第二章22第2课时等差数列的性质.docx
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第二章22第2课时等差数列的性质
第2课时 等差数列的性质
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是关于n的常数函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点.
2.等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广:
在等差数列{an}中,已知a1,d,am,an(m≠n),则d=
=
,从而有an=am+(n-m)d.
(2)项的运算性质:
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
3.等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有
数列
结论
{c+an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*)
{pan+qbn}
公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)
(3){an}的公差为d,若d>0⇔{an}为递增数列;若d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.( )
(2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.( )
(3)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,则am+an=ar.( )
(4)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9是等差数列.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于( )
A.3 B.-3 C.
D.-
答案:
A
3.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
答案:
13
4.在等差数列{an}中,a4+a6=12,则a5=________.
答案:
6
探究点一 等差数列性质的应用
(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21
C.28D.35
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.
[解析]
(1)利用等差数列性质可知a3+a4+a5=3a4=12,所以a4=4,
所以a1+a2+…+a7=7a4=28.
(2)法一:
因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为第四项,
所以a60=a15+3d,得d=4,所以a75=a60+d=24.
法二:
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
a60=a15+45d,
所以20=8+45d,所以d=
,
a75=a15+60d=8+60×
=24.
[答案]
(1)C
(2)24
本例
(2)中条件变为“在等差数列{an}中,若a5=8,a10=20”,求a15.
解:
法一:
因为a5,a10,a15成等差数列,
所以a5+a15=2a10.
所以a15=2a10-a5=2×20-8=32.
法二:
因为{an}为等差数列,设其公差为d,
所以a10=a5+5d,所以20=8+5d,
所以d=
.
所以a15=a10+5d=20+5×
=32.
解决本类问题一般有两种方法:
(1)运用等差数列{an}的性质:
若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数);
(2)利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
1.在等差数列{an}中:
(1)a5=11,a8=5,则a10=________.
(2)a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则a1+a20等于________.
解析:
(1)设公差为d,因为a8=a5+(8-5)×d,所以d=
=-2,所以a10=a8+(10-8)×d=1.
(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20=18.
答案:
(1)1
(2)18
探究点二 等差数列的设法与求解
已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.
[解] 法一:
根据题意,设等差数列{an}的前三项分别为a1,a1+d,a1+2d,则
即
解得
或
因为数列{an}为单调递增数列,所以
从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1.
法二:
由于数列{an}为等差数列,所以可设前三项分别为a-d,a,a+d,由题意得
即
解得
或
由于数列{an}为单调递增数列,所以
从而an=4n-1.
等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程求出a1和d,即可确定此等差数列的通项公式.
(2)当已知数列有3项时,可设为a-d,a,a+d,此时公差为d.若有5项、7项、…时,可同理设出.
(3)当已知数列有4项时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,此时公差为2d.若有6项、8项、…时,可同理设出.
2.已知有四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.
解:
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
解得
或
所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.
探究点三 等差数列的实际应用问题
某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
[解] 设从第一年起,第n年的利润为an万元,则a1=200,an+1-an=-20(n∈N+),所以每年的利润构成一个等差数列{an},从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
解答数列实际应用问题的基本步骤
(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;
(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;
(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;
(4)求解,即求出该问题的数学解;
(5)还原,即将所求结果还原到实际应用问题中.
3.我国某地区为了防止沙漠流动,缓解沙尘暴的侵蚀,决定建立若干条防沙林带,其中最前面一条长133km,最后面一条长293km,各条的长度成等差数列且公差为40km,试求该防沙林带的条数.
解:
用{an}表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列,
由已知条件,有a1=133,an=293,d=40.
由通项公式,得293=133+(n-1)×40,解得n=5.
故该防沙林带一共有5条.
探究点四 等差数列的综合问题(规范解答)
(本题满分12分)已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?
[解]
(1)由题意,等差数列{an}的通项
公式为an=3-5(n-1)=8-5n,(2分)
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第
m项,
则需满足
所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(4分)
(2)由
(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,
(6分)
且首项为b1=-7,公差为d′=-20,
(8分)
所以bn=b1+(n-1)d′
=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.
(10分)
(3)因为m=4n-1,n∈N*,所以当n=110时,
m=4×110-1=439,
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
(12分)
(1)已知等差数列{an}的基本量后,求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式,首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成,从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键.
(2)有关两个等差数列公共项问题,处理办法有两种,一是将公共项组成等差数列;二是从通项公式入手,利用最小公倍数,建立am=bn这样的方程,再求一定范围内的整数解.
4.一个等差数列的首项是8,公差是3;另一个等差数列的首项是12,公差是4,这两个数列有公共项吗?
如果有,求出最小的公共项,并指出它分别是两个数列的第几项.
解:
首项是8,公差是3的等差数列的通项公式为an=3n+5;首项是12,公差是4的等差数列的通项公式为bm=4m+8.
根据公共项的意义,就是两项相等,令an=bm,
即n=
+1,该方程有正整数解时,m=3k,k为正整数,令k=1,得m=3,则n=5,
因此这两个数列有最小的公共项为20,分别是第一个数列的第5项,第二个数列的第3项.
1.等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
(1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列.
(2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列;
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列.
(3)若数列{kn}是等差数列,则数列{akn}也是等差数列.
(4)从等差数列{an}中等距离抽取项,所得的数列仍为等差数列,当然公差要随之发生变化.
2.应用等差数列的性质时,应注意以下两点
(1){an}为等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,反之不一定成立.
