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数学建模A题参考论文
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
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)
日期:
2013年9月15日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
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阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要
随着城市的发展,城市交通问题越来越受到重视,其中各种各样的占道堵塞交通的问题是其中的主要问题,如车祸,占道施工等,对占道问题的研究有助于这些问题的科学解决,本文研究了车祸时车道被占用对城市道路通行能力的影响,通过两个简单易懂的模型解决了题中的问题。
对于问题一和问题二,我们建立了实际通行能力的模型,将不同的车辆进行标准化处理,然后统计了视频中的pcu量,通过将数据分析后选择了三角函数使用cftool工具箱进行曲线拟合,得到了实际通行能力与时间的函数关系,最后通过分析相互关系和不同车道车辆数,交通信号机制等相关因素完成了前两个问题。
对于问题三和问题四,我们建立了堵车长度的数学模型,建立起堵车长度与实际道路通行能力,上游车流量,堵车时间的定量函数关系,同样通过对视频pcu量统计,进行曲线拟合,确定未知参数来获得相应函数关系,并使用该函数进行预测和分析。
将问题四给出的数据带入三中的模型中,解得T约等于5.5分钟。
对于不可避免的模型的缺点,我们在模型扩展中进行了新的尝试,部分得以解决。
关键字曲线拟合方法堵车长度数学模型实际道路通行能力三角函数cftool工具箱上游车流量pcu量
一、问题重述
随着经济的快速发展,一系列的交通道路问题出现,给人们的生活带来了不便。
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点,一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆排队,出现交通阻塞。
如处理不当,甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1,2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面,且完全占用两条车道。
根据视频描述正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,为交通管理部门的工作提供理论依据。
现在要解决的问题是:
1.根据视频1的描述,在交通事故发生至撤离期间,求出事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论,结合视频2,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.分析视频1交通事故所影响的路段车辆排队长中度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,科学合理的建设数学模型。
4.假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。
请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。
二、问题分析
2.1问题一的分析
根据视频所给信息,我们需要知道间隔一定时间内的行车数量,由于不同的车辆大小不一,根据对视频的观察,可以简单的将车辆分为大小两种,按照惯例将小车一辆定为1pcu,大车一辆定为2pcu,小车:
括面包车,小汽车。
大车包括:
公交车,各种大型大巴车。
通过对视频一观察统计数据并进行拟合,在一定时间变化内(30s)车的数量,通过换算,求出pcu/h,再通过定义的通行当量计算出来,通过当量的变化,就可以反映出通行能力的变化。
2.2问题二的分析
对于该问题,比较两次车祸发生在不同的车道,对该横断面实际通行能力影响的差异。
所以我们首先应该画出视频2在交通事故发生至撤离期间,求出事故所处横断面实际通行能力的变化过程图。
同样应该利用第一个问题建立的通行指数模型,画出图形,通过两次车祸对通行指数的不同影响来分析事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
同样如视频1的记录方法,对视频2进行记录换算。
并比较二者之间的差异,然后进行分析原因。
2.3问题三的分析
对于问题三,是要我们分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,科学合理的建设数学模型。
我们需要求出路段车辆排队长度L,横断面实际通行能力C(T),事故持续时间T,路段上游车流量Q(T).
车辆排队长度应该是排队车的数量与每辆车平均所占长度的乘积(在单车道内),排队车的数量可以由上游车流量和事故横截面的通行能力相减得出,对于每辆车所占的长度,可以在视频中显示长度数据120米时,计算120米以内的车辆的多少,(由于视频中出现120米时车辆之间并不是完全充满,但可以认为有些密集可以认为为堵车的情况可以使用,因为所求的长度也是在同样的条件下),然后求平均就是再除以车道数,就得出单行车道的车流量。
就求出路段车辆排队长度L,横断面实际通行能力Ci,事故持续时间T,路段上游车流量Q(T)的关系,所建立的模型就是L与Ci,T,Q(T),的关系,
