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因式分解
第八章因式分解
8.1提公因式法
(一)
【探究新知】
1.因式分解的概念:
定义:
把一个化为的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法的联系与区别.
联系:
区别:
因式分解的特征:
乘法的特征:
.
【巩固新知】.
例:
下列各式从左到右哪些是因式分解?
(1)x2-x=x(x-1)()
(2)a(a-b)=a2-ab()
(3)(a+3)(a-3)=a2-9()
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1()
(5)x2-4x+4=(x-2)2()
提公因式法:
多项式:
ma+mb+mc特点:
各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
注意:
公因式是各项都含有的公共的因式.
多项式a2-a各项的公因式为.多项式5a2b-ab2各项的公因式为.
多项式4m2np-2mn2q各项的公因式为.
定义:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
ma+mb+mc=m(a+b+c).
【课堂练习】
例1指出下列各多项式中各项的公因式:
(1)ax+ay+a()
(2)3mx-6mx2()
(3)4a2+10ah()(4)x2y+xy2()
(5)12xyz-9x2y2()
提公因式法的关键:
.
确定公因式的方法:
(1)公因式的系数应取各项系数的():
(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取()次数。
例2把下列各式分解因式.
分析:
第一步,找出公因式;第二步,提公因式.
解:
(1)8a3b2-12ab3c
(2)3x2-6xy+x(3)2a2x+6ax2-12ax3
解:
(4)-4m3+16m2-26m(5)6x4y3-12x2y4z(6)-3a2x+6axy-3a
(7)2a(x+y)+3b(x+y);(8)x(a+b+1)-2y(a+b+l)
【达标检测】
练习填空
(1)
;
(2)
;
错因分析:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
【课后巩固】
课改练习册:
P112
8.1提公因式法
(二)
学习目标:
会将较复杂的多项式因式分解,体会换元的思想,特别注意符号的处理。
学习重点:
一、课前准备
1.什么是因式分解?
它与整式乘法有何联系?
2.什么是多项式的公因式?
如何确定公因式?
怎样的方法叫做提公因式法?
3.提公因式法因式分解应注意哪些问题?
4.代数式中的字母表示什么?
【探究新知】
探究活动:
ma+mb+mc=___________________
1.公因式是多项式。
(1)2a(x+y)+3b(x+y);x(a+b+1)-2y(a+b+l)
例1分解因式.
解:
2a(b+c)-3(b+c)
(2)6(x+y)-12z(x+y);(3)(2x+1)y2+(2x+1)2y;
例2把下列各式分解因式:
解:
(1)6(x-2)+x(2-x).解:
(2)
(3)
(4)
【课堂练习】
练习1.:
把下列各式分解因式:
(1)m(a-b)-n(b-a);
(2)
(3)m(m-n)2-n(n-m)2;(4)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c).
(5)5x(m-2)+4x(2-m),其中x=0.4,m=5.5.
【达标检测】
.把下列各式先因式分解,再求值:
基础题:
(1)8a3b2-12ab3c
(2)3x2-6xy+x(3)2a2x+6ax2-12ax3
(4)x(a+b-3c)-(3c-a-b),其中x=-1,a=296,b=-307,c=2009.
提升题:
1.已知a-b-c=5,求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值.
错因分析:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
【课后巩固】
课改练习册:
P113
8.3-1运用公式法——平方差公式
(一)
学习目标:
能判断一个多项式能否用平方差公式分解,会熟练运用平方差公式因式分解,分清乘法中的平方差公式与因式分解公式的区别联系。
重点:
会熟练运用平方差公式因式分解。
比一比,看谁算得快?
=
【探究新知】
因式分解平方差公式:
公式特征:
左边右边
判断下列多项式能否用平方差公式因式分解?
