冀教版八年级数学下册《2242矩形的判定》同步练习含答案.docx
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冀教版八年级数学下册《2242矩形的判定》同步练习含答案
冀教版八年级数学下册《
22.4.2矩形的判定
》同步练习(含答案)
1.在▱ABCD中,∵∠ABC=________°,∴▱ABCD是矩形.
2.已知:
线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:
矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:
图15
甲:
1.以点C为圆心,AB长为半径画弧;
2.以点A为圆心,BC长为半径画弧;
3.两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求(如图15).
图16
乙:
1.连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
2.连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求(如图16).
对于两人的作业,下列说法正确的是( )
A.两人都对B.两人都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
3.如图17,在△ABC中,D是BC边上的点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:
BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
图17
4.在四边形ABCD中,∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=________°,∴四边形ABCD是矩形.
5.如图18所示,已知在▱ABCD中,各个内角的平分线相交于点E,F,G,H.
(1)猜想EG与FH之间的数量关系;
(2)试证明你猜想的正确性.
图18
6.如图19,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需再添加的条件是( )
图19
A.AO=OCB.AC=BD
C.AC⊥BDD.BD平分∠ABC
7.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°
C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BD
D.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD
7.如图20,在▱ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件________,使四边形DBCE是矩形.
图20
9.如图21,E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点,延长EF到点D,使得DF=EF,连接DA,DB,AE.
(1)求证:
四边形ACED是平行四边形;
(2)若AB=AC,试说明四边形AEBD是矩形.
图21
10.如图22,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AD∥BC,AC=BD,那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AD=BCB.AB=CD
C.∠DAB=∠ABCD.∠DAB=∠DCB
图22图23
11.如图23,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF长的最小值为________.
12.如图24,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′,在DC与AB上的垂足分别是M,N与M′,N′,连接EF.
求证:
四边形EFNM是矩形.
图24
13.如图25所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若E,F是AC上的两动点,分别从A,C两点以1cm/s的速度同时向点C,A运动.
(1)四边形DEBF是平行四边形吗?
请判断并说明理由;
(2)若BD=12cm,AC=16cm,当运动时间t为何值时,四边形DEBF是矩形?
图25
14.如图26,矩形ABCD的面积为20cm2,对角线AC,BD相交于点O;以AB,AO为邻边作▱AOC1B,对角线交于点O1;以AB,AO1为邻边作▱AO1C2B对角线交于点O2;…;依此类推,则▱AO4C5B的面积为( )
图26
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
15.如图27,在△ABC中,点O在AB边上,过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,过点B作BE⊥BD交直线OD于点E,连接AE,AD.
(1)求证:
OE=OD;
(2)当点O在AB的什么位置时,四边形BDAE是矩形?
请说明理由.
图27
1.90
2.A [解析]由甲同学的作业可知,CD=AB,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形.所以甲的作业正确;由乙同学的作业可知,
CM=AM,MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形.所以乙的作业正确.
3.解:
(1)证明:
由题意,得AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
在△AEF和△DEC中,∵
∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.
∵AF=BD,∴BD=CD.
(2)四边形AFBD是矩形.
理由:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵AF=BD,
AF∥BC,
∴四边形AFBD是平行四边形.
又∵∠ADB=90°,∴四边形AFBD是矩形.
4.90
5.解:
(1)EG=FH.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°.
又∵AF,BH分别平分∠BAD,∠ABC,
∴∠DAE=∠BAE=
∠DAB,∠ABE=∠CBE=
∠ABC,∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠AEB=90°,∴∠FEH=90°.
同理可证∠EFG=90°,∠EHG=90°,
∴四边形EFGH为矩形,
∴EG=FH.
6.B
8.C [解析]如图,
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∴A选项正确;
∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠BAD=90°,∴▱ABCD是矩形,∴B选项正确;∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥DC.∵∠BAD=∠BCD,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,而AC⊥BD不能判定▱ABCD是矩形,∴C选项不正确;∵∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴AD∥BC.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∵
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠BAD=90°,∴▱ABCD是矩形,∴D选项正确.故选C.
8.答案不唯一,如EB=DC [解析]添加EB=DC.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC.又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形.又∵EB=DC,∴▱DBCE是矩形.故答案可以是EB=DC.
9.解:
(1)证明:
∵E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点,
∴EF∥AC,EF=
AC.
∵DF=EF,∴EF=
DE,
∴AC=DE.又∵EF∥AC,
∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵DF=EF,AF=BF,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC,AC=DE,∴AB=DE,
∴四边形AEBD是矩形.
9.B [解析]A项,当AD=BC,AD∥BC时,四边形ABCD是平行四边形,再依据
AC=BD,可得四边形ABCD是矩形;B项,当AB=CD,AD∥BC时,四边形ABCD不一定是平行四边形,也可能是等腰梯形;C项,当∠DAB=∠ABC,AD∥BC时,∠DAB=
∠CBA=90°,再根据AC=BD,可得Rt△ABD≌Rt△BAC,进而得到AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠DAB=90°,∴四边形ABCD是矩形;D项,当∠DAB=∠DCB,AD∥BC时,∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,再依据AC=BD,可得四边形ABCD是矩形.
11.2.4 [解析]连接AP.∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠BAC=∠AEP=
∠AFP=90°,
∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,要使EF最小,只要AP最小即可.当AP⊥BC时,AP最小.在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AC=4,AB=3,由勾股定理得BC=5,由三角形面积公式得
×4×3=
×5×AP,∴AP=2.4,即EF=2.4.
12.证明:
如图,过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H.
∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM′⊥AB,
∴EG=ME,EG=EM′,
∴EG=ME=EM′=
MM′.
同理可证FH=NF=N′F=
NN′.
∵CD∥AB,MM′⊥CD,NN′⊥CD,
∴MM′=NN′,
∴ME=NF.
又∵MM′∥NN′,MM′⊥CD,
∴四边形EFNM是矩形.
13.解:
(1)是.
理由:
在▱ABCD中,有OD=OB,OA=OC.
∵E,F两点移动的速度相同,且同时开始运动,即AE=CF,∴OE=OF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)∵四边形DEBF是平行四边形,
∴当BD=EF时,四边形DEBF是矩形.
∵BD=12cm,∴EF=12cm,
∴OE=OF=6cm.
∵在▱ABCD中,AC=16cm,∴OA=OC=8cm,
∴AE=2cm或AE=14cm.
∵动点的速度是1cm/s,
∴t=2s或t=14s.
故当运动时间t为2s或14s时,四边形DEBF是矩形.
14.B [解析]设矩形ABCD的面积为S.
∵O为矩形ABCD的对角线的交点,∴▱AOC1B底边AB上的高等于BC的一半,
∴▱AOC1B的面积=
S.
∵▱AOC1B的对角线交于点O1,
∴▱AO1C2B的边AB上的高等于▱AOC1B底边AB上的高的一半,
∴▱AO1C2B的面积=
×S=
,…,
依此类推,▱AO4C5B的面积为
=
=
(cm2).故选B.
15.解:
(1)证明:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC.
∵ED∥BC,
∴∠ODB=∠DBC=∠ABD,
∴OB=OD.
在Rt△EBD中,
∵∠ABE+∠ABD=∠ODB+∠BED=90°,
∴∠ABE=∠BED,
∴OB=OE,∴OE=OD.
(2)当O为AB的中点时,
四边形BDAE为矩形.
理由:
∵O为AB的中点,
∴OA=OB.由
(1)知OE=OD,
∴四边形BDAE为平行四边形.
∵BE⊥BD,∴∠EBD=90°,
∴四边形BDAE是矩形.
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