09圆锥曲线方程03抛物线2.docx
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09圆锥曲线方程03抛物线2
【基础知识精讲】
抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下:
图形
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
焦点
坐标
(
0)
(-
0)
(0,
)
(0,-
)
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
焦半径
|PF|=x0+
|PF|=
-x0
|PF|=
+y0
|PF|=
-y0
参数p的几何
意义
参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔.
本节学习要求:
1.抛物线方程的确定,先由几何性质确定抛物线的标准方程,再用待定系数法求其方程.
2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样,利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.
3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.
通过学习本节内容,更进一步培养我们学习数学的兴趣,培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题,提高分析问题和解决的能力.
【重点难点解析】
1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大,它的离心率等于1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质,难点是几何性质的灵活应用.
例1已知抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点(x0,-8)到焦点的距离等于17,求抛物线方程.
例2求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
例3设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB,OM⊥AB于M,求点M的轨迹方程,并说明表示什么曲线.
【难题巧解点拨】
例1已知抛物线y2=2px上两点A、B,BC⊥x轴交抛物线于C,AC交x轴于E,BA延长交x轴于D,求证:
O为DE中点.
例2设抛物线过定点A(0,2)且以x轴为准线.
(Ⅰ)试求抛物线顶点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上,那么当a取何值时,过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?
【命题趋势分析】
本节与椭圆、双曲线的相同内容相似,都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识;直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题;圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.
【典型热点考题】
例1抛物线y=x2的弦AB保持与圆x2+y2=1相切移动,求过A、B的抛物线的切线交点的轨迹方程.
例2某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.
(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
(注:
市场售价和种植成本的单位:
元/102kg,时间单位:
天)
【同步达纲练习】
A级
一、选择题
1.若A是定直线l外的一定点,则过A且与l相切圆的圆心轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线
2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是()
A.2.5B.5C.7.5D.10
3.已知原点为顶点,x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是()
A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦AB,O为抛物线顶点,则∠AOB()
A.小于90°B.等于90°
C.大于90°D.不能确定
5.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为()
A.相交B.相离C.相切D.不确定
二、填空题
6.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.
7.若以曲线
+
=1的中心为顶点,左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B两点,则|AB|=.
8.若顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为
,则此抛物线的方程是.
三、解答题
9.抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FABR,试求动点R的轨迹方程.
10.是否存在正方形ABCD,它的对角线AC在直线x+y-2=0上,顶点B、D在抛物线y2=4x上?
若存在,试求出正方形的边长;若不存在,试说明理由.
AA级
一、选择题
1.经过抛物线y2=2px(p>0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为()
A.pB.2pC.4pD.不确定
2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若AB的中点横坐标为2,则|AB|为()
A.
B.4
C.2
D.
3.曲线2x2-5xy+2y2=1()
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称,但不关于y=x对称
D.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称
4.若抛物线y2=2px(p>0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y≠0),则弦PQ的斜率为()
A.-
B.
C.px-D.-px0
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
的值一定等于()
A.4B.-4C.p2D.-p2
二、填空题
6.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4
,则焦点到AB的距离为.
7.以椭圆
+y2=1的右焦点F为焦点,以原点为顶点作抛物线,抛物线与椭圆的一个公共点是A,则|AF|=.
8.若△OAB为正三角形,O为坐标原点,A、B两点在抛物线y2=2px上,则△OAB的周长为.
三、解答题
9.抛物线y=-
与过点M(0,-1)的直线l相交于A、B两点,O为坐标原点,若直线OA和OB斜率之和为1,求直线l的方程.
10.已知半圆的直径为2r,AB为直径,半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,且|TA|=2a(2a<
),半圆上有M、N两点,它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件|MP|=|AM|,|NQ|=|AN|,求证:
|AM|+|AN|=|AB|.
