版数学浙江省学业水平考试专题复习精美WORD全解析必修1 4.docx

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版数学浙江省学业水平考试专题复习精美WORD全解析必修14

知识点一　函数的零点

1．函数零点的概念

（1）定义

对于函数y＝f（x），使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

（2）几何意义

函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，就是函数y＝f（x）的零点．

2．函数的零点与方程的根的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

3．函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

知识点二　几类函数模型及其增长差异

1．几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

反比例函数模型

f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

指数函数模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）

对数函数模型

f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）

幂函数模型

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0）

2.三种函数模型的性质

函数

性质

y＝ax（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>x0时，有logax

知识点三　应用函数模型解决问题的基本步骤

用已知函数模型解决实际问题的基本步骤

第一步：

审题，设出变量．

第二步：

根据所给模型，列出函数关系式．

第三步：

解函数模型．

第四步：

将所得结论转译成具体问题的解答．

题型一　零点个数的判断

例1　

（1）函数f（x）＝lnx－的零点个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

（2）设函数f（x）＝x2＋（x≠0）．当a＞1时，方程f（x）＝f（a）的实数根的个数为________．

答案　

（1）C　

（2）3

解析　

（1）如图画出y＝lnx与y＝的图象，

由图知y＝lnx与y＝（x>0，且x≠1）的图象有两个交点．故函数f（x）＝lnx－的零点有2个．

（2）令g（x）＝f（x）－f（a），

即g（x）＝x2＋－a2－，

整理得g（x）＝（x－a）（ax2＋a2x－2）．

显然g（a）＝0，

令h（x）＝ax2＋a2x－2.

∵h（0）＝－2＜0，

h（a）＝2（a3－1）＞0，

∴h（x）在区间（－∞，0）和（0，a）上各有一个零点．

∴g（x）有3个零点，

即方程f（x）＝f（a）有3个实数解．

感悟与点拨　函数零点个数的确定，常从函数单调性分析，结合零点存在性定理或数形结合来判断．

跟踪训练1　若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　）

A．0,2B．0，

C．0，－D．2，－

答案　C

解析　因为2a＋b＝0，

所以g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1），

所以零点为0，－.

题型二　根据函数零点存在情况求参数

例2　已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　作出函数y＝f（x）的图象，如图所示．

则y＝a的图象只能夹在y＝0与y＝的图象之间，

故a的取值范围是.

感悟与点拨　根据函数的零点存在情况求参数．常用如下方法处理：

（1）y＝g（x）－m有零点即y＝g（x）与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解．

（2）g（x）－f（x）＝0有两个相异实数根⇔y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．

跟踪训练2　设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．[1,2]

C．（0,1]D．（1,2）

答案　A

解析　画出函数f（x）在[0,2π]的图象，如图所示：

若函数g（x）＝f（x）－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，

即y＝f（x）和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，

结合图象知0＜m＜1.

题型三　函数与方程思想的应用

例3　已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋（x＞0）．

（1）若y＝g（x）－m有零点，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实数根．

解　

（1）方法一　∵g（x）＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e，

故g（x）的值域是[2e，＋∞），

因而只需m≥2e，

则y＝g（x）－m就有零点．

方法二　作出g（x）＝x＋（x＞0）的大致图象（如图所示）．

可知若使y＝g（x）－m有零点，则只需m≥2e.

（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异实数根，

即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，

作出g（x）＝x＋（x＞0）的大致图象（如图所示）．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1＝－（x－e）2＋m－1＋e2.

∴其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2＞2e，

即m＞－e2＋2e＋1时，g（x）与f（x）有两个不同的交点，

即g（x）－f（x）＝0有两个相异的实数根．

∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．

感悟与点拨　求函数零点的值、判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．

跟踪训练3　已知a，b∈R，定义运算“⊗”：

a⊗b＝函数f（x）＝（x2－2）⊗（x－1），x∈R，若方程f（x）－a＝0只有两个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－2，－1]∪（1,2）B．（－2，－1]∪（1,2]