2.4问题四的分析
问题四要解决的是如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。
估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。
给定了排队的长度为140米,根据第三问所建立阻车长度数学模型:
L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n,将数值代入模型公式中,得出有关时间的方程,用数学软件将方程求解,可以得出时间的值,即为所求。
三、模型假设
(1)假设小汽车,面包车为小型车,公交车,大巴车,等为大型车;
(2)假设一辆小型车为1pcu,一辆大型车为2pcu;
(3)不考虑两种车型内的个体差异;
(4)假设进入事故路段时各车道车多少符合附件中出路口时的比例;
(5)假设堵车时一个车辆占据的长度一定,计算时采取平均;
(6)假设横截面积的车辆通行能力等于它的车流量(考虑堵车因素,行车能力接近);
(7)
四,符号说明
Ni表示视频1中在一定时间t内大车小车换算为标准车当量数;
t表示记录视频1,2中车型的时间间隔;
Ci表示视频1中车祸点截面实际通行能力;
a表示小汽车,面包车的数量;
b表示公交车,各种大巴车的数量;
Nj表示视频2中在一定时间t内大车小车换算为标准车当量数;
Cj表示视频2中车祸点截面实际通行能力;
Pcu表示标准车当量数,pcu也称当量交通量,是将实际的各种机动车和非机动车交通量按一定的折算系数换算成某种标准车型的当量交通量;
T表示事故引起的交通阻塞持续的时间;
Q(T)表示上游车流量;
d表示每一辆标准车平均占位长度的大小;
n表示车道数;
C(T)表示横断面实际通行能力;
L(T)表示交通事故所影响的路段车辆排队长度;
H表示交通阻塞的一段距离;
Nk表示一段距离H的车辆总数;
五,模型的建立与求解
问题一,要求在交通事故发生至撤离期间,出事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
经过对视频和问题的分析,我们建立了通行量的模型,在通过对数的整理和分析,画出有关图像,对横断面实际通行能力的变化过程,进行描述。
则实际道路通行能力:
Ci=Ni/t;
在一定时间t内总的通行量Ni
则通行量:
Ni=;
综合可以得出通行能力Ci=(a*1+b*2)/t;
通过对视频车辆进行统计(统计内容在附录中)实际道路通行能力拟合函数:
简化后拟合函数为200*sinx+1100
如下图所示
视频1实际通行能力的变化过程
*表示在交通事故发生至撤离期间,记录数据
连线为拟合的正弦曲线
拟合函数200*sinx+1100
图形分析:
由图可知在交通事故发生至撤离期间,出事故所处横断面实际通行能力的变化过程大致,成周期正弦变化,由于信号灯的周期变化,当红灯亮时车流量减低,但是不会为零,这是由于右转相位不受信号灯控制。
当绿灯,黄灯亮,则可以行走,则实际通行能力慢慢增加。
当红灯亮时则实际通行能力又减少,绿灯等如上,则就大致呈正弦周期性变化。
问题二,比较两次车祸发生在不同的车道,对该横断面实际通行能力影响的差异。
经过对视频和问题的分析,通过建立的通行能力的模型,在通过对数的整理和分析,画出有关图像,并与视频1横断面实际通行能力的变化过程图像比较分析,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异的原因。
视频二实际道路通行能力:
Cj=Nj/t;
在一定时间t内总的通行量N1
则通行量:
Nj=a*1+b*2;
代入以上公式分别求出视频1,2的实际道路通行能力平均值:
视频1中实际道路通行能力平均值为1104pcu/h;
视频2中实际道路通行能力平均值为1298.571429pcu/h;
(求解过程在附录中,在此不再详细解释)
由以上可知视频2的实际道路通行能力平均值大于视频1的实际道路通行能力平均值
上图为视频1、2实际通行能力的变化过程
——折线表示视频2实际通行能力的变化过程
—*—折线表示视频1实际通行能力的变化过程
图形分析:
由图可知车在右车道阻塞较左车道实际道路通行能力小,也就是阻塞严重。
其原因可由附件三可知右车道流量比例为21%,直行车道流量比例为44%,左转车道流量比例35%,当发生交通阻塞在左边两车道时阻挡79%流量比例。
当发生交通阻塞在右边两车道时阻挡65%流量比例,所以视频1的实际通行能力小于视频2的实际通行能力。
由附件三可知三个车道的宽度都为3.25米,然而流量比例都不相同,通过视频也可以观察到人们在左边和直行车道多,这也人们习惯或根据市区道路通行规定分布,人们需求决定它的流量比例的变化。
则造成视频1的实际通行能力小于视频2的实际通行能力.
问题三,构建堵车长度数学模型
分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系.横截面实际通行能力Ci与时间t的关系.从数据分析我们可以研究实际通行能力与时间的关系,用C(T)来表示;
同样可以通过观察统计得到上游车流量与时间的关系,用Q(T)表示;
对于每台车子所占的长度d:
d=H*n/Nk
方程说明:
根据视频我们取H=120米,120米数据由于车辆不满,所以采取人工填充处理
由视频知n=3
Nk通过记录计算求得;
根据视频最后得出d的值为12;即按照视频所在的场景,一辆车所占的单道距离是12米,具体统计数据在附录中给出。
根据建立的数学关系式,对数据进行模拟分析,求出路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系.
