学年高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212第二课时直线与椭圆的位置关系习题课讲义.docx
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学年高中数学第二章圆锥曲线与方程21椭圆212第二课时直线与椭圆的位置关系习题课讲义
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)
1.点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上⇔+=1;点P在椭圆内部⇔+<1;点P在椭圆外部⇔+>1.
2.直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系,判断方法:
联立消y得一元二次方程.
当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程有一解,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离.
3.直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义:
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
(2)求弦长的方法
①交点法:
将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求.
②根与系数的关系法:
如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为:
|AB|=·
=·.
1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是( )
A.点(-2,3)在椭圆外
B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内
D.点(2,-3)在椭圆上
答案:
D
2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C.D.
答案:
C
3.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为________.
答案:
4
直线与椭圆的位置关系
[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系.
[解] 由消去y,
得+(x+m)2=1,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0.
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).
当-
当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切;
当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离.
判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
Δ>0⇔直线与椭圆相交;
Δ=0⇔直线与椭圆相切;
Δ<0⇔直线与椭圆相离.
[活学活用]
若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求m的取值范围.
解:
∵直线y=kx+1过定点A(0,1).
由题意知,点A在椭圆+=1内或椭圆上,
∴+≤1,∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上∴m<5,
故m的取值范围为[1,5).
弦长及中点弦问题
[典例] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l被椭圆截得的弦长.
[解]
(1)[法一 根与系数关系法]
由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
所以x1+x2==8,解得k=-.
所以直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
[法二 点差法]
设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
所以
两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0.
又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,
即k=-.所以直线l的方程为x+2y-8=0.
(2)由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,联立椭圆方程得x2-8x+14=0.
法一:
解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
=.
法二:
因为x1+x2=8,x1x2=14.
所以直线l被椭圆截得的弦长为
=.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法:
联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;
(2)点差法:
利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:
已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,
则
由①-②,得(x-x)+(y-y)=0,变形得=-·=-·,即kAB=-.
[活学活用]
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解:
(1)由题意有=,+=1,
解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.
(2)证明:
法一:
设直线l:
y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM==,yM=k·xM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,
即kOM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
则
①-②得+=0,
∴kAB==-=-·.
又kOM=,∴kAB·kOM=-.
∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
与椭圆有关的综合问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率e=,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
[解]
(1)由题意得∴
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线AB的方程为y=-x+m,
联立得3x2-4mx+2m2-6=0,
∴
∴|AB|=|x1-x2|=,
原点到直线的距离d=.
∴S△OAB=×·
=≤·=.
当且仅当m=±时,等号成立,
∴△AOB面积的最大值为.
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法:
利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:
利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:
探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围.
[活学活用]
已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P到F1,F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
解:
(1)由题意得2a=4,得a=2,
又点P在椭圆+=1上,
∴+=1,解得b2=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1,
焦点F1(-,0),F2(,0).
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0,设l:
y=kx+2,代入+y2=1,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-4(1+4k2)·12=16(4k2-3)>0,得k2>.①设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=-,x1x2=.
