数值分析总复习提纲.docx

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数值分析总复习提纲

数值分析总复习提纲

数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。

在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。

一、误差分析与算法分析

误差分析与算法设计包括这样几个方面:

（1）误差计算

1截断误差的计算

绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可

基本的计算公式是:

①e（x）=x*—xAx=dx

2er（x）超竝他

xxx

3e（f（x））f（x）dxf（x）e（x）

4er（f（x））d（lnf（x））

e（f*,X2））fx1（为,X2）dx1fx2（X1,X2）dx2fx1（为,x?

）e（xjfx2区,x?

）e（x2）

⑥（f（x1,X2））（f（x1,x2））

f（X1,X2）

注意：

求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式

er（x）葩或—，

xx

这样计算简单。

例12：

测得圆环的外径di=10±0.05（cm）内径d2=5±0.1（cm。

求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。

解：

圆环的面积公式为：

d2）

所以，圆环面积的近似值为

S（1052）58.905（cm2）

4

由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为

（S）—（2di

4

（di）2d2（d2））_（di（di）d2（d2））

2

（i00.0550.i）

2

2

i.57（cm）

相对误差为

（S）i.57

（S）I00%2.7%

S58.905

相对误差要化成百分数。

3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算

绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论：

1

如果一个数

其近似值

是对x*的第n+i位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝

对误差不超过

2如果一个数

*m

x0.aia2a3LaniananiL10（ai0）

的近似值

x0aa2a3Lanian10m

是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过

1mn

，即

110

2

则x至少具有n位有效数字。

例1.3:

求.3的近似值，使其绝对误差不超过1103。

2

解：

因为1v32

所以，化成x0.aia2a3Lanian10m的形式，有ai1,m1。

而110311014，

22

所以，由定理2，n=4，

所以近似值应保留4位有效数字。

则左1.732。

例1.4:

要使扌1的近似值的相对误差不超过104，应取几位有效数字?

（5%）

1

1n

10

104，

2ai

而3

4，显然ai

3，

此时，

1

in1

4-1

n,—4

—

10

10

10，

2ai

23

即1

1n

10

104，

解：

设取n个有效数字可使相对误差小于104，则

6

也即610n105

所以，n=5b

例1.5:

已知近似数x的相对误差限为0.3%，问x至少有几个有效数字?

解：

设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取

为9,则

由上可得

610n1000,n~2.2,

所以取n=20

指出：

也可以按首位为1,9分别计算，取较小者。

4、计算方法的余项计算

各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。

（二）误差分析

精度水平的分析主要依据两个结论:

相对误差越小，近似数的精确度越高。

一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确反之亦然。

例1.6:

测量一个长度a为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一长度b为20米，其绝对误差不超过0.05米。

问，哪一个测量的更精确些？

解：

上0.1025%a

a400

显然，Sa

所以测值a更准确一些。

答：

测值a更准确一些。

指出：

衡量测量工作的好坏用相对误差。

解决这样的题目就是三个步骤：

第一，求出两个相对误差。

第二，比较两个相对误差的大小。

第三，结论。

（三）算法分析

1、稳定性分析算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。

例1.7:

设近似值T0=S=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差,试分析分别用递推式

5Ti142.8和Si-S142.8

5

计算T20和&0所得结果是否可靠。

解：

设计算Ti的绝对误差为e（Ti）=Ti*-Ti，其中计算To的误差为£,那么计算T20的误差为

e（T2o）=T2o*—T2o=（5Ti9*—142.8）—（5Ti9—142.8）=5（Ti9*—T19）

=5e（T19）=52e（「8）=……=52°e（To）

显然误差被放大，结果不可靠。

20

同理，e（S2o）1e（So），误差缩小，结果可靠。

5

指出：

注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。

2、收敛性分析

算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中体现。

1）迭代法收敛性判定的基本结论是：

定理（迭代法基本定理）对于任意的f€Rn,和任意的初始向量x（°）€Rn，迭代法

x（k+1）=Bx（k）+f（k=0,1,2,…）

收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径P侣乂1。

推论：

若B|1,则迭代格式x（k+1）=Bx（k）+f（k=0,1,2,收敛。

2）判定雅可比迭代法、高斯一赛德尔迭代法收敛的基本依据是：

定理：

设线性方程组Ax=b，其系数矩阵为

an

a12

L

a1n

a21

a22

L

a2n

A

（aii0）

M

M

M

an1

an2

L

ann

则雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件:

an

a12

L

a1n

a21

a22

L

a2n

0；

M

M

O

M

an1

an2

L

ann

高斯-赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件:

an

a12

L

a1n

a21

a22

L

a2n

M

M

M

an1

an2

L

ann

0。

（3）系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性：

定理：

系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代都是收敛的。

指出：

迭代法基本定理是一般结论，对任意迭代法的收敛性都能分析。

限定雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法则不必应用基本定理，以回避求迭代矩阵。

例1.8:

