创新型四边形探究题.docx
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创新型四边形探究题
★课题:
创新型四边形探究题
★范例精讲【创新型四边形探究题】
1.如图,△ABC中,点O是AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于F.
⑴请猜测OE与OF之间的关系,并说明你的理由;
⑵点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
写出推理过程;
⑶在什么条件下,四边形AECF是正方形?
2.如图,四边形ABCD是正方形,CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线.
(如果需要,还可以继续操作、实验与测量)
⑴操作实验:
将直角尺的直角顶点P在边BC上移动(与点B、C不重合),且一直角边经过点A,另一直角边与射线CE交于点Q,不断移动P点,同时测量线段PQ与线段PA的长度,完成下列表格(精确到0.1cm).
PA
PQ
第一次
第二次
⑵观测测量结果,猜测它们之间的关系:
;
⑶请证明你猜测的结论;
⑷当点P在BC的延长线上移动时,继续⑴的操作实验,试问:
⑴中的猜测结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
3.已知:
□ABCD的对角线交点为O,点E、F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在点O处,且四边形DEBF为菱形(如图).
⑴求证:
四边形ABCD是矩形;
⑵在四边形ABCD中,求
的值.
4.实验与推理:
⑴如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与线段DA相交于点E,求证:
PB=PE。
⑵操作:
如图,已知矩形ABCD,AD=4,DC=3。
将一把三角尺放在矩形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线上滑动,直角的一边始终经过B点,另一边与线段DA相交于点E。
探究:
①PB=PE吗?
如果相等,请证明;如果不相等,请求出PB︰PE的值。
②设点P分别滑动到P1、P2时,所对应的三角形分别是△BP1E1、△BP2E2,试判断这两个三角形是否相似,请证明你的结论。
(图②、③供操作,图④备用)
5.
操作:
如图1,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M。
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;
②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2),其他条件不变;
③在②的条件下且CF=2AD。
附加题:
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变。
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
★基础训练【创新型四边形探究题】
6.如图l,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM
BE,垂足为M,AM交BD于点F.
⑴求证:
OE=OF;
⑵如图2,若点E在AC的延长线上,AM
BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
★综合提高【创新型四边形探究题】
7.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.
⑴求证:
四边形ACEF是平行四边形;
⑵当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
并给予证明;
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗?
为什么?
8.如图1,已知△ABC的高AE=5,BC=
,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K.
⑴请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?
并对你得到的结论予以证明;
⑵当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围.(图2供思考用)
9.
已知结论:
“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/,垂足分别是A/、B/、C/、D/,如图1,等式AA/+CC/=BB/+DD/成立.”
现将直线MN向上移动,使得A点在直线一侧,B、C、D三点在直线的另一侧,如图2,从A、B、C、D向直线MN作垂线,垂足分别是A/、B/、C/、D/,那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
如果将MN再向上移动,使两侧各有两个顶点,如图3,从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
★探究创新【创新型四边形探究题】
10.如图1,正方形ABCD是边长为1的正方形,正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N,顶点在对角线BD上移动,设点M、N到BD的距离分别是HM、HN,四边形MBNH的面积是S.
⑴当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时(图1),S=,HM+HN=(只要求写出结果,不用证明);
⑵若顶点H为OB的中点(图2),则S=,HM+HN=(只要求写出结果,不用证明);
⑶按要求完成下列问题:
我们准备探索:
当BH=n时,S=,HM+HN=;
①简要写出你的探索过程;
②在上面的横线上填上你的结论;
③证明你得到的结论。
11.有一张矩形纸片ABCD,E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合),若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分,设AB=a,AD=b,BE=x.
⑴求证:
AF=EC;
⑵用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后,再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折,平移拼接在梯形ECDF的下方,使一底边重合,一腰落在DC的延长线上,拼接后,下方梯形记作EE/B/C.
①当x∶b为何值时,直线E/E经过原矩形的一个顶点?
②在直线E/E经过原矩形的一个顶点的情形下,连结BE/,直线BE/与EF是否平行?
你若认为平行,请给予证明;你若认为不平行,试探究当a与b有何种数量关系时,它们就垂直?
★课题:
创新型四边形探究题
※内容方法【创新型四边形探究题】
新课程标准特别注重对探究能力、创新能力的培养,因此,探究性试题成为当前中考的一个热点。
★范例精讲【创新型四边形探究题】
1.如图,△ABC中,点O是AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于F.(高新区05~06)
⑴请猜测OE与OF之间的关系,并说明你的理由;
⑵点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
写出推理过程;
⑶在什么条件下,四边形AECF是正方形?
