届高考数学理一轮复习讲义11 集合及其运算.docx
- 文档编号:4298685
- 上传时间:2022-11-29
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:137.83KB
届高考数学理一轮复习讲义11 集合及其运算.docx
《届高考数学理一轮复习讲义11 集合及其运算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高考数学理一轮复习讲义11 集合及其运算.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高考数学理一轮复习讲义11集合及其运算
§1.1 集合的概念及运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图.考查学生的数形结合思想和计算推理能力.题型以选择题为主,低档难度.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+(或N*)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A
AB(或BA)
集合相等
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A=B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
如果给定集合A是全集U的一个子集,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.
提示 2n,2n-1.
2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?
提示 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
题组二 教材改编
2.若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列说法正确的是( )
A.0∉AB.1⊆A
C.
⊆AD.3∈A
答案 D
解析 集合A={x∈N|0≤x≤4},∴0∈A,1∈A,
∉A,3∈A,故选D.
5.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2 答案 {x|x≤1或x>2} 解析 由已知可得集合A={x|1 又因为B={x|2 所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. 6.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________. 答案 0或1或-1 解析 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M, ∴N=∅或N=M,∴a=0或a=±1. 题型一 集合的含义 1.已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1B.3C.6D.9 答案 C 解析 当x=0时,y=0;当x=1时,y=0或y=1;当x=2时,y=0,1,2. 故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素. 2.已知集合A= ,则集合A中的元素个数为( ) A.2B.3C.4D.5 答案 C 解析 因为 ∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4. 3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. 答案 - 解析 由题意得m+2=3或2m2+m=3, 则m=1或m=- , 当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意; 当m=- 时,m+2= ,而2m2+m=3,故m=- . 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合. (2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性. 题型二 集合间的基本关系 例1 (1)集合M= ,N= ,则两集合M,N的关系为( ) A.M∩N=∅B.M=N C.M⊆ND.N⊆M 答案 D 解析 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+ (k∈Z),∴N⊆M,故选D. (2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x 答案 [2018,+∞) 解析 由x2-2019x+2018<0,解得1 故A={x|1 又B={x|x 引申探究 本例 (2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 跟踪训练1 (1)已知集合A={y|0≤y 答案 8 解析 B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个. (2)已知集合A={x|-1 答案 (-∞,1] 解析 当m≤0时,B=∅,显然B⊆A. 当m>0时,因为A={x|-1 所以在数轴上标出两集合,如图, 所以 所以0 综上所述,m的取值范围为(-∞,1]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A= ,则∁RA等于( ) A.{x|-1 B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 答案 B 解析 ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示. 由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}. 故选B. (2)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- A.A∩B=∅B.A⊆B C.B⊆AD.A∪B=R 答案 D 解析 ∵A={x|x>2或x<0},∴A∪B=R. 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A={x|x A.a<1B.a≤1C.a>2D.a≥2 答案 D 解析 集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1 由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图. 可知a≥2. (2)设集合A={-1,0,1},B= ,A∩B={0},则实数a的值为________. 答案 1 解析 0∈ ,由a+ ≠0,则a-1=0,则实数a的值为1.经检验,当a=1时满足题意. (3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______. 答案 (-∞,-1]∪{1} 解析 因为A∩B=B,所以B⊆A, 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根, 由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A={x|-2 A.(2,4)B.(-2,4) C.(-2,2)D.(-2,2] 答案 D 解析 由题意得B={x|y=lg(x-2)}=(2,+∞), ∴∁RB=(-∞,2],∴A∩(∁RB)=(-2,2]. (2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1 A.[-1,2)B.[-1,3] C.[2,+∞)D.[-1,+∞) 答案 D 解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0, 即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}. 又A∩B=B,所以B⊆A. ①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2; ②当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上,m的取值范围为[-1,+∞). 题型四 集合的新定义问题 例4 (1)(2018·沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”: A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为( ) A.15B.16C.20D.21 答案 D 解析 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有: 0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21. (2)设数集M= ,N= ,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________. 答案 解析 在数轴上表示出集合M与N(图略), 可知当m=0且n=1或n- =0且m+ =1时,M∩N的“长度”最小. 当m=0且n=1时,M∩N= , 长度为 - = ; 当n= 且m= 时,M∩N= , 长度为 - = . 综上,M∩N的长度的最小值为 . 思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 跟踪训练3用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B= 若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=________. 答案 3 解析 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±2 时,易知C(B)=3,符合题意;当Δ>0,即a<-2 或a>2 时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当Δ<0,即-2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高考数学理一轮复习讲义 11 集合及其运算 高考 学理 一轮 复习 讲义 集合 及其 运算