最后得出堵车长度数学模型:
L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n
其中Q(T)路段上游车流量可通过统计求出;
C(T)横断交通通行能力由第一题求得;
拟合函数Q(T)=1000*sin(1.6*T)+1100;
C(T)=200*sin(T)+1100;
路段上游车流量与时间的关系图与拟合图
—*—表示路段车辆上游车流量与时间的实际关系图
——表示路段车辆上游车流量与时间的拟合关系图
图形分析:
分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力与事故持续时间,路段上游车流量与时间的关系大体呈周期性正弦变化,这样的周期性变化是因为信号灯周期形变化,(此处使用的是简单的模型,在模型扩展中讨论了上游车流量的变化模型),当发生交通事故时交通阻塞,视频中路段车辆排队长度时增时减,对应着车流量,通行能力得周期性,根本原因是上游车流量与截面通行能力的差距不明显,具体数据请参看附录,根据模型:
L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n
当Q(T)比C(T)小时,不做考虑;
当Q(T)比C(T)略大时,由于两者的周期性,会出现Q(T)-C(T)时而大于0,时而小于0的情况,而视频中正好处于这种情况,所以堵车队伍时长时短,但因为Q(T)比C(T)略大,所以堵车队长整体处于增加状态。
当Q(T)比C(T)大很多时,增加状态就比较明显。
问题四,对于该问题要求如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。
估算从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。
我们采用第三题的用到的模型,带入相关数值即可求出结果。
(在模型扩展里面有进一步的讨论)
路段上游车流量Q=1500pcu/h
所处横断面距离上游路口H=140米
事故发生时车辆初始排队长度L=0米
阻车长度数学模型:
L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n
每台车子所占的长度d:
d=H*n/Nk计算得出为12米
则实际道路通行能力:
C(T)=Nj/t;
拟合化简后的函数为200*sin(t)+1100;
联立求得T≈5.5min(求解过程在附录中)
从事故发生开始经过5.5min,,车辆排队长度将到达上游路口。
六,模型结果分析
1,对于问题
(1)我们经过对视频和问题的分析,我们建立了通行能力的模型,在通过对数的整理和分析,画出有关图像,对横断面实际通行能力的变化过程,进行描述。
从而知道横断面实际通行能力大致为正弦图像,图像的周期性变化与信号灯的周期变化有关,当红灯亮时车流量减低,但是不会为零,这是由于右转相位不受信号灯控制。
有一部份向右转,所以车流量不会为零。
当绿灯,黄灯亮,则可以行走,则实际通行能力快速增加。
对于问题
(1)我们通过在一段时间t间隔,连续记录车流量。
画出与实际相符的图形,由于数据少不太科学,并且在人工数数时会有一定的误差,有时无法保证一定等时间隔,可能会多出几秒钟。
2,对于问题
(2)通过分析题意可知视频2,在求在交通事故发生至撤离期间,求出事故所处横断面实际通行能力的变化过程与视频1在同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
如第一题一样求解相同思路,运用Mtlab画出视频1,2的实际通行能力的变化过程图像。
由图形可知视频1的实际通行能力小于视频2的实际通行能力。
这是由于右车道流量比例为21%,直行车道流量比例为44%,左转车道流量比例35%,当发生交通阻塞在左边两车道时阻挡79%流量比例。
当发生交通阻塞在右边两车道时阻挡65%流量比例,所以视频1的实际通行能力小于视频2的实际通行能力。
运用Mtlab画出二者图形,更加方便比较在同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
但是在数数时无法准确保证一定的时间间隔,使实验解果带来误差。
3,对于问题(3)通过对视频1的交通事故所影响的路段车辆排队长中度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,科学合理的建设阻车长度数学模型方程为L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n,通过观察记录,模拟出函数为拟合函数z=1000*sin(1.6*x)+1100;函数图象变化具有周期性,这与实际交通灯周期性变化相符。
模型的结果在一定程度上反应了实际情况的周期性变化,比较直观,但是由于记录统计的内容较多,所以给实验造成误差。
4,对于问题(4),已给出事故发生的条件,代入模型三中的阻车长度数学模型:
L(T)={[Q(T)-C(T)]*T*d}/n;求出T约等于5.5分钟。
七,模型的优缺点分析
模型优点
1,在问题
(1)中通过对在交通事故发生至撤离期间,出事故所处横断面实际通行能力的变化过程描述,观察出它的周期性变化,通过曲线拟合更加明显易懂。
图形的周期性变化与信号灯的周期变化有关,当红灯亮时车流量减低,但是不会为零,这是由于右转相位不受信号灯控制。
有一部份向右转,所以车流量不会为零。
当绿灯,黄灯亮,则可以行走,则实际通行能力快速增加。
这与实际相比较非常科学。
2,在问题
(2)中根据问题1所得结论,结合视频2,分析说明了同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
