高中数学同步题库含详解51等比数列.docx
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高中数学同步题库含详解51等比数列
高中数学同步题库含详解51等比数列
一、选择题(共40小题;共200分)
1.已知是等比数列,,,则公比
A.B.C.D.
2.在等比数列中,,,则公比
A.B.C.D.
3.在等比数列中,已知,,那么等于
A.B.C.D.
4.已知数列()是等比数列,,,则公比
A.B.C.D.
5.若等比数列满足,且公比,则
A.B.C.D.
6.已知等比数列的前三项依次为,,,则
A.B.C.D.
7.已知为等比数列,,,则
A.B.C.D.
8.已知等比数列满足,,则
A.B.C.D.
9.已知为等比数列,,,则
A.B.C.D.
10.公比为的等比数列的各项都是正数,且,则
A.B.C.D.
11.已知等比数列中,,,则公比
A.B.C.D.
12.公比不为的等比数列满足,若,则值为
A.B.C.D.
13.已知数列为等比数列,且,,则
A.B.C.D.
14.记等比数列的前项积为,已知,且,则的值为
A.B.C.D.
15.已知,若,,,,成等比数列,则的值为
A.B.C.D.
16.在等比数列中,已知,
A.B.C.D.
17.已知数列为等比数列,若,则的值为
A.B.C.D.
18.等比数列,,,的第四项等于
A.B.C.D.
19.已知为等比数列,公比为,若,且与的等差中项为,则
A.B.C.D.
20.在等比数列中,已知,是方程的两根,则
A.B.C.D.
21.已知等比数列中,各项都是正数,且,,成等差数列,则
A.B.C.D.
22.在正项等比数列中,和为方程的两根,则等于
A.B.C.D.
23.在数列中,若为定值,且,则等于
A.B.C.D.
24.各项都是正数的数列满足,且,则
A.B.C.D.
25.在数列中,若为定值,且,则等于
A.B.C.D.
26.在等比数列中,,,则首项
A.B.C.D.
27.等比数列中,,且为和的等差中项,则的公比等于
A.B.或C.D.
28.已知数列满足:
,且,则等于
A.B.C.D.
29.已知等比数列中,,,则的值为
A.B.C.D.
30.已知等比数列的各项都为正数,且,,成等差数列,则的值是
A.B.C.D.
31.在正项等比数列中,已知,,,则等于
A.B.C.D.
32.在等比数列中,若,,,则公比等于
A.B.C.D.或
33.已知各项均为正数的等比数列中,,,则等于
A.B.C.D.
34.在各项均为正数的等比数列中,,,则等于
A.B.C.D.
35.在等比数列中,,若,则
A.B.C.D.
36.在等比数列中,若,则的值为
A.B.C.D.
37.正项等比数列的公比,且,,成等差数列,则的值为
A.或B.
C.D.
38.在各项均为正数的等比数列中,,,则
A.B.C.D.
39.在等比数列中,,,则等于
A.B.
C.D.
40.已知为关于的一次函数,为不等于的常数,且满足,设,则数列为
A.等差数列B.等比数列C.递增数列D.递减数列
二、填空题(共40小题;共200分)
41.已知数列,,,是等比数列,则实数的取值范围是 .
42.等比中项
若⑥ ,那么叫做与的等比中项.
43..等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为⑤ .
44.等比数列的定义
如果一个数列从① 起,每一项与前一项的比等于② ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的③ ,通常用字母④ 表示,定义的表达式为.
45.在等比数列中,若,,则 .
46.在各项均为正数的等比数列中,若,,则 .
47.在正项等比数列中,若,,则 .
48.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
⑦ .
(2)若为等比数列,且,则⑧ .
(3)若,(项数相同)是等比数列,则,,,,仍是等比数列.
49.已知是等比数列,且,,那么 .
50.在等比数列中,若,,则公比为 .
51.等比数列中,,,则 .
52.记等比数列的前项积为,已知,且,则 .
53.数列中,,(是常数,),且,,成公比不为的等比数列.则的值是 .
54.已知等比数列的前三项依次为,,,那么 .
55.已知等比数列的前项乘积为,若,,则 .
