版高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形试题理.docx
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版高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形试题理
专题四三角函数、解三角形
考点1三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.(2016·全国Ⅲ,5)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B.C.1D.
1.Atanα=,则cos2α+2sin2α===.
2.(2015·重庆,9)若tanα=2tan,则=( )
A.1B.2C.3D.4
2.C [==
====3.]
3.(2014·大纲全国,3)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
3.C [∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.
又c=tan35°=>sin35°=cos55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.]
考点2三角函数的图象与性质
1.(2016·浙江,5)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关
1.B[因为f(x)=sin2x+bsinx+c=-+bsinx+c+,
其中当b=0时,f(x)=-+c+,f(x)的周期为π;b≠0时,f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b有关但与c无关,故选B.]
2.(2016·四川,3)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度
2.D[由题可知,y=sin=sin,则只需把y=sin2x的图象向右平移个单位,选D.
3.(2016·北京,7)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
3.A[点P在函数y=sin图象上,则t=sin=sin=.
又由题意得y=sin=sin2x,
故s=+kπ,k∈Z,所以s的最小值为.]
4.(2016·全国Ⅰ,12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9C.7D.5
4.B[因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+kT,即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N*),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.]
5.(2016·全国Ⅱ,7)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
5.B[由题意将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.]
6.(2015·山东,3)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
6.B[∵y=sin=sin,
∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移个单位.]
7.(2015·湖南,9)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )
A.B.C.D.
7.D[易知g(x)=sin(2x-2φ),φ∈,
由|f(x1)-f(x2)|=2及正弦函数的有界性知,
①或②
由①知(k1,k2∈Z),
∴|x1-x2|min==,由φ∈,
∴+φ=,∴φ=,
同理由②得φ=.故选D.]
8.(2015·四川,4)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A.y=cosB.y=sin
C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx
8.A [A选项:
y=cos=-sin2x,T=π,且关于原点对称,故选A.]
9.(2015·陕西,3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6C.8D.10
9.C [由题干图易得ymin=k-3=2,则k=5.∴ymax=k+3=8.]
10.(2015·新课标全国Ⅰ,8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈ZB.,k∈Z
C.,k∈ZD.,k∈Z
10.D [由图象知=-=1,∴T=2.由选项知D正确.]
11.(2015·安徽,10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f
(2) (2) (2)D.f (2) 11.A [由于f(x)的最小正周期为π,∴ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ),又当x=时,2x+φ=+φ=2kπ-,∴φ=2kπ-,又φ>0,∴φmin=,故f(x)=Asin. 于是f(0)=A,f (2)=Asin,f(-2)=Asin=Asin, 又∵-<-4<<4-<,其中f (2)=Asin =Asin=Asin,f(-2)=Asin =Asin=Asin. 又f(x)在单调递增,∴f (2) 12.(2014·浙江,4)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( ) A.向右平移个单位B.向左平移个单位 C.向右平移个单位D.向左平移个单位 12.C [因为y=sin3x+cos3x=cos=cos3,所以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位后,可得到y=cos的图象,故选C.] 13.(2014·辽宁,9)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增 13.B [将y=3sin的图象向右平移个单位长度后得到y=3sin,即y=3sin的图象,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,化简可得x∈,k∈Z,即函数y=3sin的单调递增区间为,k∈Z,令k=0,可得y=3sin(2x-)在区间上单调递增,故选B.] 14.(2014·陕西,2)函数f(x)=cos的最小正周期是( ) A.B.πC.2πD.4π 14.B [∵T==π,∴B正确.] 15.(2016·江苏,9)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是. 15.7[在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下: 由图象可得两图象有7个交点.] 16.(2016·全国Ⅲ,14)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到. 16.[y=sinx-cosx=2sin,y=sinx+cosx=2sin,因此至少向右平移个单位长度得到.] 17.(2015·浙江,11)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________,单调递减区间是________. 17.π (k∈Z) [f(x)=+sin2x+1=sin+, ∴T==π,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得: +kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴单调递减区间是,k∈Z.] 18.(2015·福建,19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到: 先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度. (1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β. ①求实数m的取值范围; ②证明: cos(α-β)=-1. 18.解法一 (1)将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sinx. 从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z). (2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx==sin(x+φ) . 依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,). ②证明 因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解。 所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=. 当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ); 当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ). 所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1. 法二 (1)解 同法一. (2)①解 同法一. ②证明 因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=. 当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ); 当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ); 所以cos(α+φ)=-cos(β+φ). 于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)] =cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-+=-1. 19.(2015·北京,15)已知函数f(x)=sincos-sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 19. (1)因为f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-, 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤. 当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-. 20.(2015·重庆,18)已知函数f(x)=sinsinx-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在上的单调性. 20. (1)f(x)=sinsinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x) =sin2x-cos2x- =sin-, 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为. (2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而 当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增, 当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减. 21.