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习题33习题44
任玉杰书习题3.3
1.
用高斯消元法求解:
function[RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
B=[Ab];n=length(b);RA=rank(A);
RB=rank(B);zhica=RB-RA;
ifzhica>0,
disp('请注意:
因为RA~=RB,所以此方程组无解.')
return
end
ifRA==RB
ifRA==n
disp('请注意:
因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')
X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);
forp=1:
n-1
fork=p+1:
n
m=B(k,p)/B(p,p);
B(k,p:
n+1)=B(k,p:
n+1)-m*B(p,p:
n+1);
end
end
b=B(1:
n,n+1);A=B(1:
n,1:
n);X(n)=b(n)/A(n,n);
forq=n-1:
-1:
1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:
n)*X(q+1:
n)))/A(q,q);
end
else
disp('请注意:
因为RA=RB end end (1) >>A=[4840;154-3;1472;131-7];b=[8;-4;10;-4];[RA,RB,n,X]=gaus(A,b) 请注意: 因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解. RA= 4 RB= 4 n= 4 X= 8.4000 -4.6000 2.8000 0.2000 结果截图 (2)>>A=[1123;1361;3-1-315;1-5-1012];b=[1;3;3;5];[RA,RB,n,X]=gaus(A,b) 请注意: 因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解. RA= 4 RB= 4 n= 4 X= -13.3333 -1.0000 2.6667 3.3333 结果截图 任玉杰书习题3.4 functionhl=zhjLU(A) [nn]=size(A);RA=rank(A); ifRA~=n disp('请注意: 因为A的n阶行列式hl等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下: '),RA,hl=det(A); return end ifRA==n forp=1: n h(p)=det(A(1: p,1: p)); end hl=h(1: n); fori=1: n ifh(1,i)==0 disp('请注意: 因为A的r阶主子式等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下: '),hl;RA return end end ifh(1,i)~=0 disp('请注意: 因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下: ') forj=1: n U(1,j)=A(1,j); end fork=2: n fori=2: n forj=2: n L(1,1)=1;L(i,i)=1; ifi>j L(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1: k-1)*U(1: k-1,k))/U(k,k); else U(k,j)=A(k,j)-L(k,1: k-1)*U(1: k-1,j); end end end end hl;RA,U,L end end (1) >>A=[24-6;153;132];hl=zhjLU(A) 请注意: 因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下: RA= 3 U= 2.00004.0000-6.0000 05.00006.0000 003.8000 L= 1.000000 0.50001.00000 0.50000.20001.0000 hl= 2618 (2) >>A=[116;-129;1-23];hl=zhjLU(A) 请注意: 因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下: RA= 3 U= 1.00001.00006.0000 02.000015.0000 0019.5000 L= 1.000000 -1.00001.00000 1.0000-1.50001.0000 hl= 1336 结果截图 任玉杰书习题3.6 >>A=[10787;7565;86109;75910];b=[32;23;33;31];X=A\b X= 1.000000000000024 0.999999999999960 1.000000000000009 0.999999999999995 >>A=[10787;7565;86109;75910];b=[32.1;22.9;33.1;30.9];X1=A\b X1= 9.200000000000065 -12.600000000000108 4.500000000000024 -1.100000000000014 >>X=[1.000000000000024,0.999999999999960,1.000000000000009,0.999999999999995]'; X1=[9.200000000000065,-12.600000000000108,4.500000000000024,-1.100000000000014]'; wu=X1'-X' wu= 8.200000000000042-13.6000000000000693.500000000000015-2.100000000000009 b的微小变化,引起X的很大变化,即X对b的扰动是敏感的。 任玉杰书习题4.2 functiona=jspb(A) [nm]=size(A); forj=1: m a(j)=sum(abs(A(: j)))-2*(abs(A(j,j))); end fori=1: n ifa(i)>=0 disp('请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛') return end end ifa(i)<0 disp('请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛') end (1) >>A=[23-1-2;-110-2;-1-15];a=jspb(A) 请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛 a= -21-8-1 (2) >>A=[15-1-2;-110-2;-1-10.5];a=jspb(A) 请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛 a= -13.0000-8.00003.5000 (3)>>A=[10-1-2;-110-2;-1-15];a=jspb(A) 请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛 a= -8-8-1 (4)>>A=[123;252;315];a=jspb(A) 请注意: 系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛 a= 4-20 任玉杰书习题4.3 functionX=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1) D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);dD=det(D); ifdD==0 disp('请注意: 因为对角矩阵D奇异,所以此方程组无解.') else disp('请注意: 因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解.') iD=inv(D-L);B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b;X=X0; [nm]=size(A); end fork=1: max1 X1=B2*X+f2;djwcX=norm(X1-X,P); xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps); if(djwcX break else k;X1';k=k+1;X=X1; end end if(djwcX disp('请注意: 高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下: ') else disp('请注意: 高斯-塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度,并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下: ') X=X';jX=jX' end X=X1';D,U,L,jX=jX' (1) >>A=[11-1-2;-110-2;-1-10.5];b=[7.2;8.3;4.2];X0=[000]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100) 请注意: 因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解. 请注意: 高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下: D= 11.000000 010.00000 000.5000 U= 012 002 000 L= 000 100 110 jX= 15.852917.394174.8941 X= 15.852917.394174.8941 (2) >>A=[44-57;2-83-2;451-1316;7-2213];b=[5;2;-1;21]; X0=[0000]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100) 请注意: 因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解. 请注意: 高斯-塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度,并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下: jX= 0.1869-0.24650.73261.2716 D= 4000 0-800 00-130 0003 U= 0-45-7 00-32 000-16 0000 L= 0000 -2000 -4-5100 -72-210 jX= 0.1869 -0.2465 0.7326 1.2716 X= 1.0e+129* 0.10190.04160.1269-1.0986 任玉杰书习题4.4 functionH=ddpbj(A,om) D=diag(diag(A));U=-triu(A,1); L=-tril(A,-1);iD=inv(D-om*L); B2=iD*(om*U+(1-om)*D); H=eig(B2);mH=norm(H,inf); ifmH>=1 disp('请注意: 因为谱半径不小于1,所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下: ') else disp('请注意: 因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下: ') end mH >>A=[71-1-2;2813;1-2-4-1;-1327];H=ddpbj(A,1.15) 请注意: 因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下: mH= 0.1608 H= 0.0715+0.1440i 0.0715-0.1440i -0.1308+0.0498i -0.1308-0.0498i >>;H=ddpbj(A,5) 请注意: 因为谱半径不小于1,所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下: mH= 13.1892 H= -13.1892 -2.6969 0.2460+2.6714i 0.2460-2.6714i
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