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《线性代数B》复习题
一、填空题:
21
1.行列式19
7
5中元素的代数余子式等于
-8
2.若3.交换行列式中两行的位置行列式
0
0
0
0
...0
...2
1
0
4.行列式
•••
•••
••••••
•••
0
n-1
...0
0
n
0
...0
0
5•设/为3阶方阵,国=5,则\2A\=
6.
a0b0
0a0b~
b0a0
7.
则AB=
'&A=(2
(32、
8.设力=•则力―
M3丿
9.设A,B,C均为舁阶方阵,〃可逆,则矩阵方程A+BX=C的解为
‘111、
10.矩阵/=123的秩=
「214,
11.单独一个向量Q线性无关的充分必要条件是
12•单个向量。
线性相关的充要条件是•
13.设向量组a】二(1,2,3),他=(2,1,0),他=(3,0,-2),则向量0=4-2a2-ay等
于・
14.若$=(1,2,3),笑=(4,5,6),均=(0,0,0),则0],。
2,。
3线性•
15.刀维向量组{匕心心}线性相关,则.
(填线性相关,线性无关或不能确定)
16.向量组0=(1,0,0)、湛=(1,1,°)、爲=(1丄1)的秩是•
17.设〃是非齐次线性方程组Ax=b的解,纟是方程组Ax=0的解,则〃+2§为方程组
的解.
1&齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数.
19.非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是.
20.若非齐次线性方程组Ax=b有唯一解,则方程组Ax=Q.
21.齐次线性方程组AX=0一定有解.
‘12-1、
22•设A=4t3,以/为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解,则八.
<3-14丿
‘1001、
23.线性方程组〃后〃,其增广矩阵经初等行变换化为刀T0102,此方程组的
0013,
解为.
24.设x=/7,及兀=%都是方程Ax=b的解,则x=/7i-/;2为线性方程组的解.
25.设力为6阶方阵,虑(/)二3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有
个线性无关的解向量.
1
29.若矩阵力=-2
「0
26.2是力的特征值,则是kA的特征值.
27.设可逆方阵力的特征值为2,则右的待征值为
28.〃阶矩阵/与它的转置矩阵/的特征.
-20、
2-2的特征值人=一1,入=2,则/的第3个特征值
-23.
30.设n阶方阵A=(知)的全部特征值为几入,…,入,则有人入…人=
二、单项选择题:
Qii
d19
2ci、i2ci\°
1.若行列式
11
12
—
:
QH0,
则行列式
1112
5
a22
5a?
]5g2。
A
.10d
B.2a
C.5q
D.7a
ab
f
c
ab+e
2.若
=&
•Z
=2,则
=().
cd
e
a
Cd+f
A.
10
B.
6
C.-6
D.一10
3.设A是6阶方阵,则阳卜(
)•
=().
111
B.k=\C-k=-1'的伴随矩阵才二().
D.k=3
A.
<11、
B.
<-l-0
c.
<-l1、
D.
仃-n
、T"I
J1丿
Ij1丿
j-i;
7.下列说法正确的是()
A.A和B为两个任意矩阵,则A-B一定有意义.
B.任何矩阵都有行列式.
C.设AB、BA均有意义,则AB二BA.
D.矩阵A的行秩二A的列秩二A的秩.
E.
设八与B是等价矩阵,则下列说法错误的是()•
"100、
‘001、
<312、
‘100、
A.
010
B.
010
c.
123
D.
000
<012丿
<100丿
231l厶J丄丿
、001?
).
/
3
1
9.下列矩阵为初等矩阵的是(
C.1
D.0
11.己知力=
如丿
a\\
&21
y)
且A=2,|b|=3,贝!
1A+B=(
A.4B.5
C.10
D.6
12•设几〃是刀阶可逆矩阵,那么
()不正确•
A.(AB”=B_
B.
C.(2A)~l=2A~}D.\AB\=\BA\
13.对刃阶可逆方阵4,B,数QhO,下列说法正确的是().
C.(A~lyx=AD.(AA)-1=
14.对任意同阶方阵A,B,下列说法正确的是().
A.(AB)1=BrArB.|A+B|=|A|+|B|C.=犷B^'D.AB=BA
15.设A,B,C,D均为n阶矩阵,
E为n阶单位方阵,下列命题正确的是().
A.若才=(),则A=0
B.若AB=0f则力=0或5=0
C.若AB=AC,则B=C
D.若AB=BA,贝0(^+5)2=A2+2AB+B2
16.设向量组,色,…,色线性相关,
则…定有().
A.线性相关
B.Q|,02,…,並+1线性相关
C.內皿2,…皿£-1线性无关
D・Q],乞,並+1线性无关
17.向虽组0二(1,0,0),也=(0,1,0),a?
=(0,0,1)的秩为()•
A.0B.1C.2D.3
18•设向量组內,…,给线性相关,则必可推出().
A.內,…,a炳中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
B.內,…,。
〃中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
C.av--,anj中至少有两个向量成比例
D.a】,…,如中至少有一个向量为零向量
19.设a]ta2fa3线性相关,则以下结论正确的是().