(2)等差数列{an}中,若m=p+q,则am=ap+aq不一定成立.
1.在等差数列{an}中,若a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )
A.-9 B.-8
C.-7D.-4
解析:
选B.由a6=a4+6得2d=6,
解得d=3.
又a2=a1+d=-5,
所以a1=-8.
2.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )
A.24B.22
C.20D.-8
解析:
选A.根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,
所以已知等式可变为2a8+3a8=120,
解得a8=24,
所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.
3.等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则a35=________.
解析:
由a25是a15与a35的等差中项得2a25=a15+a35,所以a35=2a25-a15=2×66-33=99.
答案:
99
4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
解:
设这三个数为a-d,a,a+d,由已知得
由①得a=6,代入②得d=±2.
因为该数列是递增数列,
所以d>0,即d=2.
所以这三个数依次为4,6,8.
[A 基础达标]
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的递增的等差数列
B.是公差为5的递增的等差数列
C.是首项为7的递减的等差数列
D.是公差为2的递减的等差数列
解析:
选A.因为an-an-1=(2n+5)-[2(n-1)+5]=2(n≥2),且d>0,
所以{an}是公差为2的递增的等差数列.
2.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40等于( )
A.40 B.70
C.80D.90
解析:
选D.法一:
因为a20=a10+10d,
所以50=30+10d,
所以d=2,
a40=a20+20d=50+20×2=90.
法二:
因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,
所以a30=70,
又因为2a30=a20+a40,
所以2×70=50+a40,
所以a40=90.
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( )
A.12B.8
C.6D.4
解析:
选B.由等差数列性质a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
所以a8=8,又d≠0,所以m=8.
4.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )
A.30B.27
C.24D.21
解析:
选B.法一:
设b1=a1+a4+a7=39,
b2=a2+a5+a8=33,
b3=a3+a6+a9,
因为{an}成等差数列,
所以b1,b2,b3成等差数列,
所以a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.
法二:
设等差数列{an}的公差为d,则
a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,
所以33=39+3d,
所以3d=-6,
所以a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27.
法三:
因为a1+a4+a7=39,
所以3a4=39,
所以a4=13,
同理a5=11,
所以d=a5-a4=11-13=-2,
所以a6=a5+d=11-2=9,
所以a3+a6+a9=3a6=3×9=27.
5.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q等于( )
A.p+qB.0
C.-(p+q)D.
解析:
选B.设等差数列{an}的公差为d.
因为ap=aq+(p-q)d,
所以q=p+(p-q)d,
即q-p=(p-q)d,
因为p≠q,所以d=-1.
故ap+q=ap+[(p+q)-p]d=q+(-1)q=0.
6.已知{an}为等差数列,若a3+a11=10,则a6+a7+a8=________.
解析:
因为a3+a11=a6+a8=2a7=10,
所以a6+a7+a8=
(a3+a11)=15.
答案:
15
7.在等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的根,则a5+a8=________.
解析:
由已知得a3+a10=3.
又数列{an}为等差数列,
所以a5+a8=a3+a10=3.
答案:
3
8.在-1和7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,则a=________,c=________.
解析:
因为-1,a,b,c,7成等差数列,则
解得a=1,c=5.
答案:
1 5
9.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},试求{bn}的通项公式.
解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a1+a2+a3=12,a8=16,
所以
解得a1=2,d=2,
所以an=2+2(n-1)=2n(n∈N*).
(2)由题意bn=a2n=4n(n∈N*).
10.首项为a1,公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件:
(1)a3+a5+a7=93;
(2)满足an>100的n的最小值是15,
试求公差d和首项a1的值.
解:
因为a3+a5+a7=93,
所以3a5=93,所以a5=31,
所以an=a5+(n-5)d>100,所以n>
+5.
因为n的最小值是15,所以14≤
+5<15,
所以6
, 又d为正整数,所以d=7,a1=a5-4d=3. [B 能力提升] 1.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m-n|=( ) A.1B. C. D. 解析: 选C.设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2, 再设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2, 因为a1= ,所以d= , 所以a2= + = ,a3= +1= , a4= + = , 所以|m-n|=|a1a4-a2a3|= = . 2.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件: a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________. 解析: 因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以c20=c11+9d=1+9×2=19. 又{cn}为21项的对称数列, 所以c2=c20=19. 答案: 19 3.已知数列{an}中,a1=4. (1)若an=an+1+3,求a10; (2)若数列 为等差数列,且a6= ,求数列{an}的通项公式. 解: (1)因为an=an+1+3, 所以an+1-an=-3, 所以数列{an}是首项为4,公差为-3的等差数列. 所以a10=4+9×(-3)=-23. (2)因为a1=4,a6= , 所以 = , =4, 设等差数列 的公差为d,则 = +5d,所以4= +5d, 解得d= , 所以 = +(n-1)× = . 所以an= . 4.(选做题)有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销: 买一台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问: 去哪家商场购买花费较少? 解: 设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买时,售价依台数n成等差数列,设该数列为{an},an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18, 当购买台数小于18台时,每台售价为800-20n,当购买台数大于或等于18台时,每台售价为440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%=600(元), 作差得(800-20n)n-600n=20n(10-n), 当n<10时,600n<(800-20n)n; 当n=10时,600n=(800-20n)n; 当10<n<18时,(800-20n)n<600n; 当n≥18时,440n<600n. 所以当购买少于10台时到乙商场花费较少;当购买10台时到两商场购买花费相同;当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
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