《步步高》高考数学第一轮复习05 平面向量的数量积.docx

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《步步高》高考数学第一轮复习05平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

2014高考会这样考

　1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．

复习备考要这样做

　1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．

1．平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a·b＝|a||b|cosθ.

规定：

零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

3．平面向量数量积的重要性质

（1）e·a＝a·e＝|a|cosθ；

（2）非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；

（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；

（4）cosθ＝；

（5）|a·b|__≤__|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

（1）a·b＝b·a（交换律）；

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（λ为实数）；

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

（1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.

（3）设两个非零向量a，b，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

[难点正本　疑点清源]

1．向量的数量积是一个实数

两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．

2．a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，、的夹角与角B的关系．

3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．

1．已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___.

答案　－3

解析　a·b＝|a||b|cos135°＝2×3×＝－3.

2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．

答案　

解析　由a⊥b知a·b＝0.

又3a＋2b与λa－b垂直，

∴（3a＋2b）·（λa－b）＝3λa2－2b2

＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝.

3．已知a＝（2,3），b＝（－4,7），则a在b方向上的投影为______．

答案　

解析　设a和b的夹角为θ，|a|cosθ＝|a|

＝＝＝.

4．（2011·辽宁）已知向量a＝（2,1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k等于（　　）

A．－12B．－6C．6D．12

答案　D

解析　由已知得a·（2a－b）＝2a2－a·b

＝2（4＋1）－（－2＋k）＝0，∴k＝12.

5．（2012·陕西）设向量a＝（1，cosθ）与b＝（－1,2cosθ）垂直，则cos2θ等于（　　）

A.B.C．0D．－1

答案　C

解析　利用向量垂直及倍角公式求解．

a＝（1，cosθ），b＝（－1,2cosθ）．

∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，

∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.

题型一　平面向量的数量积的运算

例1

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于（　　）

A．－16B．－8C．8D．16

（2）若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·c＝30，则x等于（　　）

A．6B．5C．4D．3

思维启迪：

（1）由于∠C＝90°，因此选向量，为基底．

（2）先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.

答案　

（1）D　

（2）C

解析　

（1）·＝（－）·（－）

＝－·＋＝16.

（2）∵a＝（1,1），b＝（2,5），

∴8a－b＝（8,8）－（2,5）＝（6,3）．

又∵（8a－b）·c＝30，∴（6,3）·（3，x）＝18＋3x＝30.

∴x＝4.

探究提高　求两个向量的数量积有三种方法：

利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．

　（2012·北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

答案　1　1

解析　方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则

A（0,0），B（1,0），C（1,1），D（0,1），则

E（t,0），t∈[0,1]，则＝（t，－1），＝（0，－1），所以·＝（t，－1）·（0，－1）＝1.

因为＝（1,0），所以·＝（t，－1）·（1,0）＝t≤1，

故·的最大值为1.

方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，

∴·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴（·）max＝||·1＝1.

题型二　向量的夹角与向量的模

例2

　已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

（1）求a与b的夹角θ；

（2）求|a＋b|；

（3）若＝a，＝b，求△ABC的面积．

思维启迪：

运用数量积的定义和|a|＝.

解　

（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.

∴cosθ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

（2）可先平方转化为向量的数量积．

|a＋b|2＝（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×（－6）＋32＝13，

∴|a＋b|＝.

（3）∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.

探究提高　

（1）在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，它是求距离常用的公式．

（2）要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．

（1）已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为（　　）

A.B.C.D.

（2）已知向量a＝（1，），b＝（－1,0），则|a＋2b|等于（　　）

A．1B.C．2D．4

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）∵cos〈a，b〉＝＝，

∴〈a，b〉＝.

（2）|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4，

∴|a＋2b|＝2.