(1)
()
(2)
()(3)
()
(4)
()(5)
()(6)
()
(7)3x2-4y2;(8)0.9x2-y2(9)9m2-4n2
【课堂练习】
(1)25m2=( )2;
(2)0.49b2=( )2;
例1把下列各式分解因式:
解:
(1)4m2-n2
(2)1-25x2y2(3)
(4)
(5)
【达标检测】
解:
(1)
(2)
(3)
例2把下列各式分解因式:
(1)
(2)
课堂小结
1.平方差公式的特点.
2.能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件
3.平方差公式中字母a、b不仅可以表示数,而且可以是单项式、多项式.
错因分析:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
【课后巩固】
课改练习册:
P114
8.3-1运用公式法——平方差公式
(二)
学习目标:
能用平方差公式进行因式分解,体会换元思想,能先考虑提公因式,再考虑运用公式,将多项式分解到底.
学习重点:
找到公式中的a、b,能正确运用平方差公式因式分解。
一、课前准备
1.叙述平方差公式,并指出公式中的a、b可以代表什么.
2.能运用平方差公式分解因式的多项式应具备什么条件?
【探究新知】
例1 把下列各式因式分解:
解:
(1)(x+p)2-(x+q)2;
(2)
(2)-z2+(x-y)2;
说明:
运用平方差公式后应注意合并同类项.
(3)4(2x+3y)2-(3x+2y)2(4)16(a-b)2-9(a+b)2;
解:
【课堂练习】
(1)(a+b)2-100;
(2)(a+b)2-4a2;
(3)4(a+b)2-25(a-b)2; (4)a2(a+2b)2-9(x+y)2;
例2 把下列各式因式分解:
解:
(1)x5-x3;
(2)x4-y4.
(1)a-a5
(2)2ab3-2ab(3)x3-16x(4)-x4+16
【达标检测】
例4 利用平方差公式求值.
(1)652-352;
求:
x2-y2的值.
练习:
(1)7582-2582.
(2)4292-1712
四、课堂小结
五、课堂反馈:
求:
x-y的值.
错因分析:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
【课后巩固】
课改练习册:
P115
8.3-2运用公式法——完全平方公式
(一)
学习目标:
能判断一个多项式能否用完全平方公式分解,会熟练运用完全平方公式因式分解。
重点:
会熟练运用完全平方公式因式分解。
比一比,看谁算得快?
=
【探究新知】
因式分解完全平方公式:
语言叙述:
公式特征:
左边右边
例1把下列各式分解因式:
解:
(1)
(2)
(3)
练习1:
判断下列多项式能否用平方差公式因式分解?
(1)
()
(2)
()(3)()
(4)
()(5)
()(6)
()
练习2:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
例2分解因式:
(1)
(2)
(3)
(4)
=
【课堂练习】
将下列各式因式分解
解:
(1)
(2)
(3)
【达标检测】
把下列各式分解因式:
解法1:
解法2:
错因分析:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
8.3-3运用公式法——完全平方公式2
学习目标:
熟练运用完全平方公式因式分解,体会换元的方法。
提取公因式法与完全平方公式的结合,探索讨论有关平方差公式与完全平方公式综合的一些问题.
学习重点:
熟练运用完全平方公式因式分解,体会换元的方法,会分解较复杂多项式,能利用分解策略,将多项式分解到底。
【温故知新】
完全平方公式:
分解因式:
(1)x2+6x+9
(2)16m2-40mn+25n2
(3)x4-2x2y2+y4(4)-x2-4y2+4xy
【探究新知】
例1 把下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)(a+2b)2-10(a+2b)+25(3)9(p-q)2-6(q-p)+1
例2 将下列各式因式分解.
(1)(x2+y2)2-4x2y2.
(2)(x2+1)2-4x(x2+1)+4x2
例3把16x2y-16x3-4xy2分解因式
【课堂练习】
(1)
(2)
(3)
(4)
5)
(6)
【达标检测】
配配方:
填出适当的单项式,使等号左边能够成为完全平方式.
(3)
(2)
(4)4x2+12x+( )=4[x+( )]2
1挑战:
已知:
,求
的值。
2.挑战:
已知:
,求证:
错因分析:
_________________________________________________________________
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- 因式分解