初二数学课间休息.docx
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初二数学课间休息
初二数学课间休息
一、趣味数学题
1、拴羊
一块半圆形的地方放牧,为怕山羊跑出半圆草坪,就从家里带来了三根木桩,一根长竹杆,两条捆绳和一条长度等于半圆草坪直径的绳子。
如果要求把带来的东西完全用上,那么怎样拴羊才能使山羊吃遍了半圆草坪里的草而不跑出半圆草坪呢?
2、最后一个划船过河的人
三个男人和两个女人要渡过一条河,但渡河的小船只能坐两个人。
(l)女人们要求:
任何时候都不能让一个女人单独地和一个男人在一起。
(2)每次渡河只能有一个人划船。
因此,男人们要求:
不能让一个人连续划船两次。
(3)船上只有一个人独自划船的情况,先是轮到阿特,其次是本,第三是考尔。
谁最后一个划船渡河?
注:
要求以尽可能少的次数渡河。
(提示:
确定从原岸向对岸渡河时船上只有两个男人或只有两个女人的一种方案。
)
答案1
拴法如图,在半圆外A、B两点各插一根木桩,将竹竿横捆在A、B两木桩上,使竹竿刚好与半圆相切,并且平行于半圆的直径.第三根木柱插在圆心O处,把长度为直径长的绳子一端拴在圆心桩上,在绳中点打一个圈套在羊脖子上,另一端也打一个结套在竹竿上,并且可在竹竿上滑动.
羊可以到达的区域是如下两个图形的公共部分:
一是竹竿AB与半圆直径间,即平行线间的部分;一是以O为圆心的圆面部分.也就是半圆区域.
答案2
W代表女人,
M表男人,Ma代表阿特,Mb代表本,Mc代表考尔
设最后一个划船过河的人M?
根据
(1)和(3)的条件,要实现渡河任务,必须采取下述两种方案之一。
第一种方案:
ⅧⅨⅩⅪⅫ←←←→→→←ⅠⅡⅣⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ←←←←→→→←→ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ←←←→
步骤
原岸人员
渡船人员
对岸人员
Ⅰ
McWW
MaMb→
Ⅱ
McWW
←Ma
Mb
Ⅲ
McMa
WW→
Mb
Ⅳ
McMa
←Mb
WW
Ⅴ
M?
McM?
→
WW
Ⅵ
M?
←Mc
WWM?
Ⅶ
McM?
→
WWM?
第二方案:
步骤
原岸人员
渡船人员
对岸人员
Ⅰ
M?
WW
MaM?
→
Ⅱ
M?
WW
←Ma
M?
Ⅲ
WW
M?
Ma→
M?
Ⅳ
WW
←Mb
McMa
Ⅴ
Mb
WW→
McMa
Ⅵ
Mb
←Mc
WWMa
Ⅶ
McMb→
WWMa
根据{
(2)每次渡河只能有一个人划船。
因此,男人们要求:
不能让一个人连续划船两次。
},在方案一的第(Ⅴ)步中,划船者不能是本也不能是考尔;所以是阿特划的船。
于是,根据
(2),若采用方案一,则是本最后划船渡河。
若采用方案二,则根据
(2),也是本划了最后一次船。
因此,无论那一种方案,都是本最后一个划船渡河。
在方案一和二的其余情节是:
根据
(2),在方案二的第(Ⅲ)步中,划船者不能是阿特也不能是本,所以是考尔划的船。
于是,根据
(2),在方案二中是本划了第一次船。
另外,根据
(2),在方案一中也是本划了第一次船。
M?
