概率论复习题讲解.docx
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概率论复习题讲解
第一章
1.假设有两箱同种零件:
第一箱内装50件,其中10件为一等品;第二箱内装30件,其中18件一等品,现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),求:
(1)先取出的零件是一等品的概率;
(2)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率。
解:
设Ai={取到第i个箱子},i=1,2,Bj={第j次取到一等品},j=1,2
(1)由全概率公式
(2)所求概率为
,其中
故:
2.某段时间[t0,t0+t]内,t>0,证券交易所来了k个股民的概率为
,k=0,1,2……,λ>0,每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p,且各股民是否购买这种股票相互独立。
(1)求此段时间内,交易所共有r个股民购买长虹股票的概率;
(2)若已知这段时间内有r个股民购买了长虹股票,求交易所内来了m个股民的概率。
解:
设Ak={交易所来了k个股民},k=0,1,2,……,B={有r个股民购买长虹股票}。
(1)由于
,
故由全概率公式可得
(2)由Bayes公式得所求概率为
显然,
3.设一射手每次命中目标的概率为p,现对同一目标进行若干次独立射击,直到命中目标5次为止,则射手共射击了10次的概率为
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
B
4.设有三个事件A,B,C,其中P(B)>0,P(C)>0,且事件B与事件C相互独立,证明:
分析:
利用关系式
证明:
由于事件B和事件C相互独立,故事件B和事件
相互独立,又因为
所以
从而有
第二章
1.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格品不能出厂。
现该厂生产了
台仪器,假设各台仪器的生产过程相互独立,试求:
(1)全部能出厂的概率;
(2)其中恰好有两件不能出厂的概率β;
(3)其中至少有两件不能出厂的概率θ。
解:
设A={一台仪器能出厂},B={一台仪器能直接出厂},C={一台仪器经调试能出厂},则
,且B与
显然互不相容。
于是
令X表示n台仪器中能出厂的台数,则有X~B(n,0.94)。
故
(1)
(2)
(3)由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂,故
2.假设随机变量X的绝对值不大于1,
在事件
出现的条件下,X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求:
(1)X的分布函数
;
(2)X的取负值的概率p
解:
由条件知,当
时
又
于是,当
时
当
,时,
故
(2)
3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为
的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2个小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数
解:
由题意得,
于是
又X的分布函数是参数的
的指数分布,即其分布函数为
因此,当
时,
,即
=1;
当
时,
,即
故
4.设随机变量X的概率密度为
是X的分布函数,试求随机变量
的分布函数
解:
的分布函数为
注意到
为分布函数,于是有
,因此,
当
时,
;
当
时,
;
当
时,由于
为单调增加函数,从而存在反函数,故
(
表示F的反函数)
即
的分布函数为:
第三章
1.设(X,Y)的联合密度为
0,其他
试求:
(1)常数C;
(2)P(X=Y);(3)P(X<Y)。
解:
(1)由
得C=4。
(2)由于x=y为平面上的一条直线,而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零,故P(X=Y)=0;
(3)P(X<Y)=
=
=
=
2.设连续型随机变量X,Y相互独立且服从同一分布,证明P(X≤Y)=
.
证明:
不妨设X,Y的密度函数为
,于是由X与Y相互独立得(X,Y)的联合密度为
于是P(X≤Y)=
由于被积函数
关于
对称,故
但
其中
表示整个平面,所以
即P(X≤Y)=
.
3.在10件产品中有2件一等品,7件二等品和1件次品,现在从10件产品中无放回地抽取3件,令X表示其中一等品数,Y表示其中二等品数,试求:
(1)(X,Y)的联合分布律
(2)(X,Y)关于X和Y的边缘分布律
(3)X和Y是否相互独立?
