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第一章集合
§1.1 集 合
2014高考会这样考
1.考查集合中元素的互异性,以集合中含参数的元素为背景,探求参数的值;2.求几个集合的交、并、补集;3.通过集合中的新定义问题考查创新能力.
复习备考要这样做
1.注意分类讨论,重视空集的特殊性;2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算;3.重视对集合中新定义问题的理解.
1.元素与集合
(1)集合中元素的两个特性:
确定性、互异性.
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈或∉.
(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图.
(4)常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N+或N*
Z
Q
R
C
2.集合间的关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B,B⊆A⇔A=B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A中任意一元素均为集合B的元素,且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
AB或BA
空集
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集
∅⊆A,∅B(B≠∅)
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A.
[难点正本 疑点清源]
1.正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的“确定性和互异性”,在解题中要注意运用.解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.
2.注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:
A⊆B,则需考虑A=∅和A≠∅两种可能的情况.
3.正确区分∅,{0},{∅}
∅是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合.∅⊆{0},∅⊆{∅},∅∈{∅},{0}∩{∅}=∅.
1.(2012·江苏)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B=________.
答案 {1,2,4,6}
解析 A∪B是由A,B的所有元素组成的.
A∪B={1,2,4,6}.
2.已知集合A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________.
答案 (2,3)
解析 集合B中,x2-5x+4≥0,∴x≥4或x≤1.
又∵集合A中a-1≤x≤1+a.
∵A∩B=∅,∴a+1<4且a-1>1,∴2 3.已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B=A,则m的可能取值组成的集合为________. 答案 解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A, ∴当B=∅时,m=0; 当-1∈B时,m=1; 当2∈B时,m=- . ∴m的值为0,1,- . 4.(2012·江西)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ) A.5B.4C.3D.2 答案 C 解析 当x=-1,y=0时,z=x+y=-1; 当x=1,y=0时,z=x+y=1; 当x=-1,y=2时,z=x+y=1; 当x=1,y=2时,z=x+y=3, 由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素的个数为3. 5.(2011·北京)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 答案 C 解析 由P={x|x2≤1}得P={x|-1≤x≤1}. 由P∪M=P得M⊆P.又M={a},∴-1≤a≤1. 题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a的值为________. 思维启迪: 要解决集合问题首先要考虑集合的确定性和互异性,理解集合中元素的特征. 答案 (1)B (2)2 解析 (1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有的点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有的点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素,而集合N只含有一个元素,故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合. (2)因为{1,a+b,a}= ,a≠0, 所以a+b=0,得 =-1, 所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征,分清点集、数集; (2)要特别注意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易被忽视,因此要对计算结果进行检验,防止所得结果违背集合中元素的互异性. 若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a=________. 答案 0或 解析 ∵集合A的子集只有两个,∴A中只有一个元素. 当a=0时,x= 符合要求. 当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a= .故a=0或 . 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 思维启迪: 若B⊆A,则B=∅或B≠∅,要分两种情况进行讨论. 解 当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 ,解得2 综上,m的取值范围为m≤4. 探究提高 (1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据和突破口; (2)对于数集关系问题,往往利用数轴进行分析;(3)对含参数的方程或不等式求解时,要对参数进行分类讨论. 已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. 答案 4 解析 由log2x≤2,得0 即A={x|0 而B=(-∞,a), 由于A⊆B,如图所示,则a>4,即c=4. 题型三 集合的基本运算 例3 设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是________. 思维启迪: 本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(∁UA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化. 答案 1或2 解析 A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2. 探究提高 本题的主要难点有两个: 一是集合A,B之间关系的确定;二是对集合B中方程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联 系,这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来,如A∪B=A⇔B⊆A, (∁UA)∩B=∅⇔B⊆A等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解这类难点的一种极为有效的方法. 设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当a=-4时,求A∩B和A∪B; (2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围. 解 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 当a=-4时,B={x|-2 ∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2 (2)∁RA={x|x< 或x>3}, 当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B=∅. ①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁RA; ②当B≠∅,即a<0时,B={x|- }, 要使B⊆∁RA,需 ≤ ,解得- ≤a<0. 综上可得,实数a的取值范围是a≥- . 题型四 集合中的新定义问题 例4 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T;∀x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的 思维启迪: 本题是一道新定义问题试题,较为抽象,题意难以理解,但若“以退为进”,取一些特殊的数集代入检验,即可解决. 答案 A 解析 不妨设1∈T,则对于∀a,b∈T,∵∀a,b,c∈T,都有abc∈T,不妨令c=1,则ab∈T,故T关于乘法是封闭的,故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的;若T为偶数集,V为奇数集,则它们符合题意,且均是关于乘法是封闭的,从而B、C错误;若T为非负整数集,V为负整数集,显然T、V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T,∀x,y,z∈V,有xyz∈V,但是对于∀x,y∈V,有xy>0,xy∉V,D错误.故选A. 探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力,解题时要充分理解题目的含义,进行全面分析,灵活处理. 已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有______个. 