(2015·天津,15)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 21. (1)由已知,有 f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x =sin. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f=-,f=-,f=, 所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-. 22.(2015·湖北,17)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值. 22. (1)根据表中已知数据,解得A=5, ω=2,φ=-.数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2π x π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin. (2)由 (1)知f(x)=5sin,得g(x)=5sin. 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=, 解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值. 23.(2014·湖北,17)某实验室一天的温度(单位: ℃)随时间t(单位: h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 23. (1)因为f(t)=10-2=10-2sin, 又0≤t<24,所以≤t+<, -1≤sin≤1. 当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. (2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温. 由 (1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-. 又0≤t<24,因此 故在10时至18时实验室需要降温. 24.(2014·上海,1)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是________. 24. [y=1-2cos2(2x)=1-2×=-cos4x,则最小正周期为.] 考点3三角恒等变换 1.(2016·山东,7)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( ) A.B.πC.D.2π 1.B[∵f(x)=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)=sin2x+cos2x=2sin,∴T=π,故选B.] 2.(2016·全国Ⅱ,9)若cos=,则sin2α=( ) A.B.C.-D.- 2.D[因为sin2α=cos=2cos2-1,又因为cos=, 所以sin2α=2×-1=-,故选D.] 3.(2016·全国Ⅲ,8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( ) A.B.C.-D.- 3.C[设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=BC,DC=BC, tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.] 4.(2015·新课标全国Ⅰ,2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ) A.-B.C.-D. 4.D[sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.] 5.(2014·新课标全国Ⅰ,8)设α∈,β∈,且tanα=,则( ) A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β= 5.C [由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,因此α-β=-α,所以2α-β=,故选C.] 6.(2016·四川,11)cos2-sin2=. 6.[由题可知,cos2-sin2=cos=(二倍角公式).] 7.(2015·四川,12)sin15°+sin75°的值是. 7. [sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(15°+45°)=sin60°=.] 8.(2015·江苏,8)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为________. 8.3 [∵tanα=-2,∴tan(α+β)===,解得tanβ=3.] 9.(2015·山东,16)设f(x)=sinxcosx-cos2. (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 9.解 (1)由题意知f(x)=-=-=sin2x-. 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z; 由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z); 单调递减区间是(k∈Z). (2)由f=sinA-=0,得sinA=, 由题意知A为锐角,所以cosA=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsinA≤. 所以△ABC面积的最大值为. 10.(2014·新课标全国Ⅱ,14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________. 10.1 [f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin(x+φ-φ)=sinx,因为x∈R,所以f(x)的最大值为1.] 11.(2014·江西,16)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈. (1)若a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值. 11.解 (1)f(x)=sin+cos =(sinx+cosx)-sinx =cosx-sinx=sin, 因为x∈[0,π],从而-x∈, 故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1. (2)由得 又θ∈知cosθ≠0,解得 12.(2014·广东,16)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=. (1)求A的值; (2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f. 12.解 (1)f=Asin=,∴A·=,A=. (2)f(θ)+f(-θ)=sin+·sin=, ∴[(sinθ+cosθ)+(-sinθ+cosθ)]=,∴cosθ=,cosθ=, 又θ∈(0,),∴sinθ==,∴f=sin(π-θ)=sinθ=. 13.(2014·江苏,15)已知α∈,sinα=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 13.解 (1)因为a∈,sinα=,所以cosα=-=-. 故sin=sincosα+cossinα=×+×=-. (2)由 (1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-, cos2α=1-2sin2α=1-2×=, 所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-. 考点4解三角形 1.(2014·新课标全国Ⅱ,4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ) A.5B.C.2D.1 1.B [S△ABC=AB·BCsinB=×1×sinB=, ∴sinB=,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1××=5,∴AC=.故选B.] 2.(2016·全国Ⅱ,13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=. 2.[在△ABC中由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.] 3.(2015·福建,12)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于________. 3.7 [S=AB·AC·sinA,∴sinA=,在锐角三角形中A=,由余弦定理得BC==7.] 4.(2015·广东,11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________. 4.1 [因为sinB=且B∈(0,π),所以B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.] 5.(2015·北京,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________. 5.1 [由余弦定理: cosA===, ∴sinA=,cosC===, ∴sinC=,∴==1.] 6.(2015·重庆,13)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=________. 6. [由正弦定理得=,即=,解得sin∠ADB=,∠ADB=45°,从而∠BAD=15°=∠DAC,所以C=180°-120°-30°=30°,AC=2ABcos30°=.] 7.(2015·天津,13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________. 7.8 [∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=, S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,又b-c=2, ∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,∴a=8.] 8.(2014·天津,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________. 8.- [由已知及正弦定理,得2b=3c,因为b-c=a,不妨设b=3,c=2,所以a=4,所以cosA==-.] 9.(2014·江苏,14)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是________. 9. [由正弦定理可得a+b=2c,又cosC===≥=,当且仅当a=b时取等号,所以cosC的最小值是.] 10.(2014·新课标全国Ⅰ,16)已知a,b,c,分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为________. 10. [因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA===,又0 11.(2014·山东,12)
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- 版高三 数学 一轮 复习 第四 三角函数 三角形 试题