A.4卫2一定线性相关B.引卫3一定线性相关
C.°],勺一定线性无关D.存在不全为零的数A,k>,ki使切[+心°2+*3。
3=0
IX.+X。
=1
20.线性方程组{12().
1“+吃=0
A.无解;
B.只有0解;C.有唯一解;D.有无穷多解.
21.若方程组'
3xt+kx7_小=0
4x2-x3=0'有非零解,则小().
4x2+总3=0
A.-lB.-2C.lD.2
22.若r(J)=r?
则〃元齐次线性方程组AX=0().
A.有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定
23.设/是mxn矩阵,
Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,
则下列结论正确的是().
A.若Ax=O仅有零解,则Ax=b有惟一解
B.若Ax=O有非零解,则Ax=b有无穷多个解
C.若Ax=b有无穷多个解,则Ax=O仅有零解
D.若Ax=b有无穷多个解,则Ax=O有非零解
24.下列关于方程组的解的表述不正确的是().
A.若x=都是方程4r=0的解,则x=也是方程Ax=O的解
B.若x=^是方程Ax=0的解,则x=3^也是方程/兀=0的解
C.若x青是方程Ax=h的解,则x=3^也是方程Ax=h的解
D.Ax=0的基础解系中的解向量线性无关
25.
设心&是非齐次线性方程组^=b的两个解,则以下正确的是().
C.
-u2^Ax=0的解
D.2弘]是AX-b的解
D.秩r(A) D.r(A)=r(A) 26.含有5个未知量的齐次线性方程组AX=0系数矩阵的秩是3,则此齐次线性方程组 AX=0(). A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解 27.设〃元齐次线性方程组AXP有非零解,则必有(). A.|A|=0B.秩rU)=0C.秩r(A)=n 28.n元非齐次线性方程组AX二b有解的充要紳牛是(). A.r(A)=nB.r(A) 29.设2二2是可逆矩阵/的一个特征值,则其逆必有一个特征值等于(). A.—B.—C.2D.4 42 <31) 30.矩阵/=的特征值为()・ V'丿 A.=2,A2=4B.=2,/l2=—4C.Aj=—2,=4D.=—2,A2=—4 三、判断正误: 1.若行列式中两行元素对应成比例,则此行列式为零. 01 11 =-3( 01 10 2.行列式 11 3.两个77阶行列式相等,其对应位置的元素也一定相等.() (1一八(\1A 4•设2阶方阵A可逆,且,则A=[°•() 1—11U2/ 5.若AB,BA均有意义,则必有AB=BA.() 6.矩阵的初等变换改变矩阵的秩.() "10-10、 7.设矩阵A=0-234,则/! 中所有3阶子式都为零.() 卫005, &设是〃阶方阵,贝^A+B)2=A2^-2AB^-B2(). 8.若向量组a】,。 ? ...,*线性相关,则其中每一个向量可以由其余向量线性表出・() 9.向量组0,。 2,的线性无关的充分必要条件是中任二向量线性无关()• 10.5个4维向量线性相关.() 11.若向量组中有一部分向量线性无关,则整个向量组也线性无关.() 12.若鼻金都是Ax=b的解,则*(§+刍)也是Ax=b的解.() 13.若齐次线性方程组AX=Q有非零解,则它一定有无数个解.() 14.若非齐次线性方程组AX=b的导岀组有无穷多解,则该非齐次线性方程组未必也有 无穷多解.() 15. 若x=©,x=^2为Ax=b的解,则x=3^+2^2也是它的解.() 19. 方阵/的属于不同特征值的特征向皐线性无关. 20.特征向量可以是零向量.( 四、计算题: <2 0 <3 -3、 A= -1 2 1 B= 2 0 i0 1 1 1 -1 X 7 X 7 / 1 1 — 2) 5.设矩阵/二 0 -1 ,求逆矩阵 1 £+兀+2x4+x5=1 7.解方程组〈 Xj+2x2-x3+2x5=2. -Xi+花+2x3一2x4+x5=5 8.当a为何值吋,方程组£ %! +x2+x3=1 5、 T 2 3 4 5 2 S= 4 6^3= 5 ^4= 6 0) 7 求此向量组的秩并判断此向量 9.设有向量组⑦= 2x,+3x2+兀3=4有无穷多解? 此吋,求出方程组的通解。 +ax§~1 组的线性相关性,求出此向量组的一个极大线性无关组. (-2 五、证明题: ⑷a2a3 G|°2 1•已知 5“2方3 =3,求证 2b\+al2b2+a2+a3 5巾5 ele2e3 =6• 2.设方阵/满足A23456+A=3£,证明A+E可逆,并求其逆矩阵. 3.设〃均为刀阶对称矩阵,则AB+BA也是对称矩阵. 4.设向量组a,/3,Y线性无关,试证: 向量组Q+0,0+y,7+a也线性无关. 5.证明若e,也,・・・,久”线性无关,而Q],,…,e”,0线性相关,则0可由Q],a2am线性表示,且表示方法唯一. 6.证明: 设2是八阶矩阵/的特征值,则尤是才的特征值.
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