解:
⑴猜测结论:
OE=OF;∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB,
又∵∠OCE=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,同理可得OC=OF,∴OE=OF;
⑵当点O移动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
证明:
由⑴知OC=
EF时,AC=EF,∴当AO=OC时,四边形AECF是矩形;⑶只有当∠OEC=∠OCE=45°时,即∠ACB=90°,且点O为AC的中点时,四边形AECF是正方形.
2.如图,四边形ABCD是正方形,CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线.(高新区05~06)
(如果需要,还可以继续操作、实验与测量)
⑴操作实验:
将直角尺的直角顶点P在边BC上移动(与点B、C不重合),且一直角边经过点A,另一直角边与射线CE交于点Q,不断移动P点,同时测量线段PQ与线段PA的长度,完成下列表格(精确到0.1cm).
PA
PQ
第一次
第二次
⑵观测测量结果,猜测它们之间的关系:
;⑶请证明你猜测的结论;
⑷当点P在BC的延长线上移动时,继续⑴的操作实验,试问:
⑴中的猜测结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
解:
⑴略;⑵猜测结论:
PA=PQ;⑶证明:
如图1,在BA上取BH=BP,连结PH,∵AB=BC,∴AH=PC,∠AHP=∠PCQ=135°,且∠HAP=∠CPQ(同为∠APB的余角),∴△AHP≌△PCQ,∴PA=PQ;
⑷当点P在BC的延长线上时,如图2,仍有结论PA=PQ,
证明:
在BA的延长线上取AH=CP,连结PH,则有BH=BP,∴∠AHP=45°,
而∠PCQ=45°,∴∠AHP=∠PCQ,又∵AD∥BP,∴∠DAP=∠CPA,∠HAP=∠CPQ,∴△AHP≌△PCQ,∴PA=PQ;
3.
已知:
□ABCD的对角线交点为O,点E、F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在点O处,且四边形DEBF为菱形(如图).(江苏金湖实验区05)
⑴求证:
四边形ABCD是矩形;
⑵在四边形ABCD中,求
的值.
(1)证明:
连结OE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DO=OB,∵四边形DEBF是菱形,∴DE=BE,∴EO⊥BD,∴∠DOE=90°,即∠DAE=90°,又四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:
∵四边形DEBF是菱形,∴∠FDB=∠EDB,又由题意知∠EDB=∠EDA,
由
(1)知四边形ABCD是矩形,∴∠ADF=90°,
即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°,则∠ADB=60°,
∴在Rt△ADB中,有AD∶AB=1∶
,即
.
4.实验与推理:
⑴如下图将一把三角尺放在正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与线段DA相交于点E,求证:
PB=PE。
⑵操作:
如图,已知矩形ABCD,AD=4,DC=3。
将一把三角尺放在矩形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线上滑动,直角的一边始终经过B点,另一边与线段DA相交于点E。
探究:
①PB=PE吗?
如果相等,请证明;如果不相等,请求出PB︰PE的值。
②设点P分别滑动到P1、P2时,所对应的三角形分别是△BP1E1、△BP2E2,试判断这两个三角形是否相似,请证明你的结论。
(图②、③供操作,图④备用)
5.