C．[－2，－1]∪[1,2]D．（－2，－1]∪（1,2）

答案　B

解析　由x2－2－（x－1）≤1，

解得x∈[－1,2]，

故f（x）＝

画出函数图象如图所示，

由图可知当f（x）＝a有两个不同实数根时，a的取值范围为（－2，－1]∪（1,2]．

题型四　函数应用问题

例4　某电信公司推出两种手机收费方式：

A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差（　　）

A．10元B．20元

C．30元D.元

答案　A

解析　依题意可设sA（t）＝20＋kt，sB（t）＝mt，

又sA（100）＝sB（100），

所以100k＋20＝100m，即k－m＝－0.2，

于是sA（150）－sB（150）＝20＋150k－150m＝20＋150×（－0.2）＝－10，

即两种方式电话费相差10元，故选A.

感悟与点拨　函数应用问题、文字量往往比较大，所以解决此类问题，一般要审读、提炼、建模．就本题而言：

（1）认真阅读题干内容，理清数量关系．

（2）分析题目提供的信息，从题目内容可看出函数是分段的．（3）建立函数模型，确定解决模型的方法．

跟踪训练4　某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5000元降到2560元，则平均每次降价的百分率是（　　）

A．10%B．15%

C．16%D．20%

答案　D

解析　设平均每次降价的百分率为x，

则由题意得5000（1－x）3＝2560，

解得x＝0.2，即平均每次降价的百分率为20%，故选D.

一、选择题

1．函数f（x）＝x2－|x|－6，则f（x）的零点个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

答案　C

解析　当x>0时，令x2－x－6＝0，

解得x＝－2或3，∴x＝3；

当x<0时，x2＋x－6＝0，

解得x＝2或－3，∴x＝－3.

∴f（x）的零点个数为2.

2．若方程x＝

有解x0，则x0所在区间是（　　）

A．（2,3）B．（1,2）

C．（0,1）D．（－1,0）

答案　C

解析　令f（x）＝x－

，

∵f（0）＝1>0，f

（1）＝－<0，

∴f（0）f

（1）<0，

∴方程x＝x的解所在区间为（0,1）．

3．下列函数中，在（－1,1）内有零点且单调递增的是（　　）

A．y＝log2xB．y＝2x－1

C．y＝x2－1D．y＝－x3

答案　B

解析　当x＝0时，y＝log2x无意义，故A错误；

y＝x2－1在（－1,0）上单调递减，故C错误；

y＝－x3在（－1,1）上单调递减，故D错误．

∵y＝2x－1在（－1,1）上单调递增，

f（－1）＜0，f

（1）＞0，

∴y＝2x－1在（－1,1）内存在零点．

4．若函数f（x）＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，则m的取值范围为（　　）

A．[－1,0]∪[1,2]B．[－2，－1]∪[0,1]

C．[－1,1]D．[－2,2]

答案　A

解析　令f（x）＝x2－2mx＋m2－1＝0，

可得x1＝m－1，x2＝m＋1，

∵函数f（x）＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，

∴0≤m－1≤1或0≤m＋1≤1，

∴－1≤m≤0或1≤m≤2.故选A.

5．已知函数f（x）＝x－cosx，则f（x）在[0,2π]上的零点个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　令f（x）＝0，得x＝cosx，

分别作出函数y＝x和y＝cosx的图象，

由图象可知y＝x和y＝cosx在[0,2π]上有3个交点，

∴f（x）在[0,2π]上有3个零点，故选C.

6．函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）内的零点个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　因为函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）上是单调递增函数，且f（0）＝－1<0，f

（1）＝1>0，

所以根据零点存在性定理可知，

在区间（0,1）上函数的零点个数为1，

故选B.

7．（2017年4月学考）若实数a，b，c满足1

A．在区间（－1,0）内没有实数根

B．在区间（－1,0）内有一个实数根，在（－1,0）外有一个实数根

C．在区间（－1,0）内有两个相等的实数根

D．在区间（－1,0）内有两个不相等的实数根

答案　D

解析　由题意，设f（x）＝ax2＋bx＋c，则f（0）＝c>0，f（－1）＝a－b＋c>0，

∵1

∴0<4ac<1，

∴Δ＝b2－4ac>0.

又对称轴为x＝－∈（－1,0），

∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在区间（－1,0）内有两个不相等的实数根，故选D.