=Mb
二、负数的发现
早在2000多年前,我国就了解了正负数的概念,掌握了正负数的运算法则。
那时候还没有纸,计算时使用一些小竹棍摆出各种数字。
这些小竹棍叫做“算筹”,算筹也可以用骨头和象牙来制作。
比如:
378摆成:
6708摆成:
人们在生活中经常会遇到各种具有相反意义的量。
比如,在记帐时会有余有亏;在计算粮仓存米时,有时进粮食、有时出粮食,为了方便,就考虑用具有相反意义的数——正负数来记,把余钱,进粮食记为正;把亏钱,出粮食记为负。
因此,正负数是由实践生活中产生的。
我国三国时期的学者刘徽在建立正负数上有重大的贡献。
刘徽首先给出了正负数的定义,他说:
“今两算得失相反,要令正负以名之。
”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要以正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了区分正负数的方法。
他说:
“正算赤,负算黑。
否则以邪正为异。
”意思是说,用红色的小棍摆出的数表示是正数,用黑色小棍摆出的数表示是负数。
也可以用斜摆的小棍表示负数,用正摆的小棍表示正数。
刘徽第一次给出了绝对值的概念。
他说:
“言负者未必负于少,言正者未必正于多。
”意思是说,负数的绝对值不—定小,正数的绝对值不一定大。
我国古代数学专著《九章算术》,成书于公元—世纪。
书中记载了正负数加减法的运算法则:
“正负数曰:
同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入正之。
”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”。
用现代语言解释就是:
“正负数的加减法则是:
同符号两数相减,等于其绝对值相减;异符号两数相减,等于其绝对值相加。
零减正数得负数,零减负数得正数。
异符号两数相加,等于其绝对值相减;同符号两数相加,等于其绝对值相加。
零加正数得正数,零加负数得负数。
”这一段关于正负数加减法的叙述是完全正确的。
负数的引入是我国古代数学家杰出创造之一。
用不同颜色的数来表示正负数的习惯,一直保留到现在。
现代一般用红色表示亏钱,表示负数。
报纸上有时登载某某国家经济上出现“赤字”,这表明这个国家支出大于收入,财政上亏了钱。
在一个问题中遇有相反意义的量时,用正负数来计算非常方便。
比如有这样一道题:
有一座3层楼房失火了,一位消防队员搭上梯子要爬到3层楼上去抢救贵重仪器。
当他爬到梯子正中一级时,二楼的窗户喷出火来,他往下退了3级,等火过去了,他又爬上7级,这时屋顶有一块砖掉下来,他又往后退了2级,幸亏砖没有打着他,他又爬上6级。
这时他距离最高一层还有3级,请问,这个梯子一共几级?
把梯子正中一级做为计算的起点,向上爬的级数为正数,往下退的级数为负数。
由于梯子有正中一级,说明梯子的级数是奇数。
先计算从正中一级以上的级数(正中一级不算):
(-3)+(+7)+(-2)+(+6)+(+3)=+11,梯子总级数=2×11+1=23(级)。
三、无理数与谋杀案
无理数怎么和谋杀案扯到一起去了呢?
这件事还要从公元前6世纪的古希腊毕达哥拉斯学派说起。
毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。
他认为:
“任何两条线段之比,都可以用两个整数的比来表示。
”两个整数之比实际上包括了整数和分数。
因此,毕达哥拉斯认为,世界上只存在着整数和分数,除此以外,没有别的什么数了。
可是,后来出现了一个问题,当一个正方形的边长是1的时候,对角线的长m等于多少?
是整数呢?
还是分数?
(如图所示)。
根据勾股定理可知,m2=12+12=2,m显然不是整数,因为12=1,22=4,而m2=2,所以m一定比1大,比2小。
那么m一定是分数了,可是,华达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力,也找不出这个分数。
边长为1的正方形,它的对角线m总该有个长度吧!
如果m既不是整数,又不是分数,m究竟是个什么数呢?
难道毕达哥拉斯错了?
世界上除了整数和分数以外还有别的数吗?
这个问题引起了毕达哥拉斯学派的极大苦恼。
毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯,他对正方形对角线问题也很感兴趣,化费了很多时间去钻研这个问题。
希伯斯除了研究正方形外,还研究了正五边形。
他发现当正五边形的边长为1时,它的对角线既不是整数也不是分数。
希伯斯断言:
正五边形的对角线和边长的比,是人们还没有认识的新数。
希伯斯的发现推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论,动摇了毕达哥拉斯学派的基础。
毕达哥拉斯学派非常崇拜数,他们认为数是世界的法则和关系,是主宰生死的力量。
如果希伯斯发现了新数,那么毕达哥拉斯关于数的认识将是错误的,这是毕达哥拉斯学派绝对不允许的。
为了维护毕达哥拉斯的威信,他们下令严密封锁希伯斯的发现,如果有人胆敢泄露出去,就处以他们学派规定的极刑——活埋。
真理是封锁不住的。
尽管毕达哥拉斯学派教规森严,希伯斯的发现还是被许多人知道了。
学派的头头大为恼火,下令追查泄密的人,追查的结果,泄密的不是别人,正是希伯斯本人!
这还了得!
希伯斯竟敢背叛自己的老师,背叛自己的学派。
毕达哥拉斯学派的头头开会决定,按着教规,活埋希伯斯!
