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计数原理专题
计数原理专题(七十八)
1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )
A.21种 B.315种
C.143种D.153种
答案 C
解析 可分三类:
一类:
语文、数学各1本,共有9×7=63种;
二类:
语文、英语各1本,共有9×5=45种;
三类:
数学、英语各1本,共有7×5=35种;
∴共有63+45+35=143种不同选法.
2.(优质试题·武汉市二中月考)从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )
A.10B.15
C.20D.25
答案 D
解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25(种).
3.
现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )
A.24种B.30种
C.36种D.48种
答案 D
解析 共有4×3×2×2=48(种),故选D.
4.5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所院校,则不同的报名方法的种数是( )
A.35B.53
C.A32D.C53
答案 A
解析 第n名应届毕业生报考的方法有3种(n=1,2,3,4,5),根据分步计算原理,不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35(种).
5.(优质试题·沧州七校联考)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种B.18种
C.37种D.48种
答案 C
解析 自由选择去四个工厂有43种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法,故不同的分配方案有43-33=37种.
6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为( )
A.42B.30
C.20D.12
答案 A
解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第一个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以共6×7=42(种).
7.(优质试题·绵阳二诊)小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他,一共7人,一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨,给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个,则梨子的不同分法共有( )
A.96种B.120种
C.480种D.720种
答案 C
解析 由题意知,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个的拿法有C41=4种,其余人的拿法有A55=120种,故梨子的不同分法共有4×120=480种.
8.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.5B.4
C.6D.8
答案 D
解析 分类考虑,当公比为2时,等比数列可为1,2,4;2,4,8,当公比为3时,可为1,3,9,当公比为
时,可为4,6,9,将以上各数列颠倒顺序时,也是符合题意的,因此,共有4×2=8个.
9.(2014·安徽,理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )
A.24对B.30对
C.48对D.60对
答案 C
解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数,然后根据正方体六个面的特征求解.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共8条,同理与DB成60°角的面对角线也有8条.因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面,所以共有16×6=96(对).又因为每对被计算了2次,因此成60°的面对角线有
×96=48(对).
10.(优质试题·定州一模)将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写办法有( )
A.288种B.144种
C.576种D.96种
答案 C
解析 依题意可分为以下3步:
(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16种方法;
(2)任意的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方法;(3)第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法.根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4=576种.
11.
(优质试题·福建福州闽侯二中期中)把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有( )
A.2680种B.4320种
C.4920种D.5140种
答案 B
解析 由题图可知7个点可组成的三角形有C73-5=30个,∵三盆兰花不能放在一条直线上,∴可放入三角形的三个顶点上,有C301A33=180种放法,再放4盆不同的玫瑰花,没有限制,放在剩余4个位置,有A44=24种放法,∴不同的摆放方法有180×24=4320种.
12.已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有数的和大于B中所有数的和,则集合A,B共有( )
A.12对B.15对
C.18对D.20对
答案 D
解析 依题意,当A,B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有8对;当B有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A,B均有两个元素时,有3对;共20对,选择D.
13.(优质试题·邯郸一中模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A.18个B.15个
C.12个D.9个
答案 B
解析 依题意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成有3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成有6个数,分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成有3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成有3个数,分别为211,121,112,共3+6+3+3=15个.
14.直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A,B的值,则可表示________条不同的直线.
答案 22
解析 分成三类:
A=0,B≠0;A≠0,B=0和A≠0,B≠0,前两类各表示1条直线;第三类先取A有5种取法,再取B有4种取法,故5×4=20种.
所以可以表示22条不同的直线.
15.由1到200的自然数中,各数位上都不含8的有________个.
答案 162
解析 一位数8个,两位数8×9=72个.
3位数
1
×
×
有9×9=81个,
另外
2
×
×
1个(即200),共有8+72+81+1=162个.
16.某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元钱买杂志(每种至多买一本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数是________种(用数字作答).