运用Mtlab画出二者的变化规律,易于比较,图形更加直观的反应了二者关系,易于分析理解。
3,问题三四中建立的长度模型,简单容易理解。
4,模型中上游车流量与截面通行能力采取的三角函数拟合符合数据较好,
5,同时也照应了交通信号灯对车流量的周期性影响
6,并且该模型完整的解决了题中的问题,并对类似的问题有相应的分析预测能力,比如占道对交通的影响;
模型的缺点
1,在问题
(1)
(2)中由于数据少不太科学,并且在人工数数时会有一定的误差,有时无法准确保证一定是等时间间隔,可能会多出几秒钟,则导致车数多于实际值,造成误差。
2,,当然,模型也有不足之处,应用范围较窄,而且对于模型中一辆车所占的长度由于数据缺少,从视频中分析得到的结果误差较大
八,模型的推广
对于问题1模型的改进与推广
(1)考虑,为了计算和分析问题方便,对一些范围不确定的因素我因素上的改进
在模型的建立中们把其设为常数,从而简化了问题。
为此我们可以综合考虑多因素建立模型,以减小误差,求得更精确的结果。
(2)统计数据方法的改进
车流量随时间的变化,通行的各种类型的车不相同,但我们只统计成了两种车型并转化成标准的当量数。
为此我们也可以利用处理视频的软件来精确的得到所需要的各种信息,减少工作量、减小偶然误差。
(3)解题方法的改进
本案例建立的三个模型只是简单地运用了拟合、回归的方法解决了多因素与排队长度之间的关系,我们还可以用BP神经网络模型进行计算机编程多次模拟。
(4)城市道路交通事故时车辆排队长度受到事故横截面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量等的影响,本文通过建立合理的数学模型,给出三个自变量与因变量之间的关系,它同样也适用于其他方向,例如:
教学评估、产品销量的影响等。
方法简单易行,便于推广使用。
对于三从路口开始的交通流的模型推广
通过题中对上游路口车流量的统计,以及我们对交通灯的了解我们可以看出来车流量具有一定的周期性,所以我们用同样具有周期性的三角函数来拟合,但很明显,观测点距离路口的距离不同,观察到的车流量的规律就不相同,由于司机的反应时间,驾车速度等的不同,开始时的车流量差异会随着时间或路程而减小,如下两幅图可以大致的反应出变化,当距路口足够远时,会趋于一条直线,也就是车流量稳定,不再变化。
显然如果有足够的数据建立起交通流的变化模型可以使我们更加准确的对交通情况进行判断,还可以的出车速的正态分布,反应时间的正态分布等信息,同时,一切有类似变化的问题都可以用相近的模型进行分析。
2,对于题中使用的模型,使用的是变量之间关系进行建立,利用该模型可以方便的得出要求的结果,在扩展方面,可以将模型进行变形,可以应用于各种不同的交通问题。
参考文献参考文献
[1]姜启源,数学模型(第三版),北京,高等校育出版社,2008年3月1日。
[2]韩中庚,数学建模竞赛——获奖论文精选与点评,北京,科学出版社,2007
[3]作者不详交通模型论文
2013-9,-14
[4]作者不详,道路通行能力计算,
2013-9-13
附录
视频二的截面通行能力统计
小车
大车
标准pcu
pcu/h
9
0
9
1080
9
3
15
1800
12
1
14
1680
7
1
9
1080
8
0
8
960
12
1
14
1680
8
1
10
1200
12
0
12
1440
8
1
10
1200
7
3
13
1560
7
0
7
840
10
2
14
1680
8
0
8
960
12
0
12
1440
9
1
11
1320
14
0
14
1680
9
2
13
1560
10
0
10
1200
9
0
9
1080
8
1
10
1200
10
0
10
1200
10
0
10
1200
8
2
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4
0
4
480
6
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1200
8
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12
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10
0
10
1200
9
1
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1320
12
0
12
1440
10
1
12
1440
9
1
11
1320
9
2
13
1560
8
1
10
1200
10
0
10
1200
8
1
10
1200
11
0
11
1320
5
2
9
1080
11
1
13
1560
10
1
12
1440
12
0
12
1440
7
2
11
1320
9
1
11
1320
8
2
12
1440
9
1
11
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8
1
10
1200
8
1
10
1200
5
3
11
1320
5
1
7
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7
2
11
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9
1
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1320
8
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