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第10页第十二章轴对称12.1.1轴对称
(1)
【学习目标】1.通过展示轴对称图形的图片,初步认识轴对称图形及轴对称。
2.通过试验,归纳出两个概念。
3.培养良好的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。
【学习重点】:
理解轴对称图形和轴对称的概念
【学习难点】:
两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系。
【学习过程】一、自主探究
(1)轴对称图形
1、阅读课本P28,观察图中建筑中的对称形,并与同桌交流,体会对称美。
2、本章主要学习________,并进一步研究等腰三角形的性质。
3、阅读课本P29观察课本中的7副图片,它们的共同特征是:
4、请你列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物:
5、动手做一做:
把一张纸对折,然后从折叠处剪出一个图形,展开后会是一个什么样的图形?
它有什么特征?
归纳:
轴对称图形定义:
如果一个图形沿一条__________折叠,________两旁的部分能够完全________.这个图形就叫做轴对称图形,这条________就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条_________(成轴)对称.
2、新知检测:
1、课本P30练习题。
2、我国的文字非常讲究对称美,
分析图中的四个图案,图案()有别于其余三个图案.
3、如图是我国几家银行的标志,在这几个图案中是轴对称图形的有哪些?
它们各有几条对称轴,你能画出来吗?
(小组讨论完成)
4、下列图案中,不是轴对称图形的是()
5.下列英文字母属于轴对称图形的是()
A、NB、SC、LD、E
三、自主探究1、学习课本30页,回答思考内容。
归纳:
轴对称定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重叠的点)叫做。
2、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系?
区别:
轴对称图形是说个图形的位置关系,
成轴对称是说个具有特殊形状的图形。
联系:
都能沿着某条直线。
这条直线是对称轴。
3思考:
(1)成轴对称的两个图形全等吗?
全等的两个图形一定成轴对称吗?
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成;反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个图形.
四、新知检测:
1、课本P31练习题
2、李芳同学球衣上的号码是253,当他把镜子放在号码的正左边时,镜子中的号码是()
3.下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?
4.下列各时刻是轴对称图形的为()
A、B、C、D、
四、课堂小结:
本节课你学到__
12.1.3线段的垂直平分线
(2)
【学习目标】:
1.通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义
2、理解线段垂直平分线与对称轴的关系3、掌握线段垂直平分线的性质
【学习重点】:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
【学习难点】:
运用线段垂直平分线性质解决问题。
【学习过程】一、自主探究1、线段是轴对称图形吗?
在练习本上
画线段AB,通过折叠的方法作出线段AB的对称轴直线l,交AB于O点。
1)点A的对称点是_______
2)量出AO与BO的长度,它们有什么关系?
3)AB与直线l在位置上有什么关系?
归纳:
经过线段_____并且____于这条线段的____,叫做这条线段的垂直平分线.
2、观察课本P31思考中的图,线段AA′,BB′,CC′与直线MN的位置关系是________
由上可得:
对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系?
3、轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么是任何一对对应点所连线段的
类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的。
2、自主探究自学34页例,试一试
1、如图线段AB,求作线段AB的垂直平分线m。
(1)度量直尺法
(2)尺规法
ABAB
2、如上图直线m垂直平分线段AB,交AB与O.点C是m上任意一点,连接AC,BC.
1)量出AC,BC的长度,它们有什么关系?
2)另在m上任找一点D,量出AD,DB的长度,它们有什么关系?
3)由1),2),你得到什么猜想?
(用我们以前学过的知识证明你的猜想)
归纳:
线段垂直平分线的性质1:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。
3、由下面每个图所给条件,找出图中相等的线段,并说明理由。
A在BC的垂直平分线上ED垂直平分BC直线MN和DE分别是线段AB、
BC的垂直平分线
二、课堂展示
1.如右图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,BE=6,求△BCE的周长。
2、如图,△ABC中,AB=AC=18cm,BC=10cm,AB的垂直平分线ED交AC于D点,求:
△BCD的周长。
A
3、某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.
(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?