56.在等比数列中,已知,,那么 .
57.已知在公比为实数的等比数列中,,且,,成等差数列,那么数列的通项公式 .
58.已知等比数列的各项均为正数,,,成等差数列,且,那么数列的通项公式 .
59.等比数列中,若,,则 .
60.设等比数列满足,,则 .
61.在正项等比数列中,已知,,,则 .
62.已知等比数列中,,,则 .
63.已知等比数列满足:
,,则 .
64.在等比数列中,且,是方程的两根,则 .
65.在各项都为正数的等比数列中,已知,,则数列的通项公式 .
66.已知函数,,设,则数列的通项公式为 .
67.已知等比数列满足,,则 .
68.已知数列的首项为,数列为等比数列且,若,则 .
69.已知等比数列满足,,则 .
70.在等比数列中,,是方程的两个根,则 .
71.一个等比数列的前三项依次是,,.那么是该数列中的第 项.
72.已知等比数列的前三项和为,,则,的等比中项为 .
73.等比数列的前项和为,已知,,成等差数列,则的公比 .
74.在等比数列中,已知,,则等于 .
75.在等比数列中,已知,,则 .
76.数列中,,;是与的等差中项,则数列的前项和 .
77.若是等比数列,其中,是方程的两个根,而且那么的值为 .
78.设是公比为的等比数列,令,若数列有连续四项在集合中,则 .
79.如果等比数列中,公比,且,那么
80.正项等比数列中,,前项的乘积是,若从前项中,抽出一项后,余下的项的乘积是,则抽出的是第 项.
三、解答题(共20小题;共260分)
81.在等比数列中,,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求.
82.等比数列的前三项和为,,求,的等比中项.
83.在各项均为负的等比数列中,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否为该数列的项?
若是,为第几项?
84.在等比数列中,
(1)若,,则 ; .
(2)若,,则 .
85.已知四个实数成等比数列,它们的积为,中间两项的和为,求这个数列.
86.已知,都是正数,且,,,,,是等比数列,求的值.
87.等比数列同时满足以下三个条件:
①;②;③三个数,,依次成等差数列.求数列的通项公式.
88.在递增等比数列中,,,求的值.
89.数列满足,且.
(1)求,,并证明数列是等比数列;
(2)求.
90.已知数列满足,且.证明:
数列是等比数列,并求的通项公式.
91.已知数列的前项和为,且.
(1)求,,的值;
(2)是否存在常数,使得为等比数列?
若存在,求出的值和通项公式,若不存在,请说明理由.
92.已知为等差数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记的前项和为,若,,成等比数列,求正整数的值.
93.如图,在边长为的等边三角形中,连接各边中点,再连接的各边得,,如此继续下去,试证明数列,,,是等比数列.
94.已知是各项均为正数的等比数列,且,,求的通项公式.
95.已知,,为三个均不为的正数,,,,且,.求证:
,,成等比数列.
96.已知数列满足,.且数列,,,,是公比为的等比数列,求数列的通项公式.
97.装有升纯酒精的容器,每次倒出升,再用水加满,再倒出升再用水加满,如此继续下去,则第次倒出升后,容器里还剩多少纯酒精?
98.已知数列为等比数列.
(1)若,,求;
(2)若,,,求.
99.已知无穷数列,,,,求证:
(1)这个数列是等比数列;
(2)数列中的任两项之积仍为数列中的项.
100.
(1)已知两个等比数列,,满足,,,,若数列唯一,求的值;
(2)是否存在两个等比数列,,使得,,,成公差不为的等差数列?
若存在,求,的通项公式;若不存在,说明理由.
答案
第一部分
1.D【解析】由通项公式及已知得,
,
由得,解得.
2.C3.D4.D5.C
【解析】.
6.B【解析】题意得,
解得,
故,,
所以,则.
7.D【解析】设数列的公比为,由得或所以或所以或所以.
8.B9.C10.B
11.D【解析】因为等比数列中,,,
所以,即,
所以,
解得:
.
12.C【解析】因为数列等比,
所以,
因为,
所以.
13.B14.A【解析】因为是等比数列,
所以,
故由,可知(舍去).
