高考数学不等式证明.docx
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高考数学不等式证明
题目
第六章不等式
不等式的证明
高考要求
1.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;
2.掌握用“分析法”证明不等式;理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3.搞清分析法证题的理论依据,掌握分析法的证题格式和要求
搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4
通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
(1)比较法:
作差比较:
作差比较的步骤:
①作差:
对要比较大小的两个数(或式)作差
②变形:
对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和
③判断差的符号:
结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意:
若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小
(2)综合法:
由因导果
(3)分析法:
执果索因
基本步骤:
要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:
寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达
(4)反证法:
正难则反
(5)放缩法:
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:
;
;
②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,
如:
;
④利用常用结论:
Ⅰ、
;
Ⅱ、
;
(程度大)
Ⅲ、
;(程度小)
(6)换元法:
换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元
如:
已知
,可设
;
已知
,可设
(
);
已知
,可设
;
已知
,可设
;
(7)构造法:
通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之
分析:
本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知
解:
由题意得
证法一:
(比较法)
,
,
证法二:
(放缩法)
,
证法三:
(数形结合法)如图,在Rt
ABC及Rt
ADF中,
AB=a,AC=b,BD=m,作CE∥BD
,
例2已知a,b∈R,且a+b=1
求证:
证法一:
(比较法)
即
(当且仅当
时,取等号)
证法二:
(分析法)
因为显然成立,所以原不等式成立
点评:
分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三:
(综合法)由上分析法逆推获证(略)
证法四:
(反证法)假设
,
则
由a+b=1,得
,于是有
所以
,
这与
矛盾
所以
证法五:
(放缩法)∵
∴左边=
=右边
点评:
根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式
证法六:
(均值换元法)∵
,
所以可设
,
,
∴左边=
=右边
当且仅当t=0时,等号成立
点评:
形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元
证法七:
(利用一元二次方程根的判别式法)
设y=(a+2)2+(b+2)2,
由a+b=1,有
,
所以
,
因为
,所以
,即
故
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- 高考 数学 不等式 证明