希伯斯的一位好友,把这个决定偷偷告诉了他。
三十六计,走为上策。
希伯斯乘人不注意,逃跑了。
希伯斯在国外流浪了好几年,由于思念家乡,他决定偷偷返回希腊。
在地中海的一条海船上,毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯。
他们乘黑夜人们都睡熟的时机,把希伯斯装进口袋,又在口袋里装进重物,然后把口袋扔进地中诲,无理数的发现人被谋杀了。
希伯斯虽然被害死了,但是,希伯斯发现的新数并没有随之而消灭。
从希伯斯的发现中,人们知道了除去整数和分数之外,世界上还存在着一种新数,正方形的对角线和边长之比是这种新数,正五边形的对角线和边长之比也是这种新数,给这种新数起个什么名字呢?
当时人们觉得,整数和分数是人们已经习惯的,容易理解。
就把整数和分数合称“有理数”,而把希伯斯发现的新数起名叫“无理数”。
有理数和无理数有什么主要区别呢?
主要区别有两点:
第一,把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限数或无限循环小数,比如,4=4.0,
=0.8,
=0.333…而无理数是无限不循环小数,比如,
=1.4142…根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数;
第二,所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数却不能写成两个整数之比。
根据这一点,有的数学家建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫“比数”,把无理数改叫“非比数”。
本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太理解罢了。
利用有理数和无理数的主要区别,可以证明
是无理数,使用的是反证法。
证明
是无理数。
证明:
假设
不是无理数,而是有理数。
既然
是有理数,根据上述第二个性质它可以写成两个整数之比的形式;比如
,
又由于p和q有公因数可以约去,所以,可以认为
为既约分数。
把
两边平方得:
2=
,得出2q2=p2。
由于2q2是偶数,p必定为偶数,可设p=2m,,由2q2=p2=4m2,得q2=2m2。
同理,q必然也是偶数,设q=2n,
既然p和q都是偶数,它们必有公因数2,这与前面假设
是既约分数矛盾。
这个矛盾是由假设
是有理数引起的,因此,
不是有理数而应该是无理数。
有理数与无理数合称实数。
初中阶段遇到的数都是实数。
今后还会陆续学到许多无理数,如π,e,sin10°,log103等等。
四、不和睦的邻居们
马丁·加德纳(MartinGardner,1936年10月21日—2010年05月22日),美国数学家和著名的数学科普作家。
这个古怪的小题目是我最早的作品之一,发表在半个多世纪以前。
我画下面这张画时还是一个9岁的男孩。
不和睦的邻居们
据说有三个邻居合住如上图所示的一个小院,他们发生了争吵。
大房子的主人抱怨邻居的鸡打扰了他,于是从他的门口到图中下方的大门修了一条封闭式的小路。
此后住在右边房子的人修了一条路通到左边的大门,住在左边房子的人修了一条路通到右边的大门。
这几条路互不相交。
你能正确地画出这三条路吗?
五、生物几何
生物几何、生物数学,近几十年发展非常快。
早在17世纪,意大利著名学者伽里略就发现,动物的长度和它的皮肤面积、身体重量成一定的比例。
当动物长度增加的时候,它的皮肤面积按身体长度的平方增长,而它的重量则按身体长度的立方增长。
这就是说,动物成长的时候,它的皮肤面积比身长增加得快,而体重增加得更快。
个头大、身体重的动物,压在它脚上每平方厘米上的重量,比体形小的动物要大得多。
小到兔子,大到大象,为了支撑住它们本身重量,还要自由行动,必须相应增粗、增大它们的腿和脚。
但是,这种增加也是有限度的,陆地上最大的动物就是大象了。
海生动物在这方面要有利得多。
由于水的浮力可以减轻身体过重的负担,它们可以长得更大、更重。
比如,蓝鲸可长到30米,体重超过100吨。
身长、体重和皮肤面积的比例关系,直接影响动物的新陈代谢和热量损耗速度。
动物的个头越小,相对于体重来说皮肤的面积就越大,热量散失得越快。
因此,小动物为了防止冬季散失热量太快,采取了冬眠的办法,减少新陈代谢,保持身体热量。
