第二十四章《圆》.docx
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第二十四章《圆》
第二十四章圆
24.1圆
教学目标
知识与技能:
了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.
过程与方法:
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何的方法,理解圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.
情感、态度与价值观:
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解.
重难点:
1.重点:
垂径定理及其运用.
2.难点:
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学)
1.举出生活中的圆三、四个.
2.你能讲出形成圆的方法有多少种?
老师点评(口答):
(1)如车轮、杯口、时针等.
(2)圆规:
固定一个定点,固定一个长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆.
二、探索新知
从以上圆的形成过程,我们可以得出:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
学生四人一组讨论下面的两个问题:
问题1:
图上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?
问题2:
到定点的距离等于定长的点又有什么特点?
老师提问几名学生并点评总结.
(1)图上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
因此,我们可以得到圆的新定义:
圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
同时,我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB;
②经过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB;
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作
”,读作“圆弧
”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示
叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示)
或
叫做劣弧.
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
(学生活动)请同学们回答下面两个问题.
1.圆是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
(学生活动)请同学按下面要求完成下题:
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗?
如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?
说一说你理由.
(老师点评)
(1)是轴对称图形,其对称轴是CD.
(2)AM=BM,
,
,即直径CD平分弦AB,并且平分
及
.
这样,我们就得到下面的定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下:
已知:
直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证:
AM=BM,
,
.
分析:
要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可.
证明:
如图,连结OA、OB,则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称
∵⊙O关于直径CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,
与
重合,
与
重合.
∴
,
进一步,我们还可以得到结论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(本题的证明作为课后练习)
例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中
,点O是
的圆心,其中CD=600m,E为
上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.
三、巩固练习
教材练习.
四、应用拓展
例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?
请说明理由.
分析:
要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆的有关概念;
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
3.垂径定理及其推论以及它们的应用.
6、布置作业
板书设计
教学反思
24.1圆
(第2课时)
教学目标
知识与技能:
了解圆心角的概念:
掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用.
过程与方法:
通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题.
情感、态度与价值观:
培养学生的审美观。
重难点
1.重点:
定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.
2.难点:
探索定理和推导及其应用.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们完成下题.
已知△OAB,如图所示,作出绕O点旋转30°、60°的图形.
.
二、探索新知
如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.
(学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题:
如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?
为什么?
=
,AB=A′B′
理由:
∵半径OA与O′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合,点B与点B′重合
∴
与
重合,弦AB与弦A′B′重合
∴
=
,AB=A′B′
因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?
请同学们现在动手作一作.
(学生活动)老师点评:
如图1,在⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2,滚动一个圆,使O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合.
(1)
(2)
你能发现哪些等量关系?
说一说你的理由?
我能发现:
=
,AB=A/B/.
现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
(学生活动)请同学们现在给予说明一下.
请三位同学到黑板板书,老师点评.
例1.如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?
为什么?
(2)如果OE=OF,那么
与
的大小有什么关系?
AB与CD的大小有什么关系?
为什么?
∠AOB与∠COD呢?
三、巩固练习
教材练习1
四、应用拓展
例2.如图3和图4,MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
(3)(4)
五、归纳总结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆心角概念.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用.
六、布置作业
板书设计
八、教学反思
24.1.4圆周角
教学目标
知识与技能:
了解圆周角的概念.
过程与方法:
设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.
情感、态度与价值观:
熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
重难点
1.重点:
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
2.难点:
运用数学分类思想证明圆周角的定理.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们口答下面两个问题.
1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
老师点评:
(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.
刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?
如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?
这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.
二、探索新知
问题:
如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在
所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.
1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?
2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.
老师点评:
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1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”
(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=
∠AOC
(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=
∠AOC吗?
请同学们独立完成这道题的说明过程.
老师点评:
连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.
(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=
∠AOC吗?
请同学们独立完成证明.
老师点评:
连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
∠AOD-
∠COD=
∠AOC
现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从
(1)、
(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?
为什么?
分析:
BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
解:
BD=CD
理由是:
如图24-30,连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1.教材P92思考题.
2.教材P93练习.
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.
六、布置作业
七、板书设计
八、教学反思
24.2.1点和圆的位置关系
教学目标
(一)知识与技能
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
(2)过程与方法
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.
2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.
(三)情感、态度与价值观
1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.
2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重点
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并能掌握这个结论.
2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
教学方法
教师指导学生自主探索交流法.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点只能作一条直线.那么,经过一点能作几个圆?
经过两点、三点……呢?
本节课我们将进行有关探索.
Ⅱ.新课讲解
1.回忆及思考
投影片(§3.4A)
1.线段垂直平分线的性质及作法.
2.作圆的关键是什么?
[生]1.线段垂直平分线的性质是:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
作法:
如下图,分别以A、B为圆心,以大于
AB长为半径画弧,在AB的两侧找出两交点C、D,作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂直平分线,直线CD上的任一点到A与B的距离相等.