题型三　向量数量积的综合应用

例3

　已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ）（0<α<β<π）．

（1）求证：

a＋b与a－b互相垂直；

（2）若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.（其中k为非零实数）

思维启迪：

（1）证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．

（2）由模相等，列等式、化简．

（1）证明　∵（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝|a|2－|b|2

＝（cos2α＋sin2α）－（cos2β＋sin2β）＝0，

∴a＋b与a－b互相垂直．

（2）解　ka＋b＝（kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ），

a－kb＝（cosα－kcosβ，sinα－ksinβ），

|ka＋b|＝，

|a－kb|＝.

∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos（β－α）＝－2kcos（β－α）．

又k≠0，∴cos（β－α）＝0.

∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝.

探究提高　

（1）当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

（2）当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.

（3）数量积的运算中，a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.

已知平面向量a＝（，－1），b＝.

（1）证明：

a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋（t2－3）b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f（t）．

（1）证明　∵a·b＝×－1×＝0，

∴a⊥b.

（2）解　∵c＝a＋（t2－3）b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，

∴c·d＝[a＋（t2－3）b]·（－ka＋tb）

＝－ka2＋t（t2－3）b2＋[t－k（t2－3）]a·b＝0，

又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，

∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，

∴k＝f（t）＝（t≠0）．

三审图形抓特点

典例：

（5分）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，

若＝x＋y，则x＝________，

y＝________.

审题路线图

图形有一副三角板构成

↓（注意一副三角板的特点）

令|AB|＝1，|AC|＝1

↓（一副三角板的两斜边等长）

|DE|＝|BC|＝

↓（非等腰三角板的特点）

|BD|＝|DE|sin60°＝×＝

↓（注意∠ABD＝45°＋90°＝135°）

在上的投影即为x

↓x＝|AB|＋|BD|cos45°＝1＋×＝1＋

↓在上的投影即为y

↓y＝|BD|·sin45°＝×＝.

解析　方法一　结合图形特点，设向量，为单位向量，由＝x＋y知，x，y分别为在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝，

∴||＝||·sin60°＝.

∴在上的投影

x＝1＋cos45°＝1＋×＝1＋，

在上的投影y＝sin45°＝.

方法二　∵＝x＋y，又＝＋，

∴＋＝x＋y，∴＝（x－1）＋y.

又⊥，∴·＝（x－1）2.

设||＝1，则由题意||＝||＝.

又∠BED＝60°，∴||＝.显然与的夹角为45°.

∴由·＝（x－1）2，

得×1×cos45°＝（x－1）×12.∴x＝＋1.

同理，在＝（x－1）＋y两边取数量积可得y＝.

答案　1＋　

温馨提醒　突破本题的关键是，要抓住图形的特点（图形由一副三角板构成）．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．

方法与技巧

1．计算数量积的三种方法：

定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

2．求向量模的常用方法：

利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．

3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

失误与防范

1．

（1）0与实数0的区别：

0a＝0≠0，a＋（－a）＝0≠0，a·0＝0≠0；

（2）0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．

2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.

3．a·b＝a·c（a≠0）不能推出b＝c，即消去律不成立．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·辽宁）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x），若a·b＝1，则x等于（　　）

A．－1B．－C.D．1

答案　D

解析　a·b＝（1，－1）·（2，x）＝2－x＝1⇒x＝1.

2．（2012·重庆）设x，y∈R，向量a＝（x,1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于（　　）

A.B.C．2D．10

答案　B

解析　∵a＝（x,1），b＝（1，y），c＝（2，－4），

由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.

由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，∴y＝－2.

∴a＝（2,1），b＝（1，－2）．

∴a＋b＝（3，－1），∴|a＋b|＝＝.

3．已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　设c＝（x，y），则c＋a＝（x＋1，y＋2），

又（c＋a）∥b，∴2（y＋2）＋3（x＋1）＝0.①

又c⊥（a＋b），∴（x，y）·（3，－1）＝3x－y＝0.②

联立①②解得x＝－，y＝－.

4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于（　　）

A．－B．－C.D.

答案　D

解析　由于·＝||·||·cos∠BAC

＝（||2＋||2－||2）＝×（9＋4－10）＝.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．（2012·课标全国）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

答案　3

解析　∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，

∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝|b|，

|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.