大一些的动物反而能经受得住寒冷。
一般说来,高纬度地区的哺乳动物,体型比低纬度地区的要大一些。
比如,东北虎比华南虎要大些。
这不是偶然的。
这是千万年来大自然选择的结果,也是生物体对环境的一种适应。
这里面也蕴藏着数学和物理的法则。
冬天;猫睡觉时总是把身体抱成一个球体,由于球体使身体的表面积最小,从而散发的热量也最小。
从动物的外形来看,与几何的关系就更密切了。
蛇像一根细长圆锥,蚯蚓像一根细圆柱,麻雀像一个圆球连在一个椭圆球上,在接上一个扇形的尾巴。
植物的绿叶体是圆的,许多根、茎、叶、花、果实是圆的或圆柱形的。
一种叫梭尾法螺的海螺壳上,有一种由小到大、不断转圈的曲线,叫做对数螺线。
把向日葵花盘上的种子,按着它自然弯曲成的曲线剥去一部分,可以清楚地看到葵花子的排列情况,也是一条对数螺线。
找一个松塔儿来,从顶端往下看,我们可以看到一条条自然弯曲的线,这条线也是近似的对数螺线。
裁出一个长方形,画出它的对角线,然后把长方形卷成一个圆柱,此时,对角线就成为一条圆柱螺旋线(如图所示)。
牵牛花是蔓生植物,需要缠绕在其他直立的植物上生长。
植物需要阳光,只有长得更快更高,才能不被其他植物遮在下面。
牵牛花缠绕其他植物的方向是固定的从右往左旋转,数学上把这样旋转的螺旋线叫做右螺旋线。
菜豆也是按右旋转线生长的。
一些蔓生植物是从左往右旋转,生长的,如蛇麻草,这种螺旋线叫左螺旋线。
蛇在爬行时,走的是一条正弦曲线。
它的脊椎像火车一样,是一节一节连接起来的,节与节之间有较大的活动余地。
如果把每一节的平面坐标固定下来,并以开始点按照正弦函数的规律运动起来。
丹顶鹤总是成群结队迁飞,而且排成“人”字形。
“人”字形的角度永远是110度。
更精确的计算还表明,“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进的方向的夹角度数为54度44分8秒,而金刚石结晶体的夹角也正好是54度44分8秒!
人们很早就发现千姿百态的绿叶和花的外形轮廓都可以找到一定的数学公式来描述。
著名的法国数学家笛卡尔曾研究了花瓣和叶子的外形曲线,并给它起了一个富有诗意的名字——“茉莉花瓣”。
他列出了有名的方程:
这个方程所描绘的曲线,现代数学称为“笛卡尔叶形线”或简称“叶形线”。
植物能按照数学规律来建造绿色体,主要是适应环境的结果,这里包括阳光、空气、土壤和重力等因素。
甜菜从野生祖先的平摊形叶簇转变成漏斗叶簇,即上面大部分叶片是垂直生长,而下面越来越接近水平状态。
这种形式的叶面空间配置结构,有利于吸收阳光,提高植株和群体光合效率。
车前草的叶片是轮生的,其叶片的夹角为137.5°,这是圆的黄金分割的弦角。
叶片按此角度生长,就能很好地相嵌,不在空间上重叠遮光。
梨树等不断抽出的新枝,也与车前草相似,随着茎的生长,叶片沿对数螺线上升,每片叶子能占据不被上面叶片遮蔽的空间。
许多植物的茎也有学问,风速很大的高山上,最理想的树形莫过于圆锥形。
如,有“高山活化石”之称的云杉就是这样,它有上细下粗的树形,有利于抵御狂风的袭击。
许多草本植物的茎,其机械组织层的厚度常近似于茎的直径的
,这种圆柱形的茎,以耗费最少的生物材料而获得最大的坚固性。
还有一些四棱形的茎,茎中机械组织集中于四角,这样也能用较少的生物材料支持较大的叶面积。
玉米的气生根增加了茎的稳固性,玉米果穗多生于茎的中下部,也符合黄金分割的比例,有利于抗倒伏。
六、一句话也没说的讲演
自古以来,数学家都特别重视素数。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马,对素数也做过长时期的研究。
他曾提出如下的猜想:
当n为非负整数时,形如f(n)=
+1的数一定是素数。
后来,人们就把形如f(n)的数叫做“费马数”。
费马生前对前5个费马数逐一进行了验算:
f(0)=
+1=2+1=3;
f
(1)=
+1=4+1=5;
f
(2)=
+1=16+1=17;
f(3)=
+1=256+1=257;
f(4)=
+1=65536+1=65537;
验算的结果个个都是素数。
费马没有再往下验算,就断定对于所有的n,f(n)都是素数。
后来,瑞士数学家欧拉指出,当n=5时,f(5)=
+1=64l×6700417,是一个合数。
奇怪的是从f(5)开始,数学家再也没有找到一个费马数是素数!
