初中奥数系列1431解直角三角形题库学生版.docx
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初中奥数系列1431解直角三角形题库学生版
中考要求
内容
基本要求
略高要求
较高要求
解直角三角形
知道解直角三角形的含义
会解直角三角形;能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形;会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
能综合运用直角三角形的性质解决有关问题
例题精讲
板块一解直角三角形
一、解直角三角形的概念
根据直角三角形中已知的量(边、角)来求解未知的量(边、角)的过程就是解直角三角形.
二、直角三角形的边角关系
如图,直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳:
⑴三边之间的关系:
(勾股定理);
⑵锐角之间的关系:
;
⑶边角之间的关系:
,
,
,
.
三、解直角三角形的四种基本类型
⑴已知斜边和一直角边(如斜边
,直角边
),由
求出
,则
,
;
⑵已知斜边和一锐角(如斜边
,锐角
),求出
,
,
;
⑶已知一直角边和一锐角(如
和锐角
),求出
,
,
;
⑷已知两直角边(如
和
),求出
,由
,得
.
具体解题时要善于选用公式及其变式,如
可写成
,
等.
四、解直角三角形的方法
解直角三角形的方法可概括为:
“有斜(斜边)用弦(正弦,余弦),无斜用切(正切,余切),宁乘毋除,取原避中”.这几句话的意思是:
当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦;
无斜边时,就用正切或余切;
当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;
既可由已知数据又可用中间数据求得时,则用原始数据,尽量避免用中间数据.
直角三角形两锐角间的三角函数关系
(五)解直角三角形的技巧及注意点
在
中,
,故
,
,
,
.利用这些关系式,可在解题时进行等量代换,以方便解题.
(六)如何解直角三角形的非基本类型的题型
对解直角三角形的非基本类型的题型,通常是已知一边长及一锐角三角函数值,可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解;
(1)如果有些问题一时难以确定解答方式,可以依据题意画图帮助分析;
(2)对有些比较复杂的问题,往往要通过作辅助线构造直角三角形,作辅助线的一般思路是:
①作垂线构成直角三角形;
②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.
【例1】在三角形
中,
则
的长度为()
A.
B.
C.
D.
【例2】已知
中,
,根据下列条件解直角三角形:
,
;
【例3】已知
中,
,根据下列条件解直角三角形:
,
;
【例4】已知
中,
,根据下列条件解直角三角形:
,
.
【例5】如图,在
中,已知
,如果
求
的长度
【例6】如图,在
中,已知
,如果
,求
的长度
【例7】如图所示,在
中,
,
是
边上的一点,且
,求
和
的值.
【例8】如图,在凯里市某广场上空飘着一只汽球
,
是地面上相距
米的两点,它们分别在汽球的正西和正东,测得仰角
,仰角
,求汽球
的高度(精确到0.1米,
=1.732)
【例9】在
中,
,若
,求
的值.
【例10】在
中,
,若
,求
的值.
【例11】在三角形
中,
,
分别是
的对边,已知
,求
【例12】如图,在
中,已知
,求
中各内角的度数
【例13】如图,已知:
是等腰直角三角形,
,过
的中点
作
,垂足为
,连接
,求
的值.
【例14】如图所示,天空中有一静止的广告气球
,从地面
点测得
的仰角为45°,从地面
点测得
的仰角为60°.已知
米,点
和直线
在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度
(结果保留根号).
【例15】如图,两条宽都为
的平直纸条,交叉叠放在一起,他们的交角为
,求他们的重叠部分的面积(即图像的阴影部分的面积)
【例16】已知:
如图,
中,
,
是
上一点,
,求
的度数及
的长.
板块二解直角三角形应用
(七)直角三角形中其他重要概念
⑴仰角与俯角:
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.如图⑴.
⑵坡角与坡度:
坡面的垂直高度
和水平宽度
的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母表示为
,坡面与水平面的夹角记作
,叫做坡角,则
.坡度越大,坡面就越陡.如图⑵.
⑶方向角(或方位角):
方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达为北(南)偏东(西)××度.如图⑶.
2.解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题:
⑴分析题意,根据已知条件画出它的平面或截面示意图,分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义;
⑵找出要求解的直角三角形.有些图形虽然不是直角三角形,但可添加适当的辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形);
⑶根据已知条件,选择合适的边角关系式解直角三角形;
⑷按照题目中已知数据的精确度进行近似计算,检验是否符合实际,并按题目要求的精确度取近似值,注明单位.
(一)、仰角俯角
【例17】如图,一艘核潜艇在海面下
米
点处测得俯角为
正前方的海底有黑匣子信号发出,继续在同一深度直线航行
米后再次在
点处测得俯角为
正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子
点处距离海面的深度?
