最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测 1.docx
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最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测1
自我小测
2.3.1等差数列的前n项和
(一)
夯基达标
1.(2009福建高考,理3)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于()
A.1B.
C.2D.3
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()
A.63B.45C.36D.27
3.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为()
A.5或7B.3或5C.7或-1D.3或-1
4.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于____________.
5.已知一个等差数列共有2005项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是_______.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n+1,问:
此数列是否为等差数列?
请说明理由.
能力提升
7.若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()
A.13项B.12项C.11项D.10项
8.定义“等和数列”:
在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为___________,这个数列的前n项和Sn的计算公式为___________.
9.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列
的前n项和,求Tn.
10.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到哪一年底,该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
11.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
拓展探究
12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.
(1)若f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:
{an}为等差数列;
(2)若f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和.
参考答案
1解析:
∵
而a3=4,∴a1=0.
∴
.
答案:
C
2解析:
由于a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,
所以有S3+(S9-S6)=2(S6-S3),
即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
答案:
B
3解析:
∵
∴
.①
∵an=a1+(n-1)d,
∴11=a1+(n-1)×2.②
由①②解得a1=3或-1.
答案:
D
4解析:
∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,将两式相加得3(a1+a20)=54.
∴a1+a20=18,
.
答案:
180
5解析:
∵
∴
.
答案:
6解:
当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n+1)-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
∴
又当n≥2时,有an+1-an=[6(n+1)-5]-6n+5=6,
而a2-a1=(6×2-5)-2=5≠6,
∴此数列不是等差数列.
7解析:
依题意
两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=180.
∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2,
∴3(a1+an)=180.∴a1+an=60.
由
,可得30n=390,
∴n=13.
答案:
A
8答案:
3
9解:
设等差数列{an}的公差为d,则
∵S7=7,S15=75,
∴
∴a1=-2,d=1.
∴
.
∵
∴数列
是等差数列,其首项为-2,公差为
.
∴
.
10解:
设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50.
则
.
令25n2+225n≥4750,
即n2+9n-190≥0.而n是正整数,
∴n≥10.
∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
11解:
(1)由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,解得d=-2,a1=20.
∴{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3,….
(2)由
即
由①+②,得-7d<11,即
.
由①+③,得13d≤-1,即
.
∴
.
又∵d∈Z,故d=-1.
将④代入①②得10<a1≤12.
又∵a1∈Z,∴a1=11或12.
∴{an}所有可能的通项公式为an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,….
12解:
(1)证明:
因为f(x)=[x-(n+1)]2+3n-8,
所以an=3n-8.
因为an+1-an=3,
所以{an}为等差数列.
(2)解:
由
(1)可知bn=|3n-8|,
当1≤n≤2时,bn=8-3n,b1=5,
.当n≥3时,bn=3n-8,
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)
所以
2.3.2等差数列的前n项和
(二)
夯基达标
1.已知等差数列{an}的公差为1,且a1+a2+…+a98+a99=99,则a3+a6+a9+…+a96+a99等于()
A.99B.66C.33D.0
2.设数列{an}是等差数列,且a2=-5,a10=5,Sn是数列{an}的前n项和,则()
A.S5<S6B.S5=S6C.S7<S6D.S7=S6
3.已知等差数列前n项和Sn=n2-17n,则使Sn最小的n值是()
A.8B.9C.10D.8或9
4.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前n项的和Sn>0成立的最大自然数n是()
A.4005B.4006C.4007D.4008
5.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3(n∈N*),若对这个数列各项加绝对值,得到一个新数列,则这个新数列的前30项的和为____________.
6.已知数列an的前n项和公式为Sn=n2-23n-2(n∈N*).
(1)写出该数列的第3项;
(2)判断74是否在该数列中;
(3)确定Sn何时取最小值,最小值是多少?
能力提升
7.给出数阵:
01…9
12…10
9………
其中每行、每列均为等差数列,则此数阵中所有数的和为()
A.495B.900C.1000D.1100
8.(2009宁夏、海南高考,理16)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=__________.
9.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
10.已知f(x+1)=x2-4,在递增的等差数列{an}中,a1=f(x-1),
a3=f(x).
(1)求x的值;
(2)求通项an;
(3)求a2+a5+a8+…+a26的值.
11.求数列1,-22,32,-42,…,(-1)n-1n2,…的前n项和.
拓展探究
12.已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足:
(1)求证:
{an}是等差数列;
(2)若
求数列{bn}的前n项和的最小值.
参考答案
1解析:
由a1+a2+…+a98+a99=99,得
.
∴a1=-48.∴a3=a1+2d=-46.
又∵{a3n}是以a3为首项,以3为公差的等差数列,
∴a3+a6+a9+…+a99
.
答案:
B
2解析:
由a2=-5,a10=5,可求得
∴a6=0,则S5=S6.
答案:
B
3解析:
∵本题条件已经给出了Sn表达式是n的二次函数,
∴直接求n是多少时Sn有最小值就行了.
∵顶点的横坐标
∴n=8或9时,Sn最小.
答案:
D
4解析:
由a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0可得a2003>0,a2004<0,
故S4005=4005a2003>0,S4007=4007a2004<0,S4006=2003(a2003+a2004)>0,
从而Sn>0成立的最大自然数n是4006.
答案:
B
5解析:
由题意知{an}是公差为3的等差数列,且前n项和为Sn,an=3n-63.
当n≤20时,an<0,
∴新数列的前30项的和S30-2S20=765.
答案:
765
6解:
(1)a3=S3-S2=-18.
(2)n=1时,a1=S1=-24,
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-24,
即
由题设得2n-24=74(n≥2),得n=49.
∴74在该数列中.
(3)
∴当n=11或n=12时,(Sn)min=-134.
7解析:
设行的总和构成数列{an},其中
d=10,
.故选B.
答案:
B
8解析:
∵am-1+am+1=2am,
∴2am-am2=0.∴am=0或am=2.
∵
∴am=2.
∴(2m-1)×2=38,解得m=10.
答案:
10
9解:
将新数列{|an|}向原有等差数列{an}靠拢转化,从而利用等差数列的性质、公式.设数列{an}的公差为d,则有
∴an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
由an=-2n+11>0得
故{an}的前5项为正,其余各项为负.
①当1≤n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n;
②当n≥6时,Tn=|a1|+…+|a5|+|a6|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=n2-10n+50,
∴
10解:
(1)令t=x+1,则x=t-1,得f(t)=(t-1)2-4,即f(x)=(x-1)2-4.
由a1,a2,a3成等差数列,得f(x-1)+f(x)=-3,即2x2-6x=0,得x=0或x=3.
当x=0时,a1=f(-1)=0,公差
舍去.
当x=3时,a1=f
(2)=-3,公差
故所求的x的值为3.
(2)因为x=3,所以首项a1=-3,公差
.
所以
(n∈N*).
(3)因为数列{an}为等差数列,
故a2,a5,a8,…,a26也成等差数列,且公差为
所以a2+a5+a8+…+a26
即a2+a5+a8+…+a26的值为
.
11解:
(1)当n为偶数时,
Sn=(1-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+[(n-1)-n][(n-1)+n]
=-[1+2+3+4+…+(n-1)+n]
.
(2)当n为奇数时,则n-1为偶数,
∴
.
综合
(1)
(2)可知
12
(1)证明:
由
①
则
.②
当n≥2时,
整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
∴an-an-1=4,
即{an}为等差数列.
(2)解:
∵
∴
解得a1=2.
∴
.令bn<0,得
.
∴S15为前n项和的最小值,
S15=b1+b2+…+b15=2(1+2+…+15)-15×31=-225.
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