也就是说,从f(5)开始的费马数全部是合数。
比如,数学家找到的一个很大的费马数f(1945)=
+1,其位数高达
位,是个“超级”天文数字,但是它仍是一个合数。
在寻找素数规律方面,17世纪法国天主教的神父、数学家梅森做出了重大贡献。
梅森从小就热爱科学,23岁进了修道院,后来当了神父。
当时欧洲的学术性杂志很少,数学家是通过书信往来。
交流信息,讨论问题。
梅森和同时代的许多数学家保持经常的通信联系。
为了使数学家能了解其他人的研究成果,他不怕劳累,将研究成果抄写成许多信,分寄给欧洲各地的数学家,然后整理寄回来的信,再作交流。
梅森默默无闻地长年做此工作,对当时科学的发展起了重要的作用。
有人把梅森称为“有定期数学杂志之前数学概念的交流站。
”
1644年,梅森在《物理数学随想》一书中提出了著名的“梅森数”。
梅森数的形式很简单,为M(p)=2p-1.梅森整理出11个p值,使得梅森数成为素数。
这11个p值是2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257。
你仔细观察这11个数不难发现,它们都是素数。
不久,数学家证明了:
如果梅森数是素数,那么p一定是素数。
但是逆命题却不成立,尽管只是素数,梅森数不一定是素数,比如,M(11)=211-l=2047=23×89,它是一个合数。
梅森虽然提出了11个p值可以使梅森数成为素数,但是他对于这11个p值没有全部进行验算。
没有全部验算的一个主要原因是数字太大,难于分解。
当p=2、3、5、7、13、17、19时,相应的梅森数为3、7、31、127、8191、131071、524287,由于这些数比较小,人们已经验算出它们都是素数。
剩下的p=31、67、127、257所对应的梅森数是不是素数呢?
1772年,已有65岁高龄,而且双目失明多年的欧拉,用高超的心算能力证明了p=31时梅森数M(31)=
-1=2147483647是素数。
剩下的p=67、127、257三个相应的梅森数长期无人论证。
在梅森去世250年之后,1903年在纽约举行的一次数学学术会议上,该轮到数学家科勒发言,他走上讲台却一言不发,拿起粉笔在黑板上写出:
M(67)=
-1=1475739525896764l2927=193707721x761838257287.然后他走回自己的座位。
开始时会场里鸦雀无声,没过多久会场里响起了经久不息的掌声。
参加会议的数学家纷纷向科勒表示祝贺,祝贺他证明了第9个梅森数不是素数,而是合数!
科勒后来告诉大家,他是花了3年的所有的星期天,用笔和纸进行计算得到的,真不容易!
1914年,梅森提出的第10个数被证明是素数,它是一个有39位的数:
M(127)=
-1=170141183460469231731687303715884105727。
1952年,借助电子计算机的帮助,证明了第11个梅森数也不是素数,而是合数。
这样一来,11个梅森数中,只有9个是素数。
不过,梅森数提出来之后,一股利用梅森数的形式寻找素数的热潮在数学界兴起。
1978年年底,美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔,利用电子计算机证明了M(21701)=
-1是素数;
1979年,美国计算机科学家洛温斯证明了M(44497)=
-1是素数;
1983年1月又发现M(86243)=
-1是素数。
到1983年为止,一共找到了28个梅森数是素数,
1985年发现M(216091)=
-1是素数,它有65050位;
1992年,英国科学家发现M(756839)=
-1是素数,有227832位;
1995年,美国威斯康星州克雷研究所的科学家找到M(859433)=
-1是素数,有258716位;
1996年9月4日,还是那个美国克雷研究所,使用CRAY-794超级计算机找到了第33个梅森素数,它是M(1257787)=
-1;
2008年8月23日,美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森·史密斯发现了第45个梅森素数M(43112609)=243112609-1,该素数有12978189位,它是目前已知的最大素数。
时至今日止,人们已经发现了47个梅森素数,并且确定M(20996011)位于梅森素数序列中的第40位。
现把它们列表如下:
序号
梅森素数
位数
发现时间
1
M
(2)
1
公元前300
2
M(3)
1
公元前300
3
M(5)
2
公元前100
4
M(7)
3
公元前100
5
M(13)
4
15世纪中叶
6
M(17)
6
1603
7
M(19)
6
1603
8
M(31)
10
1772
9
M(61)
19
1883
10
M(89)
27
1911
11
M(107)
33
1914
12
M(127)
39
1876
13
M(521)
157
1952
14
M(607)
183
1952
15
M(1279)
386
1952
16
M(2203)
664
1952
17
M(2281)
687
1952
18
M(3217)
969
1957
19
M(4253)
1281
1961
20
M(4423)
1332
1961
21
M(9689)
2917
1963
22
M(9941)
2993
1963
23
M(11213)
3376
1963
24
M(19937)
6002
1971
25
M(21701)
6533
1978
26
M(23209)
6987
1979
27
M(44497)
13395
1979
28
M(86243)
25962
1983
29
M(110503)
33265
1988
30
M(132049)
39751
1983
31
M(216091)
65050
1985
32
M(756839)
227832
1992
33
M(859433)
258716
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寻找新的梅森素数还在继续着……
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