北京市崇文区届高三第二次模拟考试数学理科试题.docx
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北京市崇文区届高三第二次模拟考试数学理科试题
崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习
(二)
高三数学(理科)2010.5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
注意事项:
1.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
2.答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号,然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3.答题卡上第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答,将选中项涂满涂黑,黑度以遮住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)“关于
的不等式
的解集为
”是“
”
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件
(2)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)设函数
若
,
,则
(A)
(B)0(C)1(D)2
(4)把函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)已知点
是抛物线
上的一个动点,则点
到点
的距离与点
到该抛物线准线的距离之和的最小值为
(A)3 (B)
(C)
(D)
(6)若非零向量
满足
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之
间的五位数的个数为
(A)120(B)7
2(C)48(D)36
(8)已知圆的方程
,过
作直线
与圆交于点
,且
关于直线
对称,则直线
的斜率等于
(A)
(B)
(C)
(D)
崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习
(二)
高三数学(理科)2010.5
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)函数
的定义域为 .
(10)如图,⊙
中的弦
与直径
相交于
点
,
为
延长线上一点,
为
⊙
的切线,
为切点,若
,
,
,
,
则
.
(11)甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次,三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数,则
的大小关系为
;
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则
的大小关系为 .
(12)若直线
的参数方程为
(
为参数),则直线
的斜率为 ;
在极坐标系中,直线
的方程为
,则点
到直线
的距离为 ______.
(13)给定下列四个命题:
①若
,则
;
②已知直线
,平面
为不重合的两个平面.若
,且
,则
∥
;
③若
成等比数列,则
;
④若
,则
.
其中为真命题的是
.(写出所有真命题的序号)
(14)设不等式组
,所表示的平面区域
的整点个数为
,则
.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题共12分)
如图,在平面直角坐标系
中,以
轴为始边作两个锐角
,它们的终边分别与单位圆交于
两点.已知
的横坐标分别为
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求
的值.
(16)(本小题共14分)
正方体
的棱长为
,
是
与
的交点,
是
上一点,且
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求异面直线
与
所成角
的余弦值;
(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
(17)(本小题共13分)
某学校高一年级开设了
五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率;
(Ⅲ)设随机变量
为甲、乙、丙这三名学生参加
课程的人数,求
的分布列与数学期望.
(18)(本小题共14分)
设函数
(
).
(Ⅰ)当
时,求
的极值;
(Ⅱ)当
时,求
的单调区间.
(19)(本小题共14分)
已知椭圆
和圆
:
,过椭圆上一点
引圆
的两条切线,切点分别为
.
(Ⅰ)(ⅰ)若圆
过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率
;
(ⅱ)若椭圆上存在点
,使得
,求椭圆离心率
的取值范围;
(Ⅱ)设直线
与
轴、
轴分别交于点
,
,求证:
为定值.
(20)(本小题共13分)
设集合
,对于
,记
且
,由所有
组成的集合设为
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)设集合
,对任意
,试求
;
(Ⅲ)设
,试求
的概率.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习
(二)
高三数学(理科)参考答案及评分标准2010.5
一、选择
题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
B
D
B
B
C
D
A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)
(10)
(11)
;
(12)
;
(13)①,③(14)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共12分)
解:
(Ⅰ)由已知得:
.
∵
为锐角
∴
.
∴
.
∴
.--------------------6分
(Ⅱ)∵
∴
.
为锐角,
∴
,
∴
.-----------12分
(16)(共14分)
解:
(Ⅰ)如图,以
为原点建立空间直角坐标系
.
则
,
,
,
,
∴
,
,
.
,
又
与
交于
点
,
∴
平面
.------------4分
(Ⅱ)设
与
所成的角为
.
,
,
.
∴
,
.
∴
.
所求异面直线
与
所成角的余弦值为
.---------------9分
(Ⅲ)设平面
与直线
所成的角为
.
设平面
的法向量为
.
,
,
,
,
.
令
,则
.
.
所求平面
与直线
所成角的正弦值为
.--------------------14分
(17)(共13分)
解:
(Ⅰ)甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种,
故共有
(种).
(Ⅱ)三名学生选择三门不同选修课程
的概率为:
.
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为:
.
(Ⅲ)由题意:
.
;
;
;
.
的分布列为
数学期望
=
.----------------13分
(18)(共14分)
解:
(Ⅰ)依题意,知
的定义域为
.
当
时,
,
.
令
,解得
.
当
变化时,
与
的变化情况如下表:
0
单调递增
极大值
单调递减
由上表知:
当
时,
;当
时,
.
故当
时,
取得极大
值为
.-------------------5分
(Ⅱ)
若
,令
,解得:
;令
,解得:
.
若
,①当
时,
令
,解得:
;
令
,解得:
或
.
②当
时,
,
③当
时,
令
,解得:
;
令
,解得:
或
.
综上,当
时,
的增区间为
,减区间为
;
当
时,
的增区间为
,减区间为
,
;
当
时,
的减区间为
无增区间;
当
时,
的增区间为
,减区间为
,
.
-------------14分
(19)(共14分)
解:
(Ⅰ)(ⅰ)∵圆
过椭圆的焦点,圆
:
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
(ⅱ)由
及圆的性质,可得
,
∴
∴
∴
,
.----------------6分
(Ⅱ)设
,则
整理得
∴
方程为:
,
方程为:
.
∴
,
∴
直线
方程为
,即
.
令
,得
,令
,得
,
∴
,
∴
为定值,定值是
.----------------14分
(20)(共13分)
解:
(Ⅰ)由题意知,
,
,首先考虑
中的二元子集有
,共15个,即
个.
又
,满足
的二元子集有:
,此时
,
,此时
,
,此时
,共7个二元子集.
故集合
中的元素个数
.----------------4分
(Ⅱ)列举
.----------8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)列举符合题意
的有:
,
,
,
,
,
,
共6对.
所求概率为:
.----------13分
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