已知线性方程组

xi2x22x31

XiX2X31

2xi2x2X31

求解这个方程组的雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法是否收敛？

解：

122

A111,

221

令

22

110,

22

则301230,

所以P（Bj）=0<1

所以雅可比迭代法收敛。

而

22

10

（2）2010,232,

22

所以p（Bg-s）=2>1

所以高斯一赛德尔迭代法发散。

二、基本计算与基本算法

（1）秦九韶算法

秦九韶算法是一种求多项式的值的计算方法。

对任意给定的x，计算代数多项式

nn1

R（x）anxanixLaixa。

的值，可以利用下面的方法计算：

P,（x）（L（（anxani）xan2）xLajxa。

这种算法就是著名的秦九韶算法。

是我国宋朝伟大的数学家秦九韶的伟大发现。

秦九韶算法可以写成递推的形式：

Snan

Skxskiak（kn，L2,1,0）

Pn（x）So

具体计算式，递推格式是采用如下表格形式进行计算：

akananian2an3La2aiao

xxSk1xSnxSn1xSn2LxSbXS2XSi

例2.2:

指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）

[1]1—cosl°（三角函数值取四位有效数字）

12

[2]In（30v301）（对数函数值取六位有效数字）

[3]1cosx（其中x的绝对值很小）

sinx

x127

100

n1n（n1）

注意：

能求出值来的求值。

（三）数值分析的基础计算

1、矩阵分解

主要包括LU分解和乔累斯基分解。

矩阵的手算分解就是应用矩阵乘法。

注意

1]注意分解式的格式。

2]分解+算要认真。

3]注意分解的顺序。

先求U的第一行，再求L的第一列矩阵的LU分解中，L是单位下三角阵，U为上三角阵，即

1

U11

U12L

Um

I21

1

U22L

U2n

L21

，U

M

M

O

O

M

ln1

ln2

L1

Unn

注意L的对角线元素都是1。

乔累斯基分解的结构是

a=ptp

1］矩$A是对称正定矩阵，则分解前必须声明矩阵A是对称正定矩阵,可以进行乔累斯基分解”

21P是上三角矩阵。

例2.3:

设有矩阵

作矩阵A的LU分解

解：

对矩阵

A

4

3

2

1

设

4

3

1

0

U11U12

2

1

1

21

1

0U22

先计算U的第一行，由矩阵乘法，有

Qan41U11+00

U114

Qai23—1+0ui2U22

U123

再计算L的第一列，由矩阵乘法，有

Qa212121U1110

1

121a21/Un

2

然后计算U的第2行

Qa22

1I21U121U22

U22

a22I21U121

13

1

2

2

所以

104

3

L

11，U0

1

2

2

2、求范数和条件数

1］常用的向量范数有

n

i1

n21

2|凶2（凶产

i1

3IXmax|xi

i

2］常用的矢眸范数有

1矩阵的1—范数（列范数）門1maxaij;

2

入（B是矩阵B的特征值。

矩阵的2—范数谱范数）：

門*（AA；其中（B）max|i（B）称为矩阵B的谱半径。

3矩阵的亠范数（行范数）：

A|max"aij

IIij1

③lixmaxXi

3】矩车a的条件数为

1

cond（A）|A|A

例2.4:

计算向量x（1,2,4）T的各种范数

解：

Ix11247，

|X2

（2）L42「V21,

|xmax{1,2,4}4。

例2.5:

给定矩阵

求A，|A2」a|。

解：

因为©11包』4,a12|a226,

所以卜16;

因^为anai23,a2ia227,

所以|A7；

因为Aa13131010,

24241020

所以AA的特征多项式为：

解2301000得

1155.5,215\5。

所以||A2订15一5）5。

3、求差分和差商

求差商和差分应用差商表和差分表进行

差商表如下：

Xk

f（Xk）

一阶差商

二阶差商

三阶差商

X0

f（x。

）

f[x0,X1]