(4)在X=1的条件下Y的条件分布。
分析:
由题意知X的可能取值为0,1,2;Y的可能取值为0,1,2,3。
因此用古典概型分别计算它们的概率即可
解:
(1)因为当
而当
分别将
代入计算可得(X,Y)的联合分布律如下表
(2)由联合分布律易得两个边缘分布律为
(3)因为P(X=1,Y=0)=0,但
P(X=1)=
,P(Y=0)=
,
故P(X=1,Y=0)
P(X=1)P(Y=0)。
所以X与Y不相互独立
(4)因为P(Y=j|X=1)=
=
而
于是在X=1的条件下Y的条件分布为
4.设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D={(X,Y)|0 分析: 求边缘密度时,首先确定随机变量的取值范围,X(或Y)的取值范围是二维随机变量(X,Y)的取值范围在X轴(或Y轴)上的投影,在取值范围外,密度函数的值为0 解: 易知D的面积为1,故(x,y)的联合密度函数为: 1, 0,其他 因X的取值范围为(0,1),于是当0 又Y的取值范围为(-1,1),于是当 时 故: 因为在Y=y的条件下,当 时 ,X的条件下分布不存在;当 时, 故X的条件密度函数为 同理可得: 5.某种商品一周的需求量X是一个随机变量,其概率密度为 假设各周的需求量相互独立,以 表示k周的总需求量 (1)求 的概率密度 (2)求接连三周中的周最大需求量的概率密度。 分析: 若以 表示第 周的需求量 则 相互独立且同分布, ,从而问题归结为求随机变量 的函数的分布 解: 利用卷积公式 设 表示第 周的需求量 表示三周中的周最大需求量,于是 ,且 与 同分布 (1)由卷积公式, 的密度为 (2)因为 的分布函数为 故 的密度函数为 6.设随机变量 与 相互独立, 的密度函数为 , 的分布律为 试求 的密度函数 分析: 这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题,两个随机变量中一个为离散型,另一个为连续型,从而写不出“联合密度”,因此在分布函数的求法,也就是概率的计算方法上有所不同 解: 因为 的分布函数为 因此, 的密度函数为: 第四章 1.设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,设在各交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为2/5,求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。 解: 设X表示途中遇到红灯的次数,则X~B(3,2/5),所以 E(X)=np=3×2/5=6/5 D(X)=np(1-p)=3×2/5×3/5=18/25 2.设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布,且X的分布律为 X 0 1 p 1/2 1/2 求Z=min(X,Y)的数学期望与方差。 解: 因X与Y独立同分布,所以(X,Y)的联合分布律为: Y X 0 1 0 1/4 1/4 1 1/4 1/4 由此得Z=min(X,Y)的分布律为: Z=min(X,Y) 0 1 p 3/4 1/4 因此E(Z)=0*3/4+1*1/4=1/4 E(Z2)=02*3/4+12*1/4=1/4 D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=1/4-1/16=3/16 3.设随机变量X的概率密度为 ax,0 f(x)=cx+b 0其他 又已知E(X)=2,D(X)=2/3,求: (1)a,b,c的值 (2)随机变量Y=eX的数学期望与方差 解: (1)因为f(x)为概率密度函数,故 即有: 2a+2b+6c=1 又 故有4a+9b+28c=3 因D(X)=2/3,于是 即 于是有6a+28b+90c=7 联立 (1)、 (2)、(3)解得a=1/4、b=1、c=-1/4 (2)由 (1)知 x/40 f(x)= 0其他 于是 故 4.设X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),且设X,Y相互独立,求Z1=αX+βY,Z2=αX-βY的相关系数(其中αβ是不为0的常数) 解: Cov(Z1,Z2)=Cov(αX+βY,αX-βY) =α2Cov(X,X)-αβCov(X,Y)+βαCov(Y,X)-β2Cov(Y,Y) =α2D(X)-β2D(Y) =(α2-β2)σ2 又X,Y相互独立,所以 D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2 D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2 故 5.卡车装运水泥,设每袋水泥重量X(以公斤计)服从N(50,2.52),问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。 解: 设最多装n袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05,n袋水泥的总重量为Y,Xi表示第i袋水泥的重量,i=1,2......n,则X1,X2,......Xn独立同服从N(50,2.52),且Y=X1+X2+......+Xn,于是 E(Y)=E(X1)+E(X2)+......+E(Xn)=50n D(Y)=D(X1)+D(X2)+......+D(Xn)=2.52n 即Y~N(50n,2.52n), 查表得 故最多装39袋水泥。 6. 第五章 1.现有一大批种子,其中良种占1/6,现从中任取6000粒种子,试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。 解: 设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数,由题意可知 X~B(6000,1/6),因此 E(X)=np=1000,D(X)=np(1-p)=5000/6, 要估计的概率为 。 (1)由切比雪夫不等式知, (2)由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知: 2.一个食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。 某天售出300只蛋糕。 (1)求这天的收入至少400(元)的概率; (2)求这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率。 解: 设Xk(k=1,2,...300)表示售出的第k只蛋糕的价格,则X1、X2、..
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