在所给的图形中画出你的设计方案;
(2)阐述你设计的理由.
三、课堂小结与反思:
(第11页)12.1.4线段的垂直平分线
【学习目标】:
1、进一步理解线段垂直平分线的性质,并能灵活运用。
2掌握线段垂直平分线的判定3、熟练画出轴对称图形的对称轴。
【学习重点】:
探索并理解线段垂直平分线的判定,验证一个图形是不是轴对称图形
【学习难点】:
运用线段垂直平分线的判定解决问题,画轴对称图形的对称轴。
【学习过程】一、自主探究
1、用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的弓,箭通过木棒中央的孔射出去。
(1)
(2)
1)如图
(1)要使CO垂直于AB,需要添加条件______根据_____________
那么点C在_______上。
2)如图
(2),拉动C,到达D的位置,若AD=DB,那么点D在__________上。
3)由1),2),你得到什么猜想?
证明你的猜想。
归纳:
线段垂直平分线判定:
与一条线段两个端点距离________的点,在这条线段的______________上。
2、若EB=EC,则点E在线段____的垂直平分线上,又BD=DC,则点D在线段____的垂直平分线上,因为,经过_______可以确定一条直线,则____是____的垂直平分线。
二、课堂展示
1、如图:
已知直线l和l异侧的两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA=PB.
·A
·B
·B
三、自主探究
1、如图:
不通过折叠的方法,你能验证出这两个四边形是否关于直线MN对称吗?
2、设A、B两点关于直线MN对称,则______
垂直平分________.
3、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系?
4、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段_____________
5、试着画出下边两个轴对称图形的对称轴。
3、下面是我们学过的一些几何图形,说出下面图形是不是轴对称图形,并完成下表。
图
形
长方
形
正方
形
三角
形
等腰
三角
形
等边
三角
形
平行
四边
形
任意
梯形
等腰
梯形
圆
对称轴的条数
6:
下面的虚线,哪些是图形的对称轴,哪些不是?
四、小结与反思
12.2.1作轴对称图形
【学习目标】1能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。
2、能设计简单的轴对称图案。
3、通过画轴对称图形,增强学生学习几何的趣味感,培养审美情操。
【学习重点】:
利用对称轴作轴对称图形。
【学习难点】:
利用对称轴进行图案设计。
【学习过程】一、复习回顾:
1、线段公理两点之间,________
2、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。
三、新课探究
1、动手在一张纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了么?
改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么?
归纳:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的 、________完全相同;
(2)新图形上的任意一点,都是原图形上某一点关于直线l的__________;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。
2、自学40页思考及例1
3、如图,已知点A和直线l,试画出点A关于直线l的对称点A′。
请说说你的画法
l
A·
4、作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′
二、课堂展示例1、已知△ABC,及点A的
对称点A′,请作出对称轴直线l,A.A′
并画出△ABC关于直线l的对称图形。
C
2、身高1.80米的人站在平面镜前2米处,它在镜子中的像高______米,人与像之间距离为_______米;如果他向前走0.2米,人与像之间距离为_________米.
三、学习课本42页内容,完成下列要求:
1、学习探究的内容,将探究中的
问题转化为数学问题______B.
A.
四.课堂小结:
阅读41页归纳
五、课堂训练
1、下面哪些汉字经轴对称变换后所成的整体图形仍是汉字
日︳月︳土︳木︳人︳
A.②④⑤B.①②④⑤C.①②③④⑤D.④⑤
2、李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分,请问钟表上显示的实际时间是( )
A.3:
20 B.2:
25 C.3:
25 D.4:
20
3.为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块:
⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法:
⑴分别作两条对角线(如图中的图1);⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段(图2)(图2中两个图形的分割看作同一方法).请你按照上述三个要求,分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法.(正确画图,不写画法)
四、作业课本45页习题1,课本练习41页练习1、2。
第12页12.2.2用坐标表示轴对称
【学习目标】:
1、掌握在平面直角坐标系中,关于x轴和y轴对称点的坐标特点。
2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
【学习重点】:
在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
【学习难点】:
能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
【学习过程】一、预习新知P43—P44
1、如图,在平面直角坐标系中,
1)分别写出点A、B、C的坐标。
2)在坐标系中标出点A、B、C关于x轴的对称点
A1、B1、C1、。
写出A1、B1、C1、的坐标。
4)观察每对对称点的坐标,可以得到:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标_____,
纵坐标_________________。
点(x,y)关于
x轴的对称点的坐标为__________.
