二次函数与三角形最大面积的3种求法.docx
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二次函数与三角形最大面积的3种求法
二次函数与三角形最大面积的3种求法
一.解答题(共7小题)
2
的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).
1.(2012?
广西)已知抛物线y=ax+2x+c
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点
D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点
D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点
P,使得△ABP的面积最大?
若存在,求出点
P的坐标;若不
存在,请说明理由.
2.(2013?
茂名)如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标
为(3,0).
(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:
是否存在一点N,使d的值最大?
若存在,
请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在,请简单说明理由.
3.(2011?
茂名)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛
物线对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC.探索:
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.
第1页(共11页)
4.(2012?
黔西南州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的
正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC,探索:
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,请你求
出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2013?
新疆)如图,已知抛物线
2
C,
y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点
其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(
4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点
D,使△BCD的周长最小?
若存在,求出点
D的坐标,若不
存在,请说明理由;
(3)若点E是
(1)中抛物线上的一个动点,
且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
2
6.(2009?
江津区)如图,抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.
第2页(共11页)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
若存在,求出点P的坐标
及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
2
7.如图,已知二次函数y=ax+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=﹣1.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.
第3页(共11页)
二次函数与三角形最大面积的3种求法
参考答案与试题解析
一.解答题(共7小题)
2
1.(2012?
广解:
(1)∵抛物线y=ax+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),西)解答:
∴,解得a=﹣1,c=3,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+2x+3.
(2)对称轴为x=
=1,
令y=﹣x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴C(﹣1,0).
如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对
称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:
,解得k=﹣1,b=3,
∴直线AB解析式为y=﹣x+3.
当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2).
(3)结论:
存在.
如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,
过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x.
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB
=(OB+PN)?
ON+PN?
AN﹣OA?
OB
=(3+y)?
x+y?
(3﹣x)﹣×3×3
=(x+y)﹣,
∵P(x,y)在抛物线上,∴
y=﹣x2
+2x+3,代入上式得:
S
=
(x+y)﹣=﹣(x
2﹣3x)=﹣(x﹣)2
+
,
△ABP
∴当x=
时,S△ABP取得最大值.
当x=
2
,∴P(,
).
时,y=﹣x+2x+3=
所以,在第一象限的抛物线上,
存在一点
P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(,
).
第4页(共11页)
2.(2013?
茂名)
解答:
解:
(1)∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B(3,0),
∴9a﹣×3+2=0,
解得a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+2,
∵y=﹣
2
2
2
,
x﹣x+2=
﹣(x
+3x)+2=﹣(x+
)+
∴顶点坐标为(﹣
,
);
(2)∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣,
与x轴交于点A和点B,点B的坐标为(3,0),∴点A的坐标为(﹣6,0).
又∵当x=0时,y=2,∴C点坐标为(0,2).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则,解得,
∴直线AC的解析式为y=x+2.
∵S△AMC=S△ABC,
∴点B与点M到AC的距离相等,
又∵点B与点M都在AC的下方,
∴BM∥AC,
设直线BM的解析式为y=x+n,
第5页(共11页)
将点B(3,0)代入,得×3+n=0,
解得n=﹣1,
∴直线BM的解析式为y=x﹣1.
由,解得,,
∴M点的坐标是(﹣9,﹣4);
(3)在抛物线对称轴上存在一点N,能够使d=|AN﹣CN|的值最大.理由如下:
∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B,
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称.
连接BC并延长,交直线x=﹣于点N,连接AN,则AN=BN,此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大.
设直线BC的解析式为y=mx+t,将B(3,0),C(0,2)两点的坐标代入,
得,,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,
当x=﹣时,y=﹣×(﹣)+2=3,
∴点N的坐标为(﹣,3),d的最大值为BC==.
3.(2011?
茂名)
解答:
解:
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),
把点A(0,4)代入上式得:
a=,
∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4=(x﹣3)2﹣,
∴抛物线的对称轴是:
x=3;
(2)P点坐标为:
(6,4),
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2;
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,
在Rt△AOM中,AM===5,
第6页(共11页)
∵抛物线对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,
即P(6,4);
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.