操作:
如图1,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M。
(大连课改05)
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;
②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2),其他条件不变;
③在②的条件下且CF=2AD。
附加题:
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变。
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
解:
关系是:
MD=MF,MD⊥MF。
证法一:
如图6,延长DM交CE于N,连结
FD、FN。
∵正方形ABCD,∴AD∥BE,AD=DC
∴∠1=∠2。
……………………………1分
又∵AM=EM,∠3=∠4,………………2分
∴△ADM≌△ENM………………………3分
∴AD=EN,MD=MN。
……………………4分
∵AD=DC,∴DC=NE。
…………………5分
又∵正方形CGEF,
∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°,………………6分
∴△FDC≌△FNE。
……………………7分
∴FD=FN,∠5=∠6……………………8分
∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。
……9分
又∵DM=MN,∴MD=MF,DM⊥MF。
…10分
证法二:
如图7,连结AC、FD,延长DM交CE于N,连结
CM并延长交FE于H。
∵正方形ABCD,∴AD∥BE。
∴∠1=∠2。
……1分
∵AM=EM,∠3=∠4,……………………………2分
∴△ADM≌△ENM……………………………………3分
∴MD=MN。
……………………………………………4分
∵AC和CE分别是正方形ABCD和CGEF的对角线,
∴∠ACB=∠FEC=45°,∠FCN=45°,
∴AC∥EF。
同理可证△ACM≌△EHM。
………………………………5分
∴CM=MH。
………………………………………………………………6分
∵正方形ABCD和正方形CGEF,
∴∠DCN=∠CFH=90°,
∴MC=MD=MN=MF=MH。
…………………………………………7分
∴点D、C、N、F在以点M为圆心,MD为半径的圆上,
∠FDN=∠DFM。
…………………………………………………………8分
∴∠FDN=∠FCN=45°,∴∠FDN=∠DFM=45°。
………………9分
∴MD=MF,DM⊥MF。
………………………………………………10分
证法三:
如图7,同证法二证出MC=MD=MN=MF=MH。
……………………7分
∴∠MCN=∠MNC,∠MCF=∠MFC。
∵∠DMC=∠MCN+∠MNC=2∠MCN,
∠FMH=∠MCF+∠MFC=2∠MCF。
……………………8分
∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF=2(∠MCN+∠MCF)
=2∠FCE=90°……………………………9分
∴∠DMF=180°-90°=90°,∴DM⊥FM。
…………………10分
思路一:
∵正方形ABCD、CGEF,∴AB=BC=CD=AD,
∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG,∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°,
∠FCE=∠FEC=45°……1分
∴∠DCF=∠FEC。
……2分
思路二:
延长DM交CE于N。
∵正方形ABCD、CGEF,∴AD∥CE,∴∠DAM=∠NEM。
……1分
又∵∠DMA=∠NME,AM=EM,
∴△ADM≌△ENM。
……2分
思路三:
∵正方形CGEF,∴∠FCE=∠FEC=45°。
……1分
又∵正方形ABCD,∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°,
∠DCF=∠FEC=45°……2分
选取条件①
证明:
如图6,∵正方形ABCD∴AD∥BE,AD=DC,
∴∠1=∠2………………………………………………………1分
∵AD=NE,∠3=∠4,
∴△ADM≌△ENM。
……………………………………………2分
∴MD=MN。
…………………………………………………………3分
又∵AD=DC,∴DC=NE。
……………………………………………4分
又∵正方形CGEF,∴FC=FE,∠FCE=∠FEN=45°。
∴∠FCD=∠FEN=45°。
……………………………………………5分
∴△FDC≌△FNE。
…………………………………………………6分
∴FD=FN,∠5=∠6,∴∠DFN=∠CFE=90°。
………………7分
∴MD=MF,MD⊥MF。
……………………………………………8分
选取条件②
证明:
如图8,延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE
∴∠1=∠2……………………………1分
又∵MA=ME,∠3=∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴MD=MN,AD=EN。
∵AD=DC,∴DC=NE。
………3分
又∵FC=FE,∴FD=FN。
……………………4分
又∵∠DFN=90°,∴FM⊥MD,MF=MD。
……………………5分
选取条件③
证明:
如图8,延长DM交FE于N。
∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE
∴∠1=∠2……………………………1分
又∵MA=ME,∠3=∠4
∴△AMD≌△EMN……………………2分
∴AD=EN,MD=MN,∵CF=2AD,EF=2EN,
∴FD=FN。
又∵∠DFN=90°,∴FM⊥MD,MF=MD。
……………3分
附加题:
证法一:
如图9,延长DM到N,
使MN=MD,连结FD、FN、EN,
延长EN与DC延长线交于点H。
∵MA=ME,∠1=∠2,MD=MN,
∴△AMD≌△EMN
∴∠3=∠4,AD=NE。
又∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠ADC=90°,
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°。
∴DC=NE。
∵∠3=∠4,∴AD∥EH。
∴∠H=∠ADC=90°。
∵∠G=90°,∠5=∠6,∴∠7=∠8。
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°
∴∠DCF=∠FEN。
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE。
∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。
∴FM⊥MD,MF=MD。
证法二:
如图9,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连结DF、FN。
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4。
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM,AD=EN。
∵正方形ABCD、CGEF,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,CGFE。
∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE。
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF。
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF。
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE。
∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。
∴FM⊥MD,MF=MD。
★基础训练【创新型四边形探究题】
6.如图l,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM
BE,垂足为M,AM交BD于点F.(山东临沂实验区05)
⑴求证:
OE=OF;
⑵如图2,若点E在AC的延长线上,AM
BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
解:
⑴证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,
又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=∠AFO+∠MAE=90°,∴∠MEA=∠AFO,
∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF;
⑵OE=OF成立.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,
又∵AM⊥BE,∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE,
又∵∠MBF=∠OBE,∴∠F=∠E,∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.