2、如上图,在平面直角坐标系中,
1)在坐标系中标出点A、B、C关于关于y轴的对称点A2、B2、C2。
写出A2、B2、C2的坐标。
4)观察每对对称点的坐标,可以得到:
在平面直角坐标系中,关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。
点(x,y)关于y轴的对称点的坐标为__________.
3完成下表.
已知点
(2,-3)
(-1,2)
(-6,-5)
(0,-1.6)
(4,0)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
4、点(-1,3)与点(-1,—3)关于_________对称;
点(2,—4)与点(-2,—4)关于_________对称;
5、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
若点p与点p’关于x轴对称,则a=___b=____若点p与点p’关于y轴对称,则a=_____b=______.
二、课堂训练
1、已知:
△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,-1).
(1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点;
(2)求△ABC的面积.
(3)若
与△ABC关于x轴对称,写出
、
、
的坐标.
三、随堂练习
1、已知点(x,4-y)与点(1-y,2x)关于y轴对称,则xy=————————。
2、已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:
①A、B关于x轴对称;②A、B关于y轴对称;③A、B关于原点对称;④若A、B之间的距离为4,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个
3、已知A(-1,-2)和B(1,3),将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
4、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),
B(-4,1),C(-1,3),作出△ABC关于y轴对称的图形。
四、学生小结与反思
八年级数学12.3.1等腰三角形(第一课时)
【学习目标】:
1、了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
【学习重点】:
等腰三角形的概念及性质。
【学习难点】:
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
【学习过程】:
一回顾旧知
1、三角形按边来分类,可分为三角形和三角形。
2、有两边相等的三角形叫,相等的两边叫,另一边叫
两腰的夹角叫,腰和底边的夹角叫
3如图,在△ABC中,AB=AC,
标出各部分名称
二、自主探究:
1、用剪刀按照49页介绍的方法,剪出一个等腰三角形,
(1)想一想,它是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是
(2)等腰三角形沿对称轴对折,找出重合的线段和角,由此你发现了等腰三角形的哪些性质?
性质1:
等腰三角形的两个底角(简写成“等边对等角”);
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上、底边上相互重合。
2、如图,在△ABC中,
12
1)如果AB=AC。
那么
2)如果AB=AC,且∠1=∠2,那么=,且。
3)如果AB=AC,且BD=DC,那么=,且。
4)如果AB=AC,且AD⊥BC,那么=,且。
3如图2,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数。
.
4、如图3,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,
且AD=AE.求证:
BD=CE
三、拓展延伸,运用新知
1等腰三角形顶角为1500,那么它的另外两个角的度数分别是。
2等腰三角形的一个内角为500,则另外两个角的度数分别是。
3在等腰△ABC中,若AB=3,AC=7,
则△ABC的周长为。
4如图,在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,
BD=BE,且∠A=1000,则∠DEC=
A
D
5如图,AD//BC,CA平分∠BCD,∠D=1100,
并且AB=AC,求∠BAC的度数。
BC
6、如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD,
垂足为点M求证:
CM=DM
四、本节课收获
第13页12.3.1等腰三角形(第二课时)
【学习目标】:
1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索,体会探索学习的乐趣。
【学习重点】:
等腰三角形的判定方法及其应用
【学习难点】:
探索等腰三角形的方法定理
【学习过程】:
一复习回顾1、等腰三角形性质:
性质1等腰三角形的两个相等(简写成“”)
性质2等腰三角形、、互相重合。
二、新课探究1
1、已知:
如图在△ABC中,∠B=∠C
求证:
AB=AC
归纳:
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也(简写成:
等角对等边”)。
几何语言:
因为在△ABC中,已知)
所以()
即
2等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系?
