北师大版八年级数学上册第7章平行线的证明单元测试题解析版.docx
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北师大版八年级数学上册第7章平行线的证明单元测试题解析版
北师大版八年级数学上册第7章平行线的证明单元测试题
一.选择题(共10小题)
1.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是( )
A.平行B.相交C.相交或平行D.垂直
2.下列语句中,是真命题的是( )
A.相等的角是对顶角
B.同旁内角互补
C.对于直线a、b、c,如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c
D.对于直线a、b、c,如果b∥a,c∥a,那么b∥c
3.下列说法错误的是( )
A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角相等
B.在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
4.下列命题正确的是( )
A.对角线垂直的四边形是菱形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.四条边相等的四边形是矩形
D.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
5.一个三角形三个内角的度数之比为4:
5:
6,这个三角形一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
6.如图所示,直线a、b、c、d的位置如图所示,若∠1=115°,∠2=115°,∠3=124°,则∠4的度数为( )
A.56°B.60°C.65°D.66°
7.如图是直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图,图中∠α的度数为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
8.在下列图形中,由∠1=∠2一定能得到AB∥CD的是( )
A.
B.
C.
D.
9.某校准备开设特色活动课,各科目的计划招生人数和报名人数,列前三位的如下表所示:
科目
小制作
足球
英语口语
计划人数
100
90
60
科目
小制作
英语口语
中国象棋
报名人数
280
250
200
若计划招生人数和报名人数的比值越大,表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高.那么根据以上数据,满足指数最高的科目是( )
A.足球B.小制作C.英语口语D.中国象棋
10.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
二.填空题(共6小题)
11.学校开展象棋大赛,A、B、C、D四人进入决赛,赛前,甲猜测比赛成绩的名次顺序是:
从第一名开始,依次是B、C、D、A;乙猜测的名次依次是D、B、C、A,比赛结果,两人都只猜对了一个队的名次,已知第四名是B队,则第一名是 队.
12.在△ABC中,∠A=50°,若∠B比∠A的2倍小30°,则△ABC是 三角形.
13.如图,∠3=70°,∠4=70°,∠1=80°,则∠2的度数为 度.
14.命题:
若a+c=b+c,则a=b.它的逆命题是 .
15.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内,下列四句:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c与a相交,那么b与c相交.
其中正确的是 .
16.如图,点E在AD的延长线上,下列四个条件:
①∠1=∠2;②∠C+∠ABC=180°;③∠C=∠CDE;④∠3=∠4,能判断AB∥CD的是 (填序号).
三.解答题(共8小题)
17.如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠ACE=20°,∠BCE=40°,求∠ADC的度数.
18.图,已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°,请说明AB与DE平行的理由.
解:
将∠2的邻补角记作∠4,则
∠2+∠4=180°
因为∠2+∠3=180°
所以∠3=∠4
因为 (已知)
所以∠1=∠4
所以AB∥DE
19.如图,直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F,且∠1=∠2.∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C.
(1)求证:
BE∥CF;
(2)若∠C=35°,求∠BED的度数.
20.已知,如图,在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,若∠ABC=30°,∠ACB=60°
(1)求∠DAE的度数;
(2)写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系 ,并证明你的结论.
21.如图,在△ABC中,∠B=36°,∠C=76°,AD是△ABC的角平分线,BE是△ABD中AD边上的高,求∠ABE的度数.
22.如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你从中选三个作为题设,余下的一个作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF;
解:
我写的真命题是:
在△ABC和△DEF中,
已知:
.
求证:
.(不能只填序号)
证明如下:
23.如图1,已知PQ∥MN,且∠BAM=2∠BAN.
(1)填空:
∠BAN= °;
(2)如图1所示,射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置,射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置.若AM转动的速度是每秒2度,BP转动的速度是每秒1度,若射线BP先转动30秒,射线AM才开始转动,在射线BP到达BQ之前,射线AM转动几秒,两射线互相平行?
(3)如图2,若两射线分别绕点A,B顺时针方向同时转动,速度同题
(2),在射线AM到达AN之前.若两射线交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
24.如图,已知∠DAE+∠CBF=180°,CE平分∠BCD,∠BCD=2∠E.