由等比数列的性质可知前项积,
所以,故.
15.C
【解析】由题意知,
所以,
又因为与,符号相同,
所以,
又,
所以.
16.B【解析】因为,
所以.
17.C18.A【解析】因为,,成等比数列,所以,
所以,
所以或.
当时,,由于等比数列中,各项均不为零,
所以(舍).
当时,等比数列为:
,,,此时,,所以.
19.B20.A
21.C【解析】依题意可得,即,整理得,求得,
因为各项都是正数,所以,,所以.
22.C23.D【解析】设定值,且,则.
24.A【解析】由题意可得数列是公比为的等比数列,所以,解得,所以.
25.B
【解析】由为定值,得数列是等比数列,因为,所以.
26.D27.C28.D【解析】因为数列满足:
,
所以,即数列是等比数列,公比为.
则,解得.
29.B【解析】,
因为,
所以,,
则.
30.A
31.C【解析】设数列的公比为,
由与,
可得,,
因此,所以.
32.C【解析】由
解得或
又,
因此.
33.A【解析】因为,
所以,
所以.
34.C【解析】在等比数列中,,,
所以
35.B
【解析】因为,
所以,
所以,
所以.
36.C【解析】因为是等比数列,所以,因此,解得.
又因为,所以.
37.C【解析】由题意知正项等比数列的公比为(且),
由,,成等差数列,可得,即,
解得或(舍去),
所以.
38.A【解析】因为数列是等比数列,
所以
39.C【解析】由,,得
解方程组得
所以,即.
40.B
【解析】依题意可得,,,,,,,所以,,,,因为是不等于且不等于的常数,所以数列是等比数列.
第二部分
41.
【解析】根据等比数列各项均不能为求解.
42.⑥
43.⑤
44.①第二项,②同一个常数,③公比,④
45.
【解析】设等比数列的公比为,因为,,所以,即,,所以.
46.
【解析】设数列的公比是,
因为,,
所以,
所以(负值舍去),
所以.
47.
【解析】因为,,,
所以.
因为,
所以.
48.,
49.
50.
51.
52.
53.
【解析】因为,,
所以,,
又因为,,成公比不为的等比数列,
所以,即,解得或(舍).
54.
【解析】依题意得,
所以,等比数列的首项,公比,
所以.
55.
【解析】因为,
所以,
所以.
56.
【解析】设的公比为,则有,即,解得(负值舍去),
所以.
57.
【解析】设数列的公比为,
依题意可得,即,
整理得.
因为,
所以,,故.
58.
【解析】设等比数列的公比为,依题意,有即所以由于,,解得或又,,所以,,所以数列的通项公式为.
59.
【解析】由题意,是等比数列,,设公比为,因为,即,可得:
,则,那么.
60.
61.
【解析】设数列的公比为,
由与,可得,
所以,因此,
所以.
62.
63.
【解析】在等比数列中,
由,
得,
解得,
又,
所以,
则.
64.
【解析】因为等比数列中,且,是方程的两根,
所以
所以,,且,
所以.
65.
66.
【解析】由题意知,当时,,
当时,
而,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以.
67.
【解析】由题意得
解得
所以.
68.
【解析】因为,,所以,
因为,所以,,,
所以.
69.
【解析】设等比数列的公比为,则由,,
得
于是可得,,
所以.
70.
【解析】因为,是方程的两个根,
所以
所以,.
又因为,
且,
所以.
71.
【解析】因为,,是等比数列的前三项,
所以,解得或.
当时,数列的前三项依次为,,,与等比数列的定义矛盾,故将舍去.
当时,数列的前三项依次为,,,则公比为.
所以.
令,即,
所以,即.
所以是这个数列的第项.
72.
【解析】设该等比数列的公比为,首项为.
由已知,得
所以
因为,
①②两式相除,得,解得.
所以.
若是,的等比中项,
则,
所以,的等比中项为.
73.
【解析】依题意,,成等差数列,
有,当时,有,
由于,得,又,故,
当时,不成立.
74.或
【解析】由已知及等比数列的性质知
解得或
所以或,
所以或.
75.