6．（2012·浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.

答案　－16

解析　如图所示，

＝＋，

＝＋

＝－，

∴·＝（＋）·（－）

＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.

7．已知a＝（2，－1），b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．

答案　（－∞，－6）∪

解析　由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.

三、解答题（共22分）

8．（10分）已知a＝（1,2），b＝（－2，n）（n>1），a与b的夹角是45°.

（1）求b；

（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

解　

（1）a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，

∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0，

∴n＝6或n＝－（舍），∴b＝（－2,6）．

（2）由

（1）知，a·b＝10，|a|2＝5.

又c与b同向，故可设c＝λb（λ>0），（c－a）·a＝0，

∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，

∴c＝b＝（－1,3）．

9．（12分）设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解　∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×＝1，

∴（2te1＋7e2）·（e1＋te2）

＝2te＋7te＋（2t2＋7）e1·e2

＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.

由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7

当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时，

设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ<0，

则⇒2t2＝7⇒t＝－或t＝（舍）．

故t的取值范围为（－7，－）∪（－，－）．

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．（2012·湖南）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于（　　）

A.B.C．2D.

答案　A

解析　∵·＝1，且AB＝2，

∴1＝||||cos（π－B），∴||||cosB＝－1.

在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，

即9＝4＋|BC|2－2×（－1）．

∴|BC|＝.

2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是（　　）

A．－4B．4C．－2D．2

答案　A

解析　a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，

∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.

3．（2012·江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（　　）

A．2B．4C．5D．10

答案　D

解析　∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.

∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.

∴||2＋||2

＝（2＋2）－2·（＋）＋22

＝2－2·2＋22.

又2＝162，＝2，

代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．（2012·安徽）设向量a＝（1,2m），b＝（m＋1,1），c＝（2，m）．若（a＋c）⊥b，则|a|＝________.

答案　

解析　利用向量数量积的坐标运算求解．

a＋c＝（1,2m）＋（2，m）＝（3,3m）．∵（a＋c）⊥b，

∴（a＋c）·b＝（3,3m）·（m＋1,1）＝6m＋3＝0，

∴m＝－.∴a＝（1，－1），∴|a|＝.

5．（2012·江苏）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点

F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

答案　

解析　方法一　坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（，0），E（，1），F（x,2）．

故＝（，0），＝（x,2），＝（，1），＝（x－，2），

∴·＝（，0）·（x,2）＝x.

又·＝，∴x＝1.∴＝（1－，2）．

∴·＝（，1）·（1－，2）＝－2＋2＝.

方法二　用，表示，是关键．

设＝x，则＝（x－1）.

·＝·（＋）

＝·（＋x）＝x2＝2x，

又∵·＝，∴2x＝，

∴x＝.∴＝＋＝＋.

∴·＝（＋）·

＝

＝2＋2

＝×2＋×4＝.

6．（2012·上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

答案　[1,4]

解析　利用基向量法，把，都用，表示，再求数量积．

如图所示，

设＝

＝λ（0≤λ≤1），则＝λ，

＝λ，＝－

＝（λ－1），

∴·＝（＋）·（＋）

＝（＋λ）·[＋（λ－1）]

＝（λ－1）·＋λ·

＝4（1－λ）＋λ＝4－3λ，

∴当λ＝0时，·取得最大值4；

当λ＝1时，·取得最小值1.

∴·∈[1,4]．

三、解答题

7．（13分）设平面上有两个向量a＝（cosα，sinα）（0°≤α<360°），b＝.

（1）求证：

向量a＋b与a－b垂直；

（2）当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

（1）证明　∵（a＋b）·（a－b）＝a2－b2

＝|a|2－|b|2＝（cos2α＋sin2α）－＝0，

故向量a＋b与a－b垂直．

（2）解　由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得

3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，

所以2（|a|2－|b|2）＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，

所以a·b＝0，即·cosα＋·sinα＝0，

即cos（α＋60°）＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，k∈Z，

即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.