答案 266
解析 分两类:
第一类,买5本2元的有C85种;第二类,买4本2元的和2本1元的有C84×C32种.故共有C85+C84×C32=266种不同的买法种数.
17.(优质试题·东北三校联考)在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为______.
答案 20
解析 依题意可知:
当a=1时,b=5,6,两种情况;
当a=2时,b=5,6,两种情况;
当a=3时,b=4,5,6,三种情况;
当a=4时,b=3,5,6,三种情况;
当a=5或6时,b各有五种情况.
所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.
18.标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球.
(1)若取出的两个球颜色不同,有多少种取法?
(2)若取出的两个球颜色相同,有多少种取法?
答案
(1)11
(2)4
解析
(1)若两个球颜色不同,则应在A,B袋中各取一个或A,C袋中各取一个,或B,C袋中各取一个.
∴应有1×2+1×3+2×3=11种.
(2)若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个.
∴应有1+3=4种.
19.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少?
答案 36个
解析 设较小的两边长为x、y且x≤y,则
当x=1时,y=11;
当x=2时,y=10,11;
当x=3时,y=9,10,11;
当x=4时,y=8,9,10,11;
当x=5时,y=7,8,9,10,11;
当x=6时,y=6,7,8,9,10,11;
当x=7时,y=7,8,9,10,11;
……
当x=11时,y=11.
所以不同三角形的个数为
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36个.
1.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1 A.240B.204 C.729D.920 答案 A 解析 当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数. 2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为( ) A.56B.54 C.53D.52 答案 D 解析 在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56个对数值;但在这56个数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满足条件的对数值共有56-4=52个. 3.(优质试题·山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案数为( ) A.70B.60 C.50D.40 答案 C 解析 C62+C63+C64=50,故选C. 4.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有( ) A.32个B.34个 C.36个D.38个 答案 A 解析 先把数字分成5组: {1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2=32个这样的子集. 5.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( ) A.1205秒B.1200秒 C.1195秒D.1190秒 答案 C 解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少,只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍.而所有的闪烁共有A55=120个;因为在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,即每个闪烁的时长为5秒,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒,所以要实现所有不同的闪烁,需要的时间至少是120×(5+5)-5=1195秒. 6.若从集合P到集合Q={a,b,c}所有的不同映射共有81个,则从集合Q到集合P所有的不同映射共有( ) A.32个B.27个 C.81个D.64个 答案 D 解析 可设P集合中元素的个数为x,由映射的定义以及分步乘法计数原理,可得P→Q的映射种数为3x=81,可得x=4.反过来,可得Q→P的映射种数为43=64. 7. (优质试题·山东日照模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为( ) A.6种B.12种 C.18种D.24种 答案 A 解析 因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后之相邻的空格可填6,7,8任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A. 8.(优质试题·郑州市市高三第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( ) A.72B.120 C.192D.240 答案 D 解析 将“数字124467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数, (1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有 =60种情况; (2)若末位数字为6,同理有 =60种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120=240种情况. 9. 如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种. 答案 180 解析 按区域分四步: 第一步,A区域有5种颜色可选; 第二步,B区域有4种颜色可选; 第三步,C区域有3种颜色可选; 第四步,D区域也有3种颜色可选. 由分步乘法计数原理,可得共有5×4×3×3=180种不同的涂色方法. 10. 用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案共有________种. 答案 30 解析 由题意知每种颜色涂两个圆,共有5类,每类A33种涂法,所以总数为5A33=30. 注: 将六圆依次编号①②③④⑤⑥, 可分如下5类: ①③,②⑤,④⑥, ①④,②⑤,③⑥, ①④,②⑥,③⑤, ①⑤,②④,③⑥, ①⑥,②④,③⑤. 11.现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值日,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,则此值日表共有________种不同的排法. 答案 1280 解析 完成一件事是安排值日表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行: 第一天有5种不同排法,第二天不能与第一天已排人的相同,所以有4种不同排法,依次类推,第三、四、五天都有4种不同排法,所以共有5×4×4×4×4=1280种不同的排法.
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