设N点的横坐标为t,此时点N(t,t2﹣t+4)(0<t<5),
过点N作NG∥y轴交AC于G;作AM⊥NG于M,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:
y=﹣x+4;
把x=t代入得:
y=﹣t+4,则G(t,﹣t+4),
此时:
NG=﹣x+4﹣(t2﹣
t+4)=﹣t2
+4t,
∵AM+CF=CO,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG?
OC=(﹣
2
2
t+4t)×5=﹣2t
+10t=﹣2(t﹣)
2
+,
∴当t=时,△CAN面积的最大值为,
由t=,得:
y=t2﹣t+4=﹣3,
∴N(,﹣3).
4.(2012?
黔西南州)
解答:
解:
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),
将点A(0,4)代入上式解得:
a=,
第7页(共11页)
即可得函数解析式为:
y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4=(x﹣3)2﹣,
故抛物线的对称轴是:
x=3;
(2)P点坐标为:
(6,4),
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2;
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,
在Rt△AOM中,AM=
=
=5,
∵抛物线对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为
6,即AP=6;
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数
3、4、5、6成立,
即P(6,4);
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点
N,使△NAC面积最大.
设N点的横坐标为t,此时点N(t,t2﹣
t+4)(0<t<5),
过点N作NG∥y轴交AC于G,作AM⊥NG于M,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线
AC的解析式为:
y=﹣
x+4;
把x=t代入y=﹣x+4,则可得G(t,﹣
t+4),
此时:
NG=﹣x+4﹣(t2﹣
t+4)=﹣t2
+4t,
∵AM+CE=CO,
2
2
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG?
OC=(﹣t
+4t)×5=﹣2t+10t=﹣2(t﹣)
2
+,
∴当t=时,△CAN面积的最大值为,
由t=,得:
y=t2﹣t+4=﹣3,
∴N(,﹣3).
第8页(共11页)
5.(2013?
新疆)
解答:
解:
(1)∵抛物线
2
y=ax+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),
∴
,
解得
,
所以,抛物线的解析式为
y=x2﹣4x+3;
(2)∵点A、B关于对称轴对称,
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,
解得,
所以,直线AC的解析式为y=x﹣1,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
当x=2时,y=2﹣1=1,
∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小;
(3)如图,设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m,
联立,
消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0,
△=(﹣5)2﹣4×1×(3﹣m)=0,
即m=﹣时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大,
此时x=,y=﹣=﹣,
∴点E的坐标为(,﹣),
第9页(共11页)
设过点E的直线与x轴交点为F,则F(,0),
∴AF=﹣1=,
∵直线AC的解析式为y=x﹣1,
∴∠CAB=45°,
∴点F到AC的距离为AF?
sin45°=×=,
又∵AC==3,
∴△ACE的最大面积=×3×=,此时E点坐标为(,﹣).
6.(2009?
江津区)
2
解答:
解:
(1)将A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x+bx+c中得
(2分)
∴
(3分)
∴抛物线解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3;(4分)
(2)存在(5分)
理由如下:
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小
∵y=﹣x2﹣2x+3
∴C的坐标为:
(0,3)
直线BC解析式为:
y=x+3(6分)
Q点坐标即为
解得
∴Q(﹣1,2);(7分)
(3)存在.(8分)
理由如下:
设P点(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)
∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣
若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大,
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC(9分)
=BE?
PE+OE(PE+OC)
第10页(共11页)
=(x+3)(﹣x2﹣2x+3)+(﹣x)(﹣x2
﹣2x+3+3)
=
当x=﹣时,S四边形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=
(10分)
当x=﹣时,﹣x2﹣2x+3=
∴点P坐标为(﹣,).(11分)
7.解
答:
解:
(1)根据题意得:
,
解得:
a=1,b=2,c=﹣3,
2
∴抛物线解析式为y=x+2x﹣3.
(2)令y=0,则x2+2x﹣3=0,解得x=1或x=﹣3,
∴AB=4,
∵△PAB得面积为10,设P的纵坐标为h,
∴AB×|h|=10,
∴|h|=5,
2
2
﹣4,
∵y=x+2x﹣3=(x+1)
∴顶点坐标为(﹣1,﹣
4),
∴P的纵坐标不能为﹣
5,
∴,h=5,
代入得5=x2
+2x﹣3,
解得x=2,x=﹣4;
∴点P的坐标为(2,5),(﹣4,5).
第11页(共11页)
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- 二次 函数 三角形 最大 面积 求法