(1)求证:
AD∥BC;
(2)CD与EF平行吗?
写出证明过程;
(3)若DF平分∠ADC,求证:
CE⊥DF.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.解:
在同一个平面内,两条直线只有两种位置关系,即平行或相交,
故选:
C.
2.解:
A、相等的角不一定是对顶角,故错误,是假命题;
B、两直线平行,同旁内角互补,故错误,是假命题;
C、对于同一平面内直线a、b、c,如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c,故错误,是假命题;
D、对于直线a、b、c,如果b∥a,c∥a,那么b∥c,正确,是真命题,
故选:
D.
3.解:
A、如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角相等,错误,符合题意;
B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,正确,不合题意;
C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,正确,不合题意;
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,正确,不合题意;
故选:
A.
4.解:
A、对角线垂直的平行四边形是菱形,本选项错误;
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形,本选项错误;
C、四条边相等的四边形是菱形,本选项错误;
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,本选项正确;
故选:
D.
5.解:
∵三角形三个内角的度数之比为4:
5:
6,
∴这个三角形的内角分别为180°×
=48°,180°×
=60°,180°×
=72°,
∴这个三角形是锐角三角形,
故选:
C.
6.解:
如图,∵∠1=115°,∠2=115°,
∴∠1=∠2,
∴a∥b,
∴∠4=∠5,
∵∠3=124°,
∴∠4=∠5=180°﹣∠3=56°,
故选:
A.
7.解:
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵AE∥BF,
∴∠α=∠BAC=45°,
故选:
B.
8.解:
如下图,
∵∠1=∠2,
∴AB∥CD,
故选:
A.
9.解:
由表知,小制作:
;
英语口语:
;
足球:
计划招生90人,报名数不在前三名,即少于200人,所以比值大于
,即大于0.45;
中国象棋:
报名200人,计划数不在前三名,即少于60人,所以比值小于
,即小于0.3;
∴足球科目的满足指数最高(即比值最大);
故选:
A.
10.解:
延长DC,与AB交于点E.
∵∠ACD是△ACE的外角,∠A=50°,
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC.
∵∠AEC是△BDE的外角,
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°,
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°,
整理得∠ACD﹣∠ABD=60°.
设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC,
∴∠P+
∠ACD=∠A+
∠ABD,
即∠P=50°﹣
(∠ACD﹣∠ABD)=20°.
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
11.解:
由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次,且第四名是B队.
可得甲只有可能猜对了C,D的名次,
当D的名次正确,则乙将全部猜错,
故甲一定猜对了C的名次,
故乙猜对了D的名次,
那么甲、乙的猜测情况可表示为:
甲:
错、对、错、错;乙:
对、错、错、错.
因此结合两个人的猜测情况,可得出正确的名次顺序为:
D,C,A,B.
故答案为:
D.
12.解:
∵∠B比∠A的2倍小30°,
∴∠B=2×50°﹣30°=70°,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣50°﹣70°=60°,
∴△ABC是锐角三角形,
故答案为:
锐角.
13.解:
∵∠3=70°,∠4=70°,
∴∠3=∠4,
∴a∥b,
∴∠5=∠1,
又∵∠1=80°,
∴∠5=80°,
∴∠2=180°﹣∠5=100°,
故答案为:
100.
14.解:
命题:
若a+c=b+c,则a=b.它的逆命题是若a=b,则a+c=b+c;
故答案为:
若a=b,则a+c=b+c
15.解:
∵直线a,b,c在同一平面内,
∴①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c正确;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c正确;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c,故错误;
④如果b⊥a,c与a相交,那么b与c,故错误.
故正确的是①②.
故答案为:
①②.
16.解:
①由∠1=∠2,可以判定AB∥CD.
②由∠C+∠ABC=180°,可以判定AB∥CD.
③由∠C=∠CDE,可以判定BC∥AD.
④由∠3=∠4,可以判定BC∥AD.
故答案为①②.
三.解答题(共8小题)
17.解:
∵CE是△ABC的高.
