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最优切割问题
最优切割问题
最短路的实际应用
————最优切割问题
99131059魏炜
一:
问题的提出
某些工业部门(如贵重石才的加工等)采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两个部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸位置预定的长方体(这个长方体的对应表面是平行的),通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的r倍,且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时,因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排个面加工次序的方法。
待加工的长方体和成品的长,宽,高分别为10,14.5,19和3,2,4两者左侧面,正面,底面之间的距离分别为6,7,9(单位均为厘米)垂直切割的费用为每平方厘米1元。
r和e数据如下(a)r=1,e=0(b)r=1.5e=2
二:
问题的分析
刚拿到这个题目时,还是很茫然的,不知应该用什么样的方法进行解答,当学到图与网络分析的时候,突然觉得这道题是不是可以用最短路的来求解呢?
抱着试试看的心里,我将问题成功的转换成了求一个图的最短路的问题,而我们要求最短路就是要先求出每一条边所表示的权重。
三:
问题的解决
设待加工体的长、宽、高分别为a0、b0、c0。
六个切割面分别位于左、右、前后、上下相应为S1、S2、S3、S4、S5、S6。
这六个面与成品的相应外测面的距离分别为d1、d2、d3、d4、d5、d6。
不失一般性设d1>=d2、d3>=d4、d5>=d6。
故可以只考虑S1在S2前、S3在S4前、S5在S6前被切割的方式。
:
e=0r=1的情形。
先考虑如何建立图形。
将切割问题转化为求图的最短路径问题。
赋权网络图G*的建立。
由于共计切6刀,因此我们想到要建立一个三维网络图:
其权为374,程序见附录。
:
e=2r=1.5的情形。
从上面的分析可以看出,若还用上一个网络赋权图,显然达不到要求,因为有些边上的权是要增加的,而某些边的权即可不变。
显然我们应该寻找一个新的图来进行求解。
由于问题的要求,不管中间是否穿插平行切割,只要先后两次垂直切割不平行时,就要加入转刀费,即额外费用e。
而这两个垂直平面切割方式只能有三种可能情况:
先切一对平行面,再切另外一对,费用增加e;
先切一个面,再切一对平行面,再切另外一个面,费用增加2e;
每切一次的面总是两两互相垂直,费用增加3e。
这样的话我们可以得到一下结论:
切割情况
必经点
(1,0,z)(2,0,z)(2,1,z)
(0,1,z)(0,2,z)(1,2,z)
(0,1,z)(1,1,z)(2,1,z)
(1,0,z)(1,1,z)(1,2,z)
(1,0,z)(1,1,z)(2,1,z)
(0,1,z)(1,1,z)(1,2,z)
若我们去掉{(2,1,z)︱z=0,1,2}和{(1,2,z)︱z=0,1,2}点集和与之关联的边得到新的赋权网络图如下:
赋权网络图2赋权网络图3
现在我们的问题非常明了细化,就是要从
找到一条最短路径。
从两者之间取小,就可以得到最优化切割方案:
(源程序见附录)
1:
其权为443.5。
2:
其权为468.5。
从而我们得到问题的解答。
关键词解释:
:
若图G的每一条边e都对应一个实数
,则称
为改边的权,并称图为赋权图。
:
设
是赋权图G中从U到V的路径,则称
=
为路径P的权。
:
在赋权图G中,从顶点U到顶点V具有最小权的路
称为从U到V的最短路。
附录:
一:
全体的切割情况解决方案源代码。
programcut(input,output);const
r=1;
max=9999;{定义一个默认的最大数}
type
mat=array[1..27,1..27]ofreal;
disttype=array[1..27]ofreal;
zuo_biao=record
x,y,z:
integer;
end;
vset=array[1..27]ofzuo_biao;
pathtype=setof1..27;{把路径定义为一个集合}
var
a0,b0,c0,u1,u2,u3,u4,u5,u6,ai,bi,ci,m,wm:
real;
da_cost:
mat;{相连矩阵}
dist:
disttype;{从开始顶点到其余各点的最短路径}
i,j,k,l,p,n:
integer;
path:
array[1..27]ofpathtype;{记录所切割的路径}
s:
setof1..27;
v:
vset;{定义的各个顶点}
begin
writeln('pleaseinputdatawhichhavebeenknowed:
a0,b0,c0,u1,u2..u6');
read(a0,b0,c0,u1,u2,u3,u4,u5,u6);{输入一些已知量}
i:
=1;{自动生成整张图的各个顶点的三维坐标,共有27个顶点}
forl:
=0to2do
forp:
=0to2do
forn:
=0to2do
withv[i]do
beginv[i].x:
=n;
v[i].y:
=p;
v[i].z:
=l;
i:
=i+1