★综合提高【创新型四边形探究题】
7.〖探究条件型〗
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.
⑴求证:
四边形ACEF是平行四边形;
⑵当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
并给予证明;
⑶四边形ACEF有可能是正方形吗?
为什么?
解析:
本题是四边形的判别综合性较强的题目,涉及到平行四边形、菱形、正方形,证明的方法较多,证明时应选用较简便的方法。
⑴∵DF是BC的垂直平分线,∴DF⊥BC,DB=DC,∴∠FDB=∠ACB=90°,
∴DF∥AC,∴E为斜边AB的中点,∴CE=AE=
AB,∴∠1=∠2,
又∵EF∥AC,AF=CE=AE,∴∠2=∠1=∠3=∠F,
∴△ACE≌△EFA,∴AC=EF,∴四边形ACEF是平行四边形;
⑵当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形。
在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴AC=
AB,
由⑴可知,E是AB的中点,∴CE=
AB,∴AC=CE,∴□ACEF是菱形;
⑶四边形ACEF不可能是正方形。
理由如下:
由⑴知,E是AB的中点,∴CE在△ABC的内部,∴∠ACE<∠ACB=90°,
∴四边形ACEF不可能是正方形。
8.如图1,已知△ABC的高AE=5,BC=
,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K.(湖北宜昌实验区05)
⑴请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?
并对你得到的结论予以证明;
⑵当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围.(图2供思考用)
解:
(1)∵点G与点E关于点F对称,∴GF=FE,
∵HI∥BC,∴∠GIF=∠EJF,又∵∠GFI=∠EFJ,∴△GFI≌△EFJ,∴GI=JE,
同理可得HG=EK,∴HI=JK,∴四边形HIKJ是平行四边形;
(2)当F是AE的中点时,A、G重合,所以AF=2.5,
如图1,∵AE过平行四边形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE,∴HG/BE=GI/EC,
∵CE>BE,∴GI>HG,∴CK>BJ,
∴当点F在AE上运动时,点K、J随之在BC上运动,
如图2,当点F的位置使得B、J重合时,这时点K仍为CE上的某一点(不与C、E重合),而且点H、I也分别在AB、AC上,
设EF=x,∵∠AHG=∠ABC=45°,AE=5,
∴BE=5=GI,AG=HG=5-2x,CE=
-5,
∵△AGI∽△AEC,∴AG∶AE=GI∶CE,∴(5-2x)∶5=5∶(
-5),
∴x=1,∴AF=5-x=4,∴
<AF≤4.
9.
〖平移论证型〗已知结论:
“从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA/、BB/、CC/、DD/,垂足分别是A/、B/、C/、D/,如图1,等式AA/+CC/=BB/+DD/成立.”
现将直线MN向上移动,使得A点在直线一侧,B、C、D三点在直线的另一侧,如图2,从A、B、C、D向直线MN作垂线,垂足分别是A/、B/、C/、D/,那么垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
如果将MN再向上移动,使两侧各有两个顶点,如图3,从A、B、C、D向直线MN作的垂线段AA/、BB/、CC/、DD/之间存在什么关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
解析:
对于图2情况,可平行移动直线MN到M/N/位置,使M/N/在平行四边形ABCD的形外,如图所示。
设AA/、BB/、CC/、DD/分别交M/N/于A//、B//、C//、D//,则
A/A//=B/B//=C/C//=D/D//,由已知结论得:
AA//+CC//=BB//+DD//,即(A/A//-AA/)+(CC/+C/C//)=(BB/+B/B//)+(DD/+D/D//),∴CC/-AA/=BB/+DD/.
对于图3情况,可类似于上述作法,从而得到结论:
CC/-AA/=DD/-BB/.
★探究创新【创新型四边形探究题】
10.〖旋转问题〗如图1,正方形ABCD是边长为1的正方形,正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N,顶点在对角线BD上移动,设点M、N到BD的距离分别是HM、HN,四边形MBNH的面积是S.
⑴当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时(图1),S=,HM+HN=(只要求写出结果,不用证明);
⑵若顶点H为OB的
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- 创新 四边形 探究