第19讲相似三角形.docx
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第19讲相似三角形
龙文教育
个性化辅导教案讲义
任教科目:
数学
授课题目:
第19讲相似三角形
年级:
九年级
任课教师:
胡国东
授课对象:
武汉龙文个性化教育
常青二校区
教研组组长签字:
教学主任签名:
日期:
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师
胡国东
授课时间
授课题目
相似三角形
课型
专题复习
使用教具
教学目标
1探索三角形相似条件,与全等三角形类比。
学会用AA,SAS,SSS
判定两个三角形相似
2通过教学,让学生掌握三角形相似的条件并会灵活运用
教学重点和难点
重点:
掌握判定三角形相似的三个条件
难点:
证明三角形相似的方法
参考教材
武汉市中考教参中考题库
教学流程及授课详案
一、相似三角形与全等三角形的区别和联系
全等三角形
相似三角形
定义
能够完全重合的两个三角形
对应角相等,对应边成比例的两个三角形
图形性质
形状、大小完全一样
形状一样、大小未必一样
表示方法
△ABC≌△A,B,C,
△ABC∽△A,B,C,
性质
对应角相等,对应边相等
对应角相等,对应边的比相等
相似比
区别与联系
(1)找对应元素的方法一样
(2)全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定全等
二、相似三角形的判定方法
判定方法1
∵___________
∴△ABC∽△ADE
判定方法2
∵________________
∴△ABC∽△A,B,C,
判定方法3
∵_____________,∠B=∠B,
∴△ABC∽△A,B,C,
判定方法4
∵___________,__________
∴△ABC∽△A,B,C,
△ACD∽△CBD∽△ABC
考点一:
相似三角形的判定与性质:
例1、如图,△PCD是等边三角形,A、C、D、B在同一直线上,且∠APB=120°.
求证:
⑴△PAC∽△BPD;⑵CD2=AC·BD.
例2、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x函数关系式及自变量x值范围,并求出当x为何值时AE取得最小值?
(3)在AC上是否存在点E,使得△ADE为等腰三角形?
若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由?
例3、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B:
1)求证:
△ADF∽△DEC;
2)若AB=4,
AE=3,求AF的长。
考点二:
射影定理:
例4、如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。
例5、如图,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上的一点,且AF=
AD,EG⊥CF于点G,
(1)求证:
△AEF∽△BCE;
(2)试说明:
EG2=CG·FG.
例6、已知:
如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE.
(1)求证:
四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?
若存在,请说明点
的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.
考点三:
相似之共线线段的比例问题:
例7、已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:
例8、如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.
(1)求证:
PC2=PE•PF;
(2)若菱形边长为8,PE=2,EF=6,求FB的长.
例9、如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,E为AC的中点,ED交CB的延长线于F.
求证:
BD•CF=CD•DF.
例10、如图:
已知在等边三角形ABC中,点D、E分别是AB、BC延长线上的点,且BD=CE,直线CD与AE相交于点F.
(1)求证:
DC=AE;
(2)求证:
AD2=DC•DF.
例11、如图,E是矩形ABCD的边BC上一点,EF⊥AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG⊥AC,垂足为G,BG交AE于点H.
(1)找出与△ABH相似的三角形,并证明;
(2)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长.
例12、如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:
(1)AE=CG;
(2)AN•DN=CN•MN.
例13、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE•CM=AC•CD.
例14、如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证:
FD2=FB•FC;
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?
并说明理由.
例15、如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗?
说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
中考真题训练
、选择题(24分)
1.DE是ABC的中位线,则ADE与ABC面积的比是()
A.1:
1B.1:
2C.1:
3D.1:
4
2.如图,已知△ADE∽△ABC,相似比为2:
3,则
=()
(A)3:
2(B)2:
3(C)2:
1(D)不能确定
3.如图,已知△ACD∽△BCA,若CD=4,CB=9,则AC等于()
(A)3(B)4(C)5(D)6
4.△ADE∽△ABC,相似比为2:
3,则△ADE与△ABC的面积比为()
(A)2:
3(B)3:
2(C)9:
4(D)4:
9
5.若DE是△ABC的中位线,△ABC的周长为6,则△ADE的周长为()
(A)4(B)3(C)2(D)1
6.如图,△ABC中,DE∥BC,AD=1,DB=2,AE=2,那么EC=()
(A)1(B)2(C)3(D)4
7.如图,D是△ABC的AB边上的一点,过点D作DE∥BC交AC于E。
已知AD:
DB=2:
3.则S△ADE:
SBCED=()
(A)2:
3(B)4:
9(C)4:
5(D)4:
21
三、解答题:
1.已知:
如图4,△PMN是等边三角形,∠APB=120°。
求证:
AM·PB=PN·AP。
2.如图,△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE,连结ED并延长交AB于F,交AH于H。
(1)求证:
AH=CE
(2)如果AB=4AF,EH=8,求DF的长。
3.如下图,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证:
DE2=BE·CE.
4、过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证:
AE∶ED=2AF∶FB.
5、如果四边形ABCD的对角线交于O,过O作直线OG∥AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证:
OG2=GE·GF.
6、下图中,E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE∶EC=1∶3,BE的延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证:
BF∶FG=1∶2.
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- 19 相似 三角形
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