【素质优化训练】
一、选择题
1.过点A(0,1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线的条数为()
A.1B.2C.3D.4
2.设抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b相交于两点,它们的横坐标为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,那么x1、x2、x3的关系是()
A.x3=x1+x2B.x3=
+
C.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x2
3.当0<k<
时,关于x的方程
=kx的实根的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C,则△ABC是()
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.不确定
5.将直线x-2y+b=0左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则实数b的值等于()
A.-1B.1C.7D.9
二、填空题
6.抛物线y2=-8x被点P(-1,1)所平分的弦所在直线方程为.
7.已知抛物线y2=2x的弦过定点(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是.
8.已知过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB被F分成长度为m、n的两部分,则
+
=.
三、解答题
9.已知圆C过定点A(0,p)(p>0),圆心C在抛物线x2=2py上运动,若MN为圆C在x轴上截得的弦,设|AM|=m,|AN|=n,∠MAN=θ.
(1)当点C运动时,|MN|是否变化?
写出并证明你的结论?
(2)求
+
的最大值,并求取得最大值时θ的值和此时圆C的方程.
10.已知抛物线y2=4ax(0<a<1)的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N,设P为线段MN的中点,
(Ⅰ)求|MF|+|NF|的值;
(Ⅱ)是否存在这样的a值,使|MF|、|PF|、|NF|成等差数列?
如存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
【生活实际运用】
1.已知点P(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内,求证以点P为中点的抛物线y2=2px(p>0)的中点弦方程为
yy0-p(x+x0)=y20-2px0
注:
运用求中点弦的方法不难求出结论,这一结论和过抛物线y2=2px上点的切线方程有什么联系?
若P(x0,y0)为非对称中心,将抛物线y2=2px换成椭圆
+
=1或双曲线
-
=1,它们的中点弦存在的话,中点弦方程又将如何?
证明你的结论.
中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.
2.公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA,O恰在圆形水面中心,OA=1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示,为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?
分析根据图形的对称性,设出并求出一边的抛物线的方程,便可求出水池的半径.
以OA所在直线为y轴,过O点作oy轴的垂直线ox轴,建立直角坐标系如图
依题意A(0,1.25),设右侧抛物线顶点为则B(1,2.25),抛物线与x轴正向交点为C,OC即圆型水池的半径.
设抛物线ABC的方程为
(x-1)2=-2p(y-2.25)
将A(0,1.25)代入求得p=
∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)
令y=0,(x-1)2=1.52,x=2.5(米)
即水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不致落到池外.
【知识验证实验】
1.求函数y=
-
的最大值.
解:
将函数变形为y=
-
,由几何意义知,y可以看成在抛物线f(x)=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3,2)和B(0,1)的距离之差,∵|PA|-|PB|≤|AB|,∴当P、A、B三点共线,且P在B的左方时取等号,此时P点为AB与抛物线的交点,即P为(
,
)时,ymax=|AB|=
.
2.参与设计小花园的喷水池活动.
要求水流形状美观,水流不落池外.
【知识探究学习】
1.如图,设F是抛物线的焦点,M是抛物线上任意一点,MT是抛物线在M的切线,MN是法线,ME是平行于抛物线的轴的直线.求证:
法线MN必平分∠FME,即φ1=φ2.
解:
取坐标系如图,这时抛物线方程为y2=2px.(p>0),因为ME平行x轴(抛物线的轴),∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3,也就是△FMN的两边FM和FN相等.设点M的坐标为(x0,y0),则法线MN的方程是y-y0=-
(x-x0),令y=0,便得到法线与x轴的交点N的坐标(x0+p,0),所以|FN|=|x0+p-
|=x0+
又由抛物线的定义可知,|MF|=x0+
∴|FN|=|FM|,由此得到φ1=φ2=φ3,若M与顶点O重合,则法线为x轴,结论仍然成立.
2.课本第124页阅读材料:
圆锥曲线的光学性质及其应用
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- 09 圆锥曲线 方程 03 抛物线