X1

f（x1）

f[X0,X1,X2]

f[X1,X2]

f[X0,X1,X2,X3]

X2

f（X2）

f[X1,X2,X3]

f[X2,X3]

X3

f（X3）

差分表如下:

Xk

yk

一阶差分

二阶差分

三阶差分

X0

yo

△y0

X1

y1

2

△y0

△y1

3

△y0

X2

y2

2

△y1

△y2

X3

y3

三、数值计算与数值分析

（一）插值与拟合方法

包括拉格朗日插值、牛顿插值、等距节点插值、分段插值、保形插值（埃尔米特插值）、样条插值等插值方法和最小二乘法。

1插值方法

（1）拉格朗日插值多项式有两种求法，第一种是待定系数法，第二种是直接利用拉格朗日插值多项式的基函数法。

建议应用待定系数法。

例3.1:

已知函数f（x）在节点一1,0,1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。

解1:

设所求的多项式为

所以

P2（x）

解2:

li（x）

p2（x）a0a1xa2x2，把已知条件代入得

a。

a1

（1）a2

（1）20.3679

a°a1

（0）

a2

（0）21.000

a°a1

（1）

a2

2

（1）2.7182

解之得

a°1,a1

1.751,a20.5431

11.1751x0.5431X2。

由插值基函数公式

n

（xxk）

k0

ki

n

（XXk）

k0

ki

l°（X）

（X0）（x1）

x（x1）

（10）（11）

2

h（x）

[x

（1）]（x1）

（x1）（x1）

[0

（1）]（01）

l2（X）

[x

（1）]（x0）

x（x1）

[1

（1）]（10）

2

代入插值公式得

P2（x）0.3679°（x）1.000li（x）2.7182b（x）

即

2

P2（x）11.1751x0.5431x。

（2）牛顿插值和等距节点插值在求出差商或差分后直接套插值公式。

（3）构造埃尔米特插值仍然采用待定系数法和基函数法。

例3.2:

已知f（0）0,f

（1）1,f（0）3,f

（1）9，求三次的埃尔米特插值

多项式H（x）。

解：

设H（x）a0a1Xa?

xa3X，贝U

2

H（x）a12a2X3a3X,

由插值条件得

0

H（0）

a0

3

H（0）

a1

1

H

（1）

a0

a1a2a3

9

H

（1）

a1

2a23a3

解之得a。

0,a1

3,a212,a310，

所以H（x）

10x3

12x23x。

例3.3:

设f（x）在[-4,4]有连续的4阶导数，且

f（0）2,f（0）0,f（3）1,f（3）1

试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H（x），使其满足

p（0）f（0）2,p（0）f（0）0,p（3）f（3）1,p（3）f（3）1

解一（待定系数法）：

解：

设H（x）aoa1Xa2x2asx3，贝U

2

H（x）a12a2X3asX，

由插值条件得

2H（0）a。

0H（0）a1

1H

（1）a°a1a2a3

1H

（1）a12a23a3

解之得ao2,a10,a22,a3—，

327

解二（基函数法）：

解：

设H3（x）f（Xo）o（x）f（xi）i（x）

li（x）XXo

xo

X

XiXo

3o

3

由④得

1

o（x）[12（xx0）xxi

x0__xiXo]xi（x）

xoxi

指出：

待定系数法是求插值多项式的基本方法，而埃尔米特插值的基函数法构造方法及其余项分析方法是非标准插值构造及余项讨论的一般方法。

（4）样条插值根据边界条件不同求解不同的方程组解决。

（5）各种标准插值都有分段插值，分段插值的精度仅受局部数据影响。

⑹非标准插值是重要的插值问题。

非标准插值在一些论著中归为埃尔米特插值。

例3.4:

