
,则
面
,
在
中,
,故
,
即
到平面
距离为
。
(III)过
作
于
,连
,则
,
从而
为二面角
平面角,
在
中,
,所以
,
在
中,
,
故二面角
大小为
。
8.(I)证明:
连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE.
∵ABC—A1B1C1是正三棱柱,且AA1=AB,
∴四边形A1ABB1是正方形,
∴E是A1B中点,
又D是BC中点,
∴DE∥A1C.
∵DE
平面AB1D,A1C
平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(II)解:
在面ABC内作DF⊥AB于点F,在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G,连接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC,∴DF⊥平面A1ABB1,
∴FG是DG在平面A1ABB1上射影,∵FG⊥AB1,∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B—AB1—D平面角
设A1A=AB=1,在正△ABC中,DF=
在△ABE中,
,
在Rt△DFG中,
,
所以,二面角B—AB1—D大小为
(III)解:
∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,
∴AD⊥平面B1BCC1,又AD
平面AB1D,∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D延长线于点H,
则CH长度就是点C到平面AB1D距离.
由△CDH∽△B1DB,得
即点C到平面AB1D距离是
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