数轴与相反数讲义.docx
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数轴与相反数讲义.docx
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数轴与相反数讲义
第2讲
No.
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数轴与相反数(基础)
要点一、数轴
1.定义:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释:
(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可.
(2)长度单位与单位长度是不同的,单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段,而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.
(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定,但一经选定就不能改动.
2.数轴与有理数的关系:
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理数,还可以表示其他数,比如
.
要点诠释:
(1)一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示.
(2)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义:
只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数是0.
要点诠释:
(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同.
(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉.
(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数.
(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质:
(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).
(2)互为相反数的两数和为0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4.
要点诠释:
(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5.
(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.
1.理解数轴的概念及三要素;
2.理解有理数与数轴上的点的关系,并会借助数轴比较两个数的大小;
3.会求一个数的相反数,并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义;
4.掌握多重符号的化简.
类型一、数轴的概念
1.如图所示是几位同学所画的数轴,其中正确的是()
A.
(1)
(2)(3)B.
(2)(3)(4)C.只有
(2)D.
(1)
(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.
(1)中忽略了单位长度,相邻两整点之间的距离不一致;(3)中负有理数的标记有错误;(4)图中漏画了表示方向的箭头.
【总结升华】数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度缺一不可.
类型二、相反数的概念
2.﹣
的相反数是( )
A.5B.
C.﹣
D.-5
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”,所以只要将原数的符号变为相反的符号,即可求出其相反数.
【答案】B
【总结升华】求一个数的相反数,只改变这个数的符号,其他部分都不变.
举一反三:
【变式1】填空:
(1)-(-2.5)的相反数是;
(2)是-100的相反数;(3)
是的相反数;
(4)的相反数是-1.1;(5)8.2和互为相反数.(6)a和互为相反数.
(7)______的相反数比它本身大,______的相反数等于它本身.
【答案】
(1)-2.5;
(2)100;(3)
;(4)1.1;(5)-8.2;(6)-a;(7)负数,0.
【变式2】下列说法中正确的有()
①-3和+3互为相反数;②符号不同的两个数互为相反数;③互为相反数的两个数必定一个是正数,一个是负数;④
的相反数是-3.14;⑤一个数和它的相反数不可能相等.
A.0个B.1个C.2个D.3个或更多
【答案】B
3.已知
互为相反数,则
.
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质,可知
,代入上式可得:
.
【总结升华】若
互为相反数,则
或
.
类型三、多重符号的化简
4.化简下列各数中的符号.
(1)
(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)
(5)-[-(+1)](6)-(-a)
【答案】
(1)
(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25
(4)
(5)-[-(+1)]=-(-1)=1(6)-(-a)=a
【解析】
(1)
表示
的相反数,而
的相反数是
,所以
;
(2)-(+5)表示+5的相反数,即-5,所以-(+5)=-5;
(3)-(-0.25)表示-0.25的相反数,而-0.25的相反数是0.25,所以-(-0.25)=0.25;
(4)负数前面的“+”号可以省略,所以
;
(5)先看中括号内-(+1)表示1的相反数,即-1,因此-[-(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的相反数,即1,所以-[-(+1)]=-(-1)=1;(6)-(-a)表示-a的相反数,即a.
所以-(-a)=a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负.
类型四、利用数轴比较大小
5.在数轴上表示2.5,0,
,-1,-2.5,
,3有理数,并用“<”把它连接起来.
【答案与解析】如图所示,点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5,0,
,-1,-2.5,
,3.
由上图可得:
∴
【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴,表示数的字母要依次对应有理数,然后根据在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,比较大小.
举一反三:
【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示,下列各式不成立的是( )
A.b﹣a>0B.﹣b<0C.﹣a>﹣bD.﹣ab<0
【答案】D
【变式2】填空:
大于
且小于
的整数有______个;比
小的非负整数是____________.
【答案】11;0,1,2,3
类型五、数轴与相反数的综合应用(数形结合的应用)
6.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b(a<b)并且A、B两点间的距离是
,求a、b两数.
【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a<b),所以表示a,b的两点A、B离原点的距离相等,而A、B两点间的距离是
,所以A、B两点到原点的距离就是
.
【答案与解析】
解:
由题意A、B两点到原点的距离都是:
而a<b,所以
,
.
【总结升华】
(1)理解相反数的几何意义.
(2)从相反数的意义入手,明确互为相反数的两数关于原点对称.
举一反三:
【变式】填空:
(1)数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________;
(2)从数轴上观察,-3与3之间的整数有________个.