设f（x）在［-4,4］有连续的4阶导数，且

f

（1）1,f（0）2,f（0）0,f（3）1,f（3）1

（1）试构造一个次数最低的插值多项式p（x），使其满足

14

f（3）1

p

（1）f

（1）1,P（0）f（0）2,p（0）f（0）0,p（3）f（3）1,p（3）

⑵给出并证明余项f（x）-p（x）的表达式

解：

（1）由例3.3可以求出满足

p（0）f（0）2,p（0）f（0）0,p（3）f（3）1,p（3）f（3）1

的三次埃尔米特插值多项式

H（x）—x-2x2o

273

设p（x）H（x）a（x3）2x22_x32x22a（x3）收，则p（x）满足

273

由f

（1）1得

1

108

532222

27

（1）3

（1）2a（13）

（1）1a

所以

p（x）H（x）

a（x

22

3）x

5322

xx

273

14

133

32

2

x

x

x

108

54

4

122

21（x3）x

108

o

（2）余项具有如下结构

22

r（x）f（x）p（x）k（x）（x1）x（x3）

作辅助函数

22

（t）f（t）p（t）k（x）（t1）t（t3）

则显然（t）在点x,10,3处有6个零点（其中0,3是二重零点），即

（x）0,

（1）0,（0）0,（0）0,（3）0,（3）0,

不妨假设x（1,0）o

由罗尔定理，存在1（1,x）,2（x,0）,3（0,3）,

使得

（1）0,

（2）0,（3）0,

再注意到（0）0,（3）0，即⑴有5个互异的零点12033

再次由罗尔定理得，存在1

（1

「1）,

2（

2,0）,3

（0,3）,4（3,3）,

使得

（1）0,

（2）

0,（

3）

0,

（4）

0

第三次应用罗尔定理得,

存在

1

（

1,2）,

2（2,

3）,3（3,4）

使得

（1）0,

（2）

0,（

3）

0,

第四次应用罗尔定理得,

存在

1

（

1,2）,

2（2,

3）

使得（4）

（1）0,（4）

（2）0,

第五次应用罗尔定理得，存在（1,2）使得（5）（）0

注意到

（5）（5）（5）

（t）r（t）5!

k（x）f（）（t）5!

k（x）

（r（t）f（t）p（t）中p（t）是4次函数，其5次导数为0）

所以

（5）（）f（5）（）

f（）

5!

k（x）=0k（x）=

5!

代入余项表达式，

有

r（x）f（x）p（x）

f（5）（）

（x1）x（x3）o5!

指出：

本题是非标准插值问题，所谓非标准插值是指不同于拉格朗日插值等条件规范、插值多项式已有现成结论的插值。

比较简单的求解方法有：

1求插值问题的基本方法是待定系数法。

以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为yaoaixa2xazXaux，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。

2求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。

具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。

3以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。

在构造新的插值多项式中，要求新的插值多项式仍然以H（x）的插值节点为节点，则可以写成p（x）H（x）g（x）的形式，因为

p（0）H（0）2,p（0）H（0）0,p（3）H（3）1,p（3）H（3）1，

所以必有g（0）g（0）g（3）g（3）0

因此0,3是g（x）的两个2次零点，则g（x）包含（x3）2x2因子。

又因为多项式p（x）是4次的，g（x）也应该是4次的，所以可以设g（x）为

22

g（x）a（x3）x

本题也可以先利用p

（1）f

（1）1,p（0）f（0）2,p（3）f（3）1构造一

个2次插值多项式p2（x），以此为基础构造4次插值多项式p4（x），p4（x）的结构是

P4（x）

P2（X）

（axb）（x

1）x（x

3），

满足

p

（1）

f

（1）

1,p（0）

f（0）

2,p（3）f（3）1

再根据

p（0）

f（0）0,p（3）

f（3）1列出两个线性方程组成的方程组，

出a、b两个参数，即可求出所求的插值多项式。

求插值函数余项r（x）的常用方法是：

r（x）f（x）p（x）应具有如下形式（以本题为例）

22

r（x）f（x）p（x）k（x）（x1）x（x3）

作辅助函数

22

（t）f（t）p（t）k（x）（t1）t（t3）

则（t）在点x,1,0,3处有6个零点（其中0,3是二重零点）。

反复应用罗尔定

理，直到至少有一个（4,4），使得⑸（）0。

此时即有

条件构造f（x）

解：

由公式

代入余项表达式即可求出。

这里，作辅助函数的方法和中值定理讨论中作辅助函数方法一样指出：

插值公式的构造方法主要就是待定系数法和基函数法，埃尔米特插值这两种方法的构造与余项讨论都非常充分，是重要内容。

不仅应该能构造典型的插值公式，还要能构造一般的具有特定条件的插值公式。

用待定系数法构造埃尔米特插值等各种插值的方法也是必须掌握的。

（7）推广的牛顿插值法

埃尔米特插