(精确到米)
【例18】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼,两人准备用测量影子的方法测算其楼高,但恰逢阴天,于是两人商定改用下面方法:
如图,亮亮蹲在地上,颖颖站在亮亮和楼之间,两人适当调整自己的位置,当楼的顶部
,颖颖的头顶
及亮亮的眼睛
恰在一条直线上时,两人分别标定自己的位置
,
.然后测出两人之间的距离
,颖颖与楼之间的距离
(
在一条直线上),颖颖的身高
,亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离
.你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗?
【例19】某旅游区有一个景观奇异的望天洞,
点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山洞到达山顶的出口凉亭
处观看旅游区风景,最后坐缆车沿索道
返回山脚下的
处.在同一平面内,若测得斜坡
的长为
米,坡角
,在
处测得
的仰角
,在
处测得
的仰角
,过
点作地面
的垂线,垂足为
.
1求
的度数;
2求索道
的长.(结果保留根号)
【例20】如图所示,山坡上有一棵与水平面垂直的大树,一场台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面.已知山坡的坡角
,量得树干倾斜角
,大树被折断部分和坡面所成的角
.
⑴求
的度数;
⑵求这棵大树折断前的高度.(结果精确到个位,参考数据:
).
【例21】一次数学活动中,小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度
.已知她的眼睛与地面的距离为1.6米,小迪在
处测量时,测角器中的
(量角器零度线
和铅垂线
的夹角,如图);然后她向小山走50米到达点
处(点
在同一直线上),这时测角器中的
,那么小山的高度
约为( )
A.68米B.70米C.121米D.123米
(注:
数据
,
供计算时选用)
【例22】如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高
,深为
,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,斜坡的坡角
为
,设台阶的起点为
,斜坡的起点为
,求
的长度(精确到
)
【例23】课外实践活动中,数学老师带领学生测量学校旗杆的高度.如图,在A处用测角仪(离地高度
米)测得旗杆顶端的仰角为
,朝旗杆方向前进23米到
处,再次测得旗杆顶端的仰角为
,求旗杆
的高度.
【例24】在一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点
处观测到河对岸水边有一点
,测得
在
北偏西
的方向上,沿河岸向北前行20米到达
处,测得
在
北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:
,
)
【例25】如图,湖心岛上有一凉亭,现欲利用湖岸边的开阔平整地带,测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度
(见示意图),可供使用的工具有测倾器、皮尺.
⑴请你根据现有条件,设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度
的方案,画出测量方案的平面示意图,并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用
,
…表示,角用
,
…表示,测倾器高度忽略不计);
⑵根据你所测量的数据,计算凉亭到湖面的高度
(用字母表示).
【例26】如图,某幢大楼顶部有一块广告牌
,甲乙两人分别在相距8米的
、
两处测得
点和
点的仰角分别为
和
,且
、
、
三点在一条直线上,若
米,求这块广告牌的高度.(取
,计算结果保留整数)
【例27】由山脚下的一点
测得山顶
的仰角是
,从
沿倾斜角为
的山坡前进
米到
,再次测得山顶
的仰角为
,求山高
.
【例28】如图,在山脚的
处测得山顶
的仰角为
,沿着坡度为
的斜坡前进400米到
处(即
),测得
的仰角为
,求山的高度
.
【例29】如图所示,某学校拟建两幢平行的教学楼,现设计两楼相距30米,从
点看
点,仰角为
;从
点看
点,俯角为
,解决下列问题:
1求两幢楼分别高多少米?
(结果精确到1米)
⑵若冬日上午
太阳光的入射角最低为
(光线与水平线的夹角),问一号楼的光照是否会有影响?
请说明理由,若有,则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响?
(结果精确到1米)(参考数据:
)
【例30】若每层楼高2.2米,问在例题的第⑵问中,在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响?
【例31】某住宅小区有一郑南朝向的居民楼,如图,该楼底层是高为
的超市,超市以上是居民住房,在该楼前方
处准备盖一幢高
的新楼,已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为
⑴超市以上居民住房采光是否受到影响?
为什么?
⑵若要使居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?
(精确到
)
【例32】如图,“五一”期间在某商贸大厦上从点
到点
悬挂了一条宣传条幅,小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上.小明在四楼
点测得条幅端点
的仰角为
,测得条幅端点
的俯角为
;小雯在三楼C点测得条幅端点
的仰角为
,测得条幅端点
的俯角为
.若设楼层高度
为3米,请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅
的长.(结果精确到个位,参考数据
)
【例33】如图,某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望,甲、乙两学生分别在这楼房的
两层,甲在
层测得电视塔塔顶
的仰角为
,塔底
的俯角为
,乙在
层测得塔顶
的仰角为
,由于塔底的视线被挡住,乙无法测得塔底的俯角,已知
之间的高度差为
,求电视塔高
(用含
的代数式表示)
(二)、坡度角
【例34】为了加固一段河堤,需要运来砂石和土将堤面加宽
,使坡度由原来的
变成
,如图所示,已知原来背水坡长
,堤长
,那么需要运来砂石和土多少立方米?
(参考数据
≈1.7,
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