[师]大家的分析很有道理,究竟应该怎样找圆心呢?
3.过不在同一条直线上的三点作圆.
投影片(§3.4C)
作法
图示
1.连结AB、BC
2.分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG,DE和
FG相交于点O
3.以O为圆心,OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
4.有关定义
由上可知,经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心(circumcenter).
Ⅲ.课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,分别作出它们的外接圆,它们外心的位置有怎样的特点?
解:
如下图.
O为外接圆的圆心,即外心.
锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边上,钝角三角形的外心在三角形的外部.
Ⅳ.课时小结
本节课所学内容如下:
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.
方法.
3.了解三角形的外接圆,三角形的外心等概念.
Ⅴ.课后作业
板书设计
教学反思
24.2.2直线和圆的位置关系
教学目标
(一)知识与技能
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.
(二)过程与方法
1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力.
2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.
(三)情感、态度与价值观要求
通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程.
理解直线与圆的三种位置关系.
了解切线的概念以及切线的性质.
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系.
探索圆的切线的性质.
教学方法
教师指导学生探索法.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等于半径;圆的内部到圆心的距离小于半径;圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点和圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内.
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.
Ⅱ.新课讲解
1.复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离.
如下图,C为直线AB外一点,从C向AB引垂线,D为垂足,则线段CD即为点C到直线AB的距离.
2.探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的例子是很多的.如大家请看课本113页,观察图中的三幅照片,地平线和太阳的位置关系怎样?
作一个圆,把直尺的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺,直线和圆有几种位置关系?
[生]把太阳看作圆,地平线看作直线,则直线和圆有三种位置关系;把直尺的边缘看成一条直线,则直线和圆有三种位置关系.
[师]从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢?
[生]有三种位置关系:
[师]直线和圆有三种位置关系,如下图:
它们分别是相交、相切、相离.
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线(tangentline).
当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.
当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系,你能总结吗?
投影片(§3.5.1A)
(1)从公共点的个数来判断:
直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切;直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断:
d<r时,直线与圆相交;
d=r时,直线与圆相切;
d>r时,直线与圆相离.
投影片(§3.5.1B)
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
分析:
根据d与r间的数量关系可知:
d=r时,相切;d<r时,相交;d>r时,相离.
解:
略
3.议一议(投影片§3.5.1C)
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
(2)上图
(1)中的三个图形是轴对称图形吗?
如果是,你能画出它们的对称轴吗?
(3)如图
(2),直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?
说一说你的理由.
对于(3),小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD.你同意他们的观点吗?
[师]请大家发表自己的想法.
[生]
(1)把一只筷子放在碗上,把碗看作圆,筷子看作直线,这时直线与圆相交;
自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相切;
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相离.
(2)图
(1)中的三个图形是轴对称图形.因为沿着d所在的直线折叠,直线两旁的部分都能完全重合.对称轴是d所在的直线,即过圆心O且与直线l垂直的直线.
(3)所谓两条直线的位置关系,即为相交或平行,相交又分垂直和斜交,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD垂直,因为图
(2)是轴对称图形,AB是对称轴,所以沿AB对折图形时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90°.
[师]因为直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD垂直,直线CD是⊙O的切线,因此有圆的切线垂直于过切点的直径.
这是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论.
在图
(2)中,AB与CD要么垂直,要么不垂直.假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M,则OM<OA,即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此CD与⊙O相交,这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾,所以AB与CD垂直.
这种证明方法叫反证法,反证法的步骤为第一步假设结论不成立;第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾.第三步是肯定假设错误,故结论成立.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容:
1.直线与圆的三种位置关系.
(1)从公共点数来判断.
(2)从d与r间的数量关系来判断.
2.圆的切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
3.例题讲解.
Ⅴ.课后作业
板书设计
教学反思
24.2.2直线和圆的位置关系
(2)
教学目标
(一)知识与技能
1.能判定一条直线是否为圆的切线.
2.会过圆上一点画圆的切线.
3.会作三角形的内切圆.
(二)过程与方法
1.通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.
(三)情感、态度与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.
教学重点
探索圆的切线的判定方法,并能运用.
作三角形内切圆的方法.
教学难点
探索圆的切线的判定方法.
教学方法
师生共同探索法.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系,圆的切线的性质,懂得了直线和圆有三种位置关系:
相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系,可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断,还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.
由上可知,判断直线和圆相切的方法有两种,是否仅此两种呢?
本节课我们就继续探索切线的判定条件.
Ⅱ.新课讲解
1.探索切线的判定条件
投影片(§3.5.2A)
如下图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角∠α,当l绕点A旋转时,
(1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?
直线l与⊙O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?
此时,直线l与⊙O有怎样的位置关系?
为什么?
[师]大家可以先画一个圆,并画出直径AB,拿直尺当直线,让直尺绕着点A移动.观察∠α发生变化时,点O到l的距离d如何变
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