【答案】
(1)±5,提示:
要注意两种情况,原点左右各一个点;
(2)5,提示:
画出数轴,容易看出-3和3之间的整数是-2,-1,0,1,2共5个.
自主预习基础达标
要点1 数轴的定义及画法
规定了、和的直线叫做数轴.
要点2 有理数与数轴上的点的关系
1.一般地,任意一个有理数,都可以用数轴上的来表示.
2.一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的边,与原点的距离是个单位长度;表示数-a的点在原点的边,与原点的距离是个单位长度.
课后集训巩固提升
1.下列图中数轴画得不正确的是( )
AB
CD
2.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中到原点距离相等的两个点是( )
A.点B与点D B.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C
3.下列说法正确的是( )
A.有原点、正方向的直线是数轴
B.数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
C.有些有理数不能在数轴上表示出来
D.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
4.在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是( )
A.-2 B.2C.2或-2D.不能确定
5.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是( )
A.正数B.整数C.非负数D.非正数
6.数轴上与1的距离为3个单位长度的点是( )
A.4B.-2C.+3或-3D.-2或4
7.表示a,b,c的点在数轴上的位置如图所示,下列说法正确的是( )
A.a,b,c都是正数B.a,b,c都是负数
C.a,b是正数,c是负数D.a,b是负数,c是正数
8.如图,数轴上一动点A先向左移动2个单位长度到达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,若点C表示的数为1,则点A表示的数为( )
A.7B.3C.-3D.-2
9.在数轴上表示-1和2019的两点分别是A和B,则A,B两点之间的距离是.
10.
(1)一只蜗牛从原点开始,先向右爬3个单位长度,再向左爬5个单位长度,到达终点,那么终点表示的数是.
(2)数轴上点A表示的数是-
,点B表示的数为-
,则点A在点B边(填“左”或“右”).
11.如果点A表示3,将A向左移动7个单位长度,那么终点表示的数是.
12.如图,在数轴上点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动:
第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3,按照这种移动规律移动下去,则线段A5A6长度是.
13.请在数轴上画出表示下列各数的点:
(1)-4,2,0,-2.5,4;
(2)10,30,15,-15;
(3)-0.01,-0.03,0.02,0.03.
14.在数轴上点A表示的数为-3,则距A有4个单位长度的点B表示什么数?
并在数轴上画出来.
15.小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上,根据图中的数值,写出墨迹盖住A,B两部分的整数.
16.甲、乙两条货船在海上A处交货后,分别向东、西行驶,经过1个小时后,甲船航行了10海里,乙船航行了8海里,把两船行程在数轴上表示出来,并求它们之间的距离.
17.一只蚂蚁从原点0出发,它先向右爬了5个单位长度到达点A,再向右爬了2个单位长度到达点B,然后向左爬了9个单位长度到达点C.
(1)写出A,B,C三点表示的数.
(2)根据点C在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发向什么方向爬行了几个单位长度?
18.数轴上一动点A表示的数如图所示.现让点A向右移动2个单位长度到B,再向右移动3个单位长度到C.
(1)在数轴上标出A,B,C三点表示的数.
(2)点C向哪个方向移动多少个单位长度又回到A?
19.已知数轴上点A对应的数是1,点B对应的数是-2,小乌龟从点A出发以每秒1个单位长度的速度爬行,小白兔从点B出发以每秒3个单位长度的速度运动,若它们同时出发运动3秒,请回答:
当它们相距最远时,小乌龟和小白兔所在的位置对应的数分别是多少?
参考答案
自主预习基础达标
要点1 原点正方向单位长度
要点2 1.一个点2.右a左a
课后集训巩固提升
1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.C8.D
9.2020
10.
(1)-2
(2)右
11.-4
12.18
13.解:
略
14.解:
-7或1,如图所示.
15.解:
A部分:
-5,-4,-3;B部分:
0,1,2,3.
16.解:
数轴表示略,18海里.
17.解:
(1)A:
5 B:
7 C:
-2
(2)向左爬行2个单位长度.
18.解:
(1)图略.A点为-2,B点为0,C为点3.
(2)向左移5个单位长度.
19.解:
当它们相距最远时,小乌龟和小白兔背道而驰,即小乌龟沿数轴正方向爬行,小白兔沿数轴负方向爬行,此时小乌龟所在位置对应的数是1+1×3=4,小白兔所在位置对应的数是-2-3×3=-11.
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- 数轴 相反数 讲义