8．函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A．3B．2C．1D．0

答案　B

解析　当x≤0时，只有一个零点－3，

当x＞0时，也只有一个零点e2.

9．（2017年11月学考）已知1是函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>b>c）的一个零点．若存在实数x0，使得f（x0）<0，则f（x）的另一个零点可能是（　　）

A．x0－3B．x0－

C．x0＋D．x0＋2

答案　B

解析　由题意可知a＋b＋c＝0，

又∵a>b>c，∴a>0，c<0，

∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的较大的根．

∵f（x0）<0，∴x0<1，

由另一个零点小于x0知C，D不正确．

∵a>b，∴<1，∴－>－.

设另一个零点为x2，则>－，

∴x2>－2.

对于A，∵x0<1，∴x0－3<－2，排除A.

当a>0>b>c时，－1<<0，

对称轴－∈，

∴∈，

∴x2∈（－1,0）．

又x0<1，B中x0－∈，

∴f（x）的另一个零点可能是x0－.故选B.

10．（2018年4月学考）设a为实数，若函数f（x）＝2x2－x＋a有零点，则函数y＝f（f（x））的零点个数是（　　）

A．1或3B．2或3

C．2或4D．3或4

答案　C

二、填空题

11．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－x有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

答案　[－1,2）

解析　由题意可得函数f（x）＝

若它的图象和直线y＝x有3个不同的交点，

即直线y＝x和直线y＝2有交点，

且y＝x2＋4x＋2的图象和直线y＝x有两个交点，

即必须使函数y＝2－x有零点，

并且函数y＝x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）有两个零点，

从而得到m<2并且m≥－1.

故答案为[－1,2）．

12．（2016年10月学考改编）函数f（x）按照下列方式定义：

当x≤2时，f（x）＝－x2＋2x；当x>2时，f（x）＝f（x－2）．则方程f（x）＝的所有实数根之和是________．

答案　18

解析　作函数y＝f（x）的草图如下，

知f

（1）＝1，f（3）＝，f（5）＝，f（7）＝，所以f（x）＝有6个根，它们的和是2×1＋2×3＋2×5＝18.

13．已知函数f（x）＝则函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点个数是________．

答案　5

解析　由2f2（x）－3f（x）＋1＝0，

得f（x）＝或f（x）＝1.

作出y＝f（x）的大致图象，

由图象知零点的个数为5.

14．已知f（x）为R上的增函数，且对任意x∈R，都有f（f（x）－3x）＝4，则f

（2）＝________.

答案　10

解析　根据题意得，f（x）－3x为常数，设f（x）－3x＝m，

则f（m）＝4，f（x）＝3x＋m，

∴3m＋m＝4，

易知该方程有唯一解m＝1，

∴f（x）＝3x＋1，∴f

（2）＝10.

15．在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x＋1）－f（x）．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x∈N*）台的收入函数为R（x）＝3000x－20x2（单位：

元），其成本函数为C（x）＝500x＋4000（单位：

元），利润是收入与成本之差．

（1）边际利润函数MP（x）＝________________；

（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）的最大值分别为________________．

答案　

（1）2480－40x　

（2）74120,2440

解析　由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.

（1）P（x）＝R（x）－C（x）＝3000x－20x2－（500x＋4000）＝－20x2＋2500x－4000，

MP（x）＝P（x＋1）－P（x）＝－20（x＋1）2＋2500（x＋1）－4000－（－20x2＋2500x－4000）＝2480－40x.

（2）P（x）＝－20x2＋2500x－4000＝－202＋74125.

当x＝62或x＝63时，P（x）的最大值为74120元．

∵MP（x）＝2480－40x是减函数，

∴当x＝1时，MP（x）的最大值为2440元．

∴利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）的最大值分别为74120和2440.

三、解答题

16．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn（mx＋1）的零点．

解　由题意可知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的两个零点为1和2，

则1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两个根，

可得解得

所以函数y＝logn（mx＋1）的解析式为y＝log2（－2x＋1）．

令log2（－2x＋1）＝0，解得x＝0.

所以函数y＝log2（－2x＋1）的零点为0.