∵∠AOB为锐角,∴cos∠AOB>0,
则·=x1x2+y1y2>0,
又y1y2=(kx1+2)·(kx2+2)
=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)·+2k·+4
=>0,
∴k2<4.②
由①②得 解得-2 ∴k的取值范围是∪. 层级一 学业水平达标 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( ) A.相切 B.相交 C.相离D.不确定 解析: 选B 直线y=kx-k+1可变形为y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆+=1内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选B. 2.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( ) A.B. C.D. 解析: 选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦.将点(c,y)的坐标代入椭圆+=1,得y=±,故最短弦长是. 3.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是( ) A. B. C.∪ D.∪ 解析: 选C 由得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.故选C. 4.已知椭圆C: +x2=1,过点P的直线与椭圆C相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为( ) A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0 C.4x+2y-3=0D.4x-2y-1=0 解析: 选B 设A(x1,y1),B(x2,y2). ∵点A,B在椭圆上, ∴+x=1,① +x=1.② ①-②,得+(x1+x2)·(x1-x2)=0.③ ∵P是线段AB的中点, ∴x1+x2=1,y1+y2=1, 代入③得=-9,即直线AB的斜率为-9. 故直线AB的方程为y-=-9, 整理得9x+y-5=0. 5.已知椭圆C: +y2=1的右焦点为F,直线l: x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||=( ) A.B.2 C.D.3 解析: 选A 设点A(2,n),B(x0,y0). 由椭圆C: +y2=1知a2=2,b2=1, ∴c2=1,即c=1.∴右焦点F(1,0). 由=3得(1,n)=3(x0-1,y0). ∴1=3(x0-1)且n=3y0. ∴x0=,y0=n. 将x0,y0代入+y2=1, 得×2+2=1. 解得n2=1, ∴||===. 6.已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆交于A,B两点,则|AB|=________. 解析: 因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0),且斜率为2,则直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 由得3x2-5x=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0, 所以|AB|=· ==. 答案: 7.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________. 解析: ∵⊥,∴点M在以F1F2为直径的圆上,又点M在椭圆内部,∴c0,∴0 答案: 8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是________. 解析: 易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.∵·=0, ∴⊥.∴||2=||2-||2=||2-1, ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=. 答案: 9.设椭圆C: +=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为. (1)求C的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 解: (1)将(0,4)代入C的方程得=1,∴b=4. 又e==,得=,即1-=, ∴a=5,∴C的方程为+=1. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3). 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,解得x1+x2=3,∴AB的中点坐标x0==,y0==(x1+x2-6)=-,即中点坐标为. 10.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程. 解: (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即b=c. 所以a=c,e==. (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 由=2,解得x=,y=-.代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,b2=2, 所以椭圆方程为+=1. 层级二 应试能力达标 1.若直线mx+ny=4和圆O: x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( ) A.2 B.1 C.0D.0或1 解析: 选A 由题意,得>2,所以m2+n2<4,则-2 2.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( ) A.B. C.D. 解析: 选A 由消去y得, (m+n)x2-2nx+n-1=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0), 则x1+x2=,∴x0=, 代入y=1-x得y0=. 由题意=,∴=,选A. 3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为( ) A.1B.-1 C.-D.以上都不对 解析: 选C 设=k,则y=k(x-2). 由消去y,整理得 (k2+4)x2-4k2x2+4(k2-1)=0, Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)=0, 解得k=±,∴kmin=-.选C. 4.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 解析: 选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1), 所以直线AB的方程为y=(x-3), 代入椭圆方程+=1消去y, 得x2-a2x+a2-a2b2=0, 所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2, 又a2=b2+c2,所以b=c=3. 所以E的方程为+=1. 5.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C: +=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________. 解析: 设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,即e=. 答案: 6.在离心率为的椭圆+=1(a>b>0)上任取一点M,过M作MN垂直y轴于点N,若=,点P的轨迹图形的面积为π,则a的值为________. 解析: 设P(x,y),M(x0,y0),则N(0,y0), 由条件=可知点P是线段MN的中点, 故即由离心率为=, 可得4c2=3a2,即4a2-4b2=3a2,故a=2b. 故椭圆方程为+=1, 把点M(x0,y0)代入可得+=1, 即x2+y2=b2,表示半径为b的圆,面积为πb2=π. 故b=1,a=2b=2. 答案: 2 7.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时⊥? 此时|AB|的值是多少. 解: (1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b==1. 故曲线C的方程为+x2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=-,x1x2=-. 若⊥,则x1x2+y1y2=0. 因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1) =k2x1x2+k(x1+x2)+1, 所以x1x2+y1y2=---+1 =-=0,所以k=±. 当k=±时,x1+x2=∓,x1x2=-. 所以|AB|=· ==. 8.在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA,PB斜率之积为-. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点作直线l与轨迹C交于E,F两点,线段EF的中点为M,求直线MA的斜率k的取值范围. 解: (1)设P点的坐标为(x,y), 依题意,有·=-(x≠±2), 化简并整理,得+=1(x≠±2). ∴动点P的轨迹C的方程是+=1(x≠±2). (2)依题意,直线l过点且斜率不为零,故可设其方程为x=my+,联立消去x, 并整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0,∴Δ>0恒成立. 设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0), 则y1+y2=-,∴y0==-, ∴x0=my0+=,∴k==.① 当m=0时,k=0; ②当m≠0时,k=. ∵=4|m|+≥8,∴0<≤,∴0<|k|≤,∴-≤k≤且k≠0. 综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是.
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