中考数学复习方法技巧专题九45角与正切值含分类汇编解析.docx
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中考数学复习方法技巧专题九45角与正切值含分类汇编解析
2019-2020年中考数学复习方法技巧专题九:
45°角与正切值含分类汇编解析
一、选择题
1.如图F9-1,直线y=
x+3交x轴于A点,交y轴于B点.将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点M、N恰落在直线y=
x+3上.若N点在第二象限内,则tan∠AON的值为( )
图F9-1
A.
B.
C.
D.
二、填空题
2.如图F9-2,△ABC中,∠C=90°,∠ABD=45°,BD=91,CD=35,则AD的长度为________.
图F9-2
3.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于D,CD=3AD,反比例函数y=
的图象经过点C,则k的值为________.
图F9-3图F9-4
4.[2017·金华]如图F9-4,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=
的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为________.
三、解答题
5.如图F9-5,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2
,
.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连结PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:
△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小;
(3)求CQ的长.
图F9-5
6.如图F9-6,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解折式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
图F9-6
7.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中A(1,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图F9-7,若点P在抛物线上运动(点P异于点A),当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式.
图F9-7
8.如图F9-8,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=
x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,
).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.
图F9-8
9.如图F9-9,抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A、B、C三点,点P在抛物线上,PD⊥BC于点D,垂足D在线段BC上.若
=
,求点P的坐标.
图F9-9
参考答案
1.A [解析]过O作OC⊥AB于C,过N作ND⊥OA于D,
∵N在直线y=
x+3上,∴设N的坐标是(x,
x+3),
则DN=
x+3,OD=-x.y=
x+3,
当x=0时,y=3,当y=0时,x=-4,
∴A(-4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3,
在△AOB中,由勾股定理得AB=5,
∵在△AOB中,由三角形的面积公式得:
AO×OB=AB×OC,∴3×4=5OC,∴OC=
.
∵在Rt△NOM中,OM=ON,∠MON=90°,∴∠MNO=45°,
∴sin45°=
=
,∴ON=
,
在Rt△NDO中,由勾股定理得ND2+DO2=ON2,即(
x+3)2+(-x)2=(
)2,
计算得出x1=-
,x2=
,
∵N在第二象限,∴x只能是-
,
x+3=
,
即ND=
,OD=
,tan∠AON=
=
.
所以A选项是正确的.
2.169 3.9
4.(-1,-6) [解析]如图,过点A作AH⊥AB交x轴于点H,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AH,垂足分别为E,F.
设AB的解析式为y=kx+b,把点A(2,3)和点B(0,2)分别代入,得
解得
∴y=
x+2.
令y=0,则
x+2=0,得x=-4.
∴G(-4,0),∴OG=4,OB=2.
∵点A(2,3),OG=4,可得AG=3
.
∵∠BGO=∠AGH,∠GOB=∠GAH=90°,
∴△BOG∽△HAG,
∴
=
,即
=
,∴AH=
.
由△AGH的面积,可得
×3GH=
AG·AH,
即3GH=3
×
,得GH=
.
∴OH=GH-OG=
.
∵AH⊥AB,∠GAC=45°,∴AD平分∠GAH.
∵DE⊥AB,DF⊥AH,∴DE=DF=AF.
由△AGH的面积,可得
DE·AG+
DF·AH=
AG·AH,
即
(3
+
)DF=
×3
×
,
∴DF=
,∴AF=
,FH=
-
=
.
∴DH=
=
,
∴OD=OH-DH=
-
=1,∴D(1,0).
设直线AD的解析式为y=mx+n,
把点A(2,3),D(1,0)代入,得
解得
∴y=3x-3.
把点A(2,3)代入y=
,得y=
.
由
得
或
(舍去),
∴点C的坐标为(-1,-6).
5.解:
(1)证明:
∵△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°得到,
∴AP=AP′,∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形.
(2)∵△APP′是等腰直角三角形,
∴∠APP′=45°,PP′=
,
又∵BP′=
,BP=2
,
∴PP′2+BP2=BP′2,
∴∠BPP′=90°.
∵∠APP′=45°,
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠BPP′=45°.
(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,
∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,
∴BE=PE=2,∴AE=3,
∴AB=
=
,则BC=
.
∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,
∴△ABE∽△AQB,
∴
=
,即
=
,∴AQ=
,
∴BQ=
=
,
∴CQ=BC-BQ=
.
6.解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.
(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,
∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0
∴m=-1或m=3,
∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).
由
(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.
设点D关于直线BC的对称点为点E.∵C(0,4),
∴CD∥AB,且CD=3,∴∠ECB=∠DCB=45°,
∴E点在y轴上,且CE=CD=3,∴OE=1,
∴E(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).
(3)作PF⊥AB于F,DE⊥BC于E,
由
(1)有OB=OC=4,
∴∠OBC=45°.
∵∠DBP=45°,
∴∠CBD=∠PBA.
∵C(0,4),D(3,4),
∴CD∥OB且CD=3,
∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=
.
∵OB=OC=4,∴BC=4
,
∴BE=BC-CE=
,
∴tan∠PBF=tan∠CBD=
=
.
设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,
∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,
∴t=0(舍去)或t=
,∴P(-
,
).
7.解:
(1)因为抛物线经过点A(1,0),C(0,-3),
对称轴为直线x=2,
所以可列方程组
解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
(2)如图所示,延长直线CP交x轴于点Q.
因为点B(3,0),C(0,-3),所以OB=OC,
即∠OCB=∠OBC=45°,
因为直线CP经过点C,
所以可设直线CP的方程为y=kx-3.
令∠OCA=α,则∠ACB=∠OCB-α=45°-α,
因为∠BCP=∠ACB=45°-α,
所以∠OQC=∠OBC-∠BCP=45°-(45°-α)=α,所以∠OCA=∠OQC,
又因为∠QOC=∠COA,所以△AOC∽△COQ,
故
=
=
,所以OQ=3OC=9,
即点Q的坐标为(9,0),因为直线CP经过点Q,
所以k×9-3=0,解得k=
,
所以直线CP的解析式为y=
x-3.
8.解:
(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,
),可得
解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+
x+2.
(2)设P(m,-m2+
m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,
作PM⊥CD于点M,CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,
∴
=
=
=2,∴PM=CM=2CF.
∴PF=
FM=
CF=
×
CN=
CN=
m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=
m.
解得m1=
,m2=0(舍去),∴P(
,
).
当点P在CD下方且∠PCF=45°时,
同理可以求得另外一点为P(
,
).
9.解:
令y=0,则x2-4x+3=0,∴x1=1,x2=3,
∴B(3,0).
当x=0时,y=3,∴C(0,3),
∴OB=OC=3,
∴∠OCB=∠OBC=45°.
连结CP,则tan∠PCD=
=2,
作PE⊥y轴于E,连接PC.
∴∠BCE=135°,
过C点作CH∥x轴,作P点作PH∥y轴,两直线交于H点,CH交PD于G点,设CD的长为x,则PD=2x,PG=x,CE=PH=
x,PE=CH=
x+
x.
∴tan∠PCE=3.
设CE=a,则PE=3a,
∴P(3a,3+a),
代入抛物线方程得3+a=9a2-12a+3,
∴a=
,∴P(
,
).
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