答案 6 解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},这样的集合共有6个. 集合中元素特征认识不明致误 典例: (5分)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合B是解决本题的关键,该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合B中的元素(x,y),不是有序数对,而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注“x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解. 解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B中所含元素的个数为10. 答案 D 温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面: 一是要注意集合中代表元素的字母符号,区分x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点. 2.遗忘空集致误 典例: (5分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值 组成的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况. 解析 (1)P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P; 当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=- , 为满足S⊆P可使- =-3或- =2, 即a= 或a=- . 故所求集合为 . 答案 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考考查的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征. (2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如S=∅时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意进行分类讨论,避免漏解. 方法与技巧 1.集合中元素的两个特性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. 失误与防范 1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟,满分: 57分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·广东)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM等于( ) A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6} 答案 C 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4}, ∴∁UM={3,5,6}. 2.(2011·课标全国)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有 ( ) A.2个B.4个C.6个D.8个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N的子集共有22=4个. 3.(2012·山东)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为 ( ) A.{1,2,4}B.{2,3,4} C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} 答案 C 解析 ∵∁UA={0,4},B={2,4},∴(∁UA)∪B={0,2,4}. 4.已知集合M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N等于( ) A.∅B.{x|x≥1} C.{x|x>1}D.{x|x≥1或x<0} 答案 C 解析 由 ≥0,得 ∴x>1或x≤0,∴M={x|x>1或x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=__________. 答案 -1或2 解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1, 由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2. 6.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可. 7.(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x|-5 B={x|(x-m)(x-2)<0},所以m=-1,n=1. 三、解答题(共22分) 8.(10分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3],求实数m的值; (2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围. 解 由已知得A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[0,3],∴ ∴m=2. (2)∁RB={x|x ∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3. 9.(12分)设符号@是数集A中的一种运算: 如果对于任意的x,y∈A,都有x@y=xy∈A,则称运算@对集合A是封闭的.设A={x|x=m+ n,m、n∈Z},判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭? 解 设x=m1+ n1,y=m2+ n2,那么xy=(m1+ n1)×(m2+ n2)=(m1n2+m2n1) +m1m2+2n1n2. 令m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则xy=m+ n, 由于m1,n1,m2,n2∈R,所以m,n∈R. 故A对通常的实数的乘法运算是封闭的. B组 专项能力提升 (时间: 25分钟,满分: 43分) 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.(2012·湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数. 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2.(2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( ) A.57B.56C.49D.8 答案 B 解析 由S⊆A知S是A的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},∴满足条件S⊆A的S共有26=64(种)可能.又∵S∩B≠∅,B={4,5,6,7,8},∴S中必含4,5,6中至少一个元素,而在满足S⊆A的所有子集S中,不含4,5,6的子集共有23=8(种),∴满足题意的集合S的可能个数为64-8=56. 3.(2011·湖北)已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则∁UP等于( ) A. B. C.(0,+∞)D.(-∞,0]∪ 答案 A 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, P={y|y= ,x>2}={y|0 }, ∴∁UP={y|y≥ }= . 二、填空题(每小题5分,共15分) 4.(2012·陕西改编)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=____________. 答案 (1,2] 解析 M={x|lgx>0}={x|x>1}, N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}, ∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1 5.已知M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若M∩N=∅,则a的值为____________. 答案 1,-1, ,-4 解析 集合M表示挖去点(2,3)的直线,集合N表示一条直线,因此由M∩N=∅知, 点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行,由此求得a的值为1,-1, ,-4. 6.设A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若A∩B=∅,则实数t的取值范围是________. 答案 (-∞,-3) 解析 A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t}, 由A∩B=∅知,t<-3. 三、解答题 7.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y= x2-x+ , 0≤x≤3}. (1)若A∩B=∅,求a的取值范围; (2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(∁RA)∩B. 解 (1)A={y|ya2+1},B={y|2≤y≤4}. 当A∩B=∅时, ∴ ≤a≤2或a≤- . (2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0, 依题意Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2. ∴a的最小值为-2. 当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}. ∴∁RA={y|-2≤y≤5},∴(∁RA)∩B={y|2≤y≤4}.
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