【解析】利用,,,成等比数列,得.
76.
77.
【解析】由
又.
所以,
所以,
所以.
78.
【解析】因为,
所以有连续四项在集合中,
因为,所以.
所以把集合中五个数按绝对值从小到大的顺序排列为:
,,,,.
因为,而,
所以数列的连续四项为,,,,且公比,所以.
79.
【解析】法一:
令,
,
,
则,,
所以,
所以,
所以.
法二:
由题意可知,解得.
由等比数列的性质可知,,,,仍成等比数列,且首项为,公比为,共项,
所以.
80.
【解析】不妨设公比为,抽出来的是第项,
因为正项等比数列中,前项的乘积是,
所以,所以,所以.
为抽出来的那一项.
所以,所以,又因为,所以解得.
第三部分
81.
(1)因为,
所以.
所以.
当时,;
当时,.
所以或.
(2)当时,或,
解得.
82.设该等比数列的公比为,首项为,由题意得
化简为
因为,
则①②两式相除,
所以,
若是,的等比中项,则,则,
所以,的等比中项是.
83.
(1)因为,所以,数列是公比为的等比数列,
又,所以,由于各项均为负,
故,.
(2)设,则,,,所以是该数列的项,为第项.
84.
(1);
【解析】..
(2)因为,所以.所以或.
当时,,
当时,.
85.设这四个数分别为,,,,
则
解方程组得这四个数分别为:
,,,或,,,或,,,
或,,,.
86.当为偶数时,,
所以;
当为奇数时,,
所以.
综上所述.
87.由等比数列的性质知.
由解得或
所以或
所以或.
若,则,,不满足③;
若,则,,满足③.
故通项公式为.
88.在等比数列中,因为,
所以由已知可得,与联立解得
或
所以是递增等比数列,,
所以,,
所以,
所以.
所以.
89.
(1),
.
下面证明数列是等比数列.
又,
所以是以为首项,以为公比的等比数列.
(2)由
(1)知,
所以.
90.因为对任意,都有,
所以,
则是等比数列,首项为,公比为.
所以,
所以.
91.
(1)当时,,
解得,
当时,,
解得,
当时,,
解得.
(2)假设是等比数列,
则,
即,
解得.
所以的首项为,公比为.
所以,
所以.
92.
(1)设数列的公差为,
由题意知解得,.
所以.
(2)由
(1)可得
,
因为,,成等比数列,
所以,
从而,即,
解得或(舍去),因此.
93.由题意,得的边长是首项为,公比为的等比数列,故,所以,所以,因此,数列,,,是等比数列.
94.设等比数列的公比为,则
,由已知有
化简得
又,故,,所以.
95.令,则,,.
由,得,
所以.
又,,均不为,
所以,,成等比数列.
96.条件中给出了的一个递推关系,由这一组关系该数列已经确定,但目前我们还不能求出其通项,因此题中又给出了另一个条件.成等比,首项为,而,,所以,公比为.因此.
由得.
97.因为每次操作都是从盛满升的溶液里倒出升,
所以每次操作都倒掉了容器里所剩纯酒精的,
所以每次操作所剩下的纯酒精组成了一个以(升)、公比的等比数列,所以第次操作后所剩纯酒精为:
.
98.
(1)由题意得,,
所以,或.
当时,;
当时,.
(2)由题意可得解得
所以.所以.
99.
(1)任取数列中的相邻两项,,则(常数).
由等比数列的定义可知该数列是等比数列.
(2)任取数列中的两项,,则,
因为,,且,,
所以,且,
所以是这个数列的第项.
100.
(1)设的公比为,由
得
所以
若数列唯一,,而
有两个根,再由公比的值不可能为,可得方程必有一根为(否则就会有两个公比,即两个数列),可推得,.
(2)假设存在这样的等比数列,,公比分别为,,使得,,,成公差不为的等差数列.
则
由,,,成等差数列,得
即
得.
由得或.
(i)当时,由①②得或,这时,与公差不为矛盾;
(ii)当时,由①②得或,这时,与公差不为矛盾.
综上所述,不存在两个等比数列,,使得,,,成公差不为的等差数列.
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