并集与交集优质学案.docx

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并集与交集优质学案

1.1.3　集合的基本运算

第1课时　并集与交集

学习目标

　1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．

知识点一　并　集

（1）定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）．

（2）并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）图形语言：

、

.阴影部分为A∪B.

（4）性质：

A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.

知识点二　交　集

思考　一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？

答案　1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．

梳理　

（1）定义：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）．

（2）交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（3）图形语言：

，阴影部分为A∩B.

（4）性质：

A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.（√）

2．A∩B是一个集合．（√）

3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．（×）

4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．（×）

类型一　求并集

命题角度1　数集求并集

例1　

（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于（　　）

A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}

C．{2,3,4}D．{1,3,4}

考点　并集的概念及运算

题点　有限集合的并集运算

答案　A

解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，

∴A∪B＝{1,2,3,4}．

故选A.

（2）A＝{x|－1

考点　并集的概念及运算

题点　无限集合的并集运算

解　如图：

由图知A∪B＝{x|－1

反思与感悟　有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．

跟踪训练1　

（1）A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.

考点　并集的概念及运算

题点　有限集合的并集运算

解　B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．

（2）A＝{x|－13}，求A∪B.

考点　并集的概念及运算

题点　有限集合的并集运算

解　如图：

由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．

命题角度2　点集求并集

例2　集合A＝{（x，y）|x>0}，B＝{（x，y）|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．

考点　并集的概念及运算

题点　无限集合的并集运算

解　A∪B＝{（x，y）|x>0或y>0}．

其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．

反思与感悟　求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．

跟踪训练2　A＝{（x，y）|x＝2}，B＝{（x，y）|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．

考点　并集的概念及运算

题点　无限集合的并集运算

解　A∪B＝{（x，y）|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．

类型二　求交集

例3　

（1）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＝0，x∈Z}，则A∩B等于（　　）

A．{1}B．{2}

C．{－1,2}D．{1,2,3}

考点　交集的概念及运算

题点　有限集合的交集运算

答案　B

解析　B＝

，

∴A∩B＝

（2）若集合A＝{x|－5

A．{x|－3

C．{x|－3

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　A

解析　在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3

（3）集合A＝{（x，y）|x>0}，B＝{（x，y）|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

解　A∩B＝{（x，y）|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．

反思与感悟　求集合A∩B的步骤

（1）首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；

（2）把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；

（3）把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．

跟踪训练3　

（1）集合A＝{x|－13}，求A∩B；

（2）集合A＝{x|2k

（3）集合A＝{（x，y）|y＝x＋2}，B＝{（x，y）|y＝x＋3}，求A∩B.

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

解　

（1）A∩B＝{x|－1

（2）A∩B＝{x|2

（3）A∩B＝∅.

类型三　并集、交集性质的应用

例4　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．

考点　集合的交集、并集性质及应用

题点　利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围

解　A∪B＝B⇔A⊆B.

当2a>a＋3，即a>3时，A＝∅，满足A⊆B.

当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A⊆B.

当2a

需

或

解得a<－4或

综上，a的取值范围是

{a|a>3}∪{a|a＝3}∪

＝

.

反思与感悟　解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．

跟踪训练4　若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足（　　）

A．ACB．CAC．A⊆CD．C⊆A

考点　集合的交集、并集性质及应用

题点　交集、并集的性质

答案　C

解析　A∩B＝A⇔A⊆B，B∪C＝C⇔B⊆C，所以A⊆C.

1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于（　　）

A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2}D．{0,1}

考点　并集的概念及运算

题点　有限集合的并集运算

答案　B

2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于（　　）

A．{0}B．{0,1}

C．{0,2}D．{0,1,2}

考点　交集的概念及运算

题点　有限集合的交集运算

答案　C

3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0

A．{x|x>0}B．{x|x>1}

C．{x|1

考点　并集的概念及运算

题点　无限集合的并集运算

答案　A

4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝________.

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　∅

5．已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

考点　集合的交集、并集性质及应用

题点　利用集合的交集、并集性质求参数的值

答案　0或3

1．对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2．集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．

一、选择题

1．（2018·舟山中学考试）已知集合P＝{x|x>0}，Q＝{x|－1

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（0，＋∞）D．（－1，＋∞）

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　B

2．若集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，则M∩N等于（　　）

A．{－3}B．{1}

C．{－3,1,4}D．{－3,1}

考点　交集的概念及运算

题点　有限集合与无限集合的交集运算

答案　D

解析　M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，

则M∩N＝{－3,1}，故选D.

3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于（　　）

A．{y|0

C．{y|y>0}D．{（0,1），（1,0）}

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　B

解析　∵B＝{y|y＝x2}＝

，

∴A∩B＝{y|0≤y≤1}．

4．已知集合M＝{x|（x－1）2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于（　　）

A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　A

解析　集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.

5．集合A＝

，B＝

，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（　　）

A．7B．8C．15D．16

考点　Venn图表达的集合关系及运用

题点　Venn图表达的集合关系

答案　C

解析　A＝

，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝

，

∴真子集个数为24－1＝15.

6．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}

考点　交集的概念及运算

题点　由交集的运算结果求参数的值

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

7．（2017·余姚中学质检）满足A∪{1，－1}＝{1,0，－1}的集合A共有（　　）

A．2个B．4个

C．8个D．16个

考点　集合的交集、并集性质及应用

题点　利用交集、并集性质求集合的个数

答案　B

8．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩B等于（　　）

A．（－1,1]B．（－1,1）

C．∅D．[－1,2]

答案　A

解析　集合A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，

B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，A∩B＝{x|－1＜x≤1}＝（－1,1]．

二、填空题

9．已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝

}，则P∩Q＝________.

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集