区别:
联系:
3.如图,将一个长方形纸条进行折叠,叠和部分
所成的三角形有什么特征?
它是等腰三角形吗?
4.一个三角形的一个外角为130°,且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。
这个三角形是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
三.新课探究2
1求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。
2.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F求证:
EF=EB+FC.
3、如左下图,∠A=
∠C=
∠DBC=
.分别计算∠BDC、∠ABD的度数,并说明图中有哪些等腰三角形。
四、本节课收获
12.3.2等边三角形(第一课时)
【学习目标】:
1理解并掌握等边三角形的定义,探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
【学习重点】:
等边三角形判定定理的发现与证明
【学习难点】:
等边三角形性质和判定的应用
【学习过程】一创设情境,感受新知
1、想一想:
教材P53---思考
归纳:
(1)等边三角形的性质:
等边三角形的
(2)等边三角形的判定:
2.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合()
b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°()
3.如图
(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。
二、拓展延伸,运用新知
1、如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,
AC于D,E。
求证△ADE是等边三角形。
2、一个三角形一边的中线和高线重合,那么这个三角形是__
3、等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是____
4、一个等腰三角形有三条对称轴,那么它就是___三角形。
5、在△ABC中,AB=AC,且∠A=60°,则△ABC是___三角形。
6、下列叙述正确的是( )
A、等腰三角形是等边三角形 B、所有的等边三角形形状都相同,所以全等
C、三个角之比为1:
2:
3的三角形是等腰三角形
D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴
7、选择:
如图在等边△ABC中,O为三条高线的交点,连结OB、OC那么∠BOC=()
8、A、100° B、90°C、150° D、120°
9如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证BE=DC
四本节总结反思
第14页12.3.2等边三角形(第二课时)
【学习目标】:
1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质.
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
【学习重点】:
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
【学习难点】:
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
【学习过程】:
一、知识回顾
1.等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴.
2.等边三角形每一个角相等,都等于
3.三个角都相等的三角形是
4.有一个角是60°的是等边三角形.
二、新课探究:
有一个角为30°的直角三角形的性质
1、问题:
用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
2、
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能证明你的结论吗?
3、已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.
求证:
BC=
AB.
4、归纳:
在直角三角形中,
二、拓展延伸,运用新知:
1、右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,
立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,
立柱BD、DE要多长?
2、等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高.
求:
CD的长
3已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:
BD=
AB.
4.已知:
如右图,P、Q是△ABC的边BC上的
两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大小.
三、小结反思
第15页轴对称与轴对称图形复习导学案
对称是一种思想,通过它,人们毕生追求,并创造次序、美丽和完善……
[学习目标]理解并掌握本章各知识点。
【学习重点】:
掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。
【学习难点】:
轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用,镜面对称下图形的变化。
【学习过程】:
一、欣赏下面几张美丽的图片,回顾本单元的知识结构课本62页
1.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线,两侧的图形能够,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做______。
图形上能够重合的点叫。
2.轴对称:
欣赏下面几幅图片,并完成问题。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成,这条直线叫做。
两个图形中的对应点叫。
如图,写出一对对称点是。
3.轴对称的性质
上图中点A和F的连线,点C和D,点B和E的连线被直线MN图中相等的线段有:
相等的角有:
。
可以概括为:
如果两个图形关于某条直线成轴对称,那么对应点的连线被对称轴,对应线段,对应角。
4.欣赏下面的图片,完成对镜面对称的回顾。
一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示,你能确定该车车牌的号码吗?
在照镜子时,镜子外的物体和镜子内的成像不变,
发生相反变化。
5.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
6.角的平分线的性质
角的平分线的性质上的点到的距离相等。
7.等腰三角形的性质
等腰三角形是图形,它的对称轴是,
等腰三角形的两个底角,互相重合。
等边三角形的各角都是,有条对称轴。
二、习题巩固
1下列说法中,正确的个数是()
①轴对称图形只有一条对
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