end;
fori:
=1to27do{以下为求解相连顶点的权值}
begin
forj:
=1to27do
begin
if(v[i].x+v[i].y+v[i].z+1=v[j].x+v[j].y+v[j].z)and(v[i].x<=v[j].x)and(v[i].y<=v[j].y)and(v[i].z<=v[j].z)and(i thenbegin ifv[i].x=0thenai: =a0; ifv[i].x=1thenifu1>u2thenai: =a0-u1elseai: =a0-u2; ifv[i].x=2thenai: =a0-u1-u2; ifv[i].y=0thenbi: =b0; ifv[i].y=1thenifu3>u4thenbi: =b0-u3elsebi: =b0-u4; ifv[i].y=2thenbi: =b0-u3-u4; ifv[i].z=0thenci: =c0; ifv[i].z=1thenifu5>u6thenci: =c0-u5elseci: =c0-u6; ifv[i].z=2thenci: =c0-u5-u6; m: =(v[j].x-v[i].x)*(bi*ci)+(v[j].y-v[i].y)*(ai*ci)+(v[j].z-v[i].z)*(ai*bi)*r; da_cost[i,j]: =m end elseda_cost[i,j]: =max{如果没有直接路径的话则把其设置为默认的最大值} end end; {以下我们所采用的是Diskstra的算法来求解图中的最短路径} fori: =1to27do begin dist[i]: =da_cost[1,i]; ifdist[i] =[1]+[i] elsepath[i]: =[] end; s: =[1];{先找出开始顶点} fork: =1to26do begin wm: =max; j: =1; fori: =1to27do ifnot(iins)and(dist[i] beginj: =i; wm: =dist[i] end; s: =s+[j]; fori: =1to27do{如果有通过其他顶点而改变权值的话则加以修改} ifnot(iins)and(dist[j]+da_cost[j,i] thenbegin dist[i]: =dist[j]+da_cost[j,i]; path[i]: =path[j]+[i]{把此顶点加入路径集合} end end; writeln('theshortestdistancebetween1to27is'); writeln(dist[27]);{输出权值} writeln('theshortestpathbetween1to27is'); fori: =1to27do ifiinpath[27]{输出路径} thenbeginwrite(i);write('-----') end end. 调试测试的结果为: pleaseinputdatawhichhavebeenknowed: a0,b0,c0,u1,u2..u6 1014.5196175.569 theshortestdistancebetween1to27is 3.7400000000E+02 theshortestpathbetween1to27is 1-----10-----13-----14-----23-----26-----27 二: 去掉部分点集及与其相关连的边后的解决方案源代码。 1: 去掉{(2,1,z)︱z=0,1,2}: programhalfcut1(input,output); const r=1.5;{此处r变为1.5} max=9999; e=2; type mat=array[1..27,1..27]ofreal; disttype=array[1..27]ofreal; zuo_biao=record x,y,z: integer; end; vset=array[1..27]ofzuo_biao; pathtype=setof1..27; var a0,b0,c0,u1,u2,u3,u4,u5,u6,ai,bi,ci,m,wm: real; da_cost: mat; dist: disttype; i,j,k,x,y,l,p,n: integer; path: array[1..27]ofpathtype; s: setof1..27; v: vset; begin writeln('pleaseinputdatawhichhavebeenknowed: a0,b0,c0,u1,u2..u6'); read(a0,b0,c0,u1,u2,u3,u4,u5,u6); i: =1; forl: =0to2do forp: =0to2do forn: =0to2do withv[i]do beginv[i].x: =n; v[i].y: =p; v[i].z: =l; i: =i+1 end; fori: =1to27do begin forj: =1to27do begin if(v[i].x+v[i].y+v[i].z+1=v[j].x+v[j].y+v[j].z)and(v[i].x<=v[j].x)and(v[i].y<=v[j].y)and(v[i].z<=v[j].z)and(i thenbegin ifv[i
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- 最优 切割 问题