∴∠CEB=90°,
∵∠ACE=20°,
∴∠CAB=70°,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=70°÷2=35°,
∵∠BCE=40°,
∴∠B=90°﹣40°=50°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=35°+50°=85°,
即∠ADC的度数是85°
18.解:
将∠2的邻补角记作∠4,则
∠2+∠4=180°(邻补角的意义)
因为∠2+∠3=180°(已知)
所以∠3=∠4(同角的补角相等)
因为∠1=∠3(已知)
所以∠1=∠4(等量代换)
所以AB∥DE(同位角相等,两直线平行)
故答案为:
邻补角的意义;已知;同角的补角相等;∠1=∠3;等量代换;同位角相等,两直线平行.
19.
(1)证明:
∵∠1=∠2,∠2=∠BFG,
∴∠1=∠BFG,
∴AC∥DG,
∴∠ABF=∠BFG,
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C,
∴∠EBF=
∠ABF,
BFG,
∴∠EBF=∠CFB,
∴BE∥CF;
(2)解:
∵AC∥DG,BE∥CF,∠C=35°,
∴∠C=∠CFG=35°,
∴∠CFG=∠BEG=35°,
∴∠BED=180°﹣∠BEG=145°.
20.解:
(1)∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠ABC=30°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣30°﹣60°=90°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠BAE=
∠BAC=45°.
∵∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°+45°=75°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADE=90°.
∴∠DAE=90°﹣∠AEC=90°﹣75°=15°.
(2)由
(1)知,
∠DAE=90°﹣∠AEC=90°﹣(
)
又∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C.
∴∠DAE=90°﹣∠B﹣
(180°﹣∠B﹣∠C),
=
(∠C﹣∠B).
21.解:
∵∠B=36°,∠C=76°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣36°﹣76°=68°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=
×68°=34°,
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=180°﹣∠AEB﹣∠BAE=180°﹣90°﹣34°=56°.
22.解:
将①②④作为题设,③作为结论,可写出一个正确的命题,如下:
已知:
如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:
∠ABC=∠DEF.
证明:
在△ABC和△DEF中
∵BE=CF
∴BC=EF
又∵AB=DE,AC=DF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
∴∠ABC=∠DEF.
将①③④作为题设,②作为结论,可写出一个正确的命题,如下:
已知:
如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF.
求证:
AC=DF.
证明:
在△ABC和△DEF中
∵BE=CF
∴BC=EF
又∵AB=DE,∠ABC=∠DEF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴AC=DF;
故答案为:
如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF;∠ABC=∠DEF.
23.解:
(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:
∠BAN=2:
1,
∴∠BAN=180°×
=60°;
(2)设射线AM转动t秒,两射线互相平行,
①当0<t<90时,如图1,
∵PQ∥MN,
∴∠PBD=∠BDA,
∵AC∥BD,
∴∠CAM=∠BDA,
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•(30+t),
解得t=30;
②当90<t<150时,如图2,
∵PQ∥MN,
∴∠PBD+∠BDA=180°,
∵AC∥BD,
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•(30+t)+(2t﹣180)=180,
解得t=110,
综上所述,射线AM转动30或110秒,两射线互相平行;
(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.
理由:
设射线转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°﹣2t,
∴∠BAC=60°﹣(180°﹣2t)=2t﹣120°,
又∵∠ABC=120°﹣t,
∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t,而∠ACD=120°,
∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣(180°﹣t)=t﹣60°,
∴∠BAC:
∠BCD=2:
1,
即∠BAC=2∠BCD,
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.
故答案为:
60.
24.解:
(1)∵∠DAE+∠CBF=180°,∠DAE+∠DAB=180°,
∴∠CBF=∠DAB,
∴AD∥BC;
(2)CD与EF平行.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCD=2∠DCE,
又∵∠BCD=2∠E,
∴∠E=∠DCE,
∴CD∥EF;
(3)∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=
∠ADC,
∵∠BCD=2∠DCE,
∴∠DCE=
∠DCB,
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠DCB=180°,
∴∠CDF+∠DCE=
(∠ADC+∠DCB)=90°,
∴∠COD=90°,
∴CE⊥DF.
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- 北师大 八年 级数 上册 平行线 证明 单元测试 题解