高三数学上学期第八次质量检测试题 理.docx
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高三数学上学期第八次质量检测试题理
2017---2018学年度第一学期第八次教学质量检测
高三理科数学试题
第一部分(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集
,集合
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
2.已知
若
为实数,则实数
的值为()
A.2B.
C.
D.
3.已知
且
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
4.若执行下面的程序框图,则输出的
值是()
A.4B.5C.6D.7
5.已知向量
,
,则向量
的夹角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
6.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为2,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.函数
是偶函数的充要条件是()
A.
B.
C.
D.
8.如果实数
满足条件
,那么
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
9.如图,三行三列的方阵中有9个数
(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知定义在
上的
函数
是奇函数且满足
,
,数列
满足
,且
,(其中
为
的前n项和).则
=( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
的图象关于点
对称,且当
时,
成立(其中
是
的导函数),若
则
的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
,若方程
有4个不同的根
且
,则
的取
值范围是()
A.
B.
C.
D.
第二部分(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.)
13.等差数列
的前
项和为
,且
,则公差
等于___________.
14.在
的展开式中,所有项的系数和为
,则
的系数等于.
15.定义运算:
,例如:
,
,则函数
的最大值为________
____.
16.如图所示,点
是抛物线
的焦点,点
,
分别在抛物线
及圆
的实线部分上运动,且
总是平行于
轴,则
的周长的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分
分)
设等差数列
的前
项和为
,若
,且
,
,记
为数列
的前
项和,求
.
18.(本小题满分12分)
如图,已知长方形
中,
,
,
为
的中点.将
沿
折起,使得平面
⊥平面
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若点
是线段
上的一动点,问点
在何位置时,二面角
的余弦值为
.
19.(本小题满分12分)
为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”
冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项:
①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示:
到班级宣传
整理、打包衣物
总计
20人
30人
50人
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(Ⅱ)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用
表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量
的分布列及其数学期望.
20.(本小题满分12分)平面直角坐标系
中,经过椭圆
:
的一个焦点的直线
与
相交于
两点,
为
的中点,且
斜率是
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)直线
分别与椭圆
和圆
:
相切于点
,求
的最大值.
21.(本小题满分14分)
已知
(m,n为常数),在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求
的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若任意
,使得对任意
上
恒有
成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若
有两个不同的零点
,求证:
.
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.
22.(本题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已
知曲线C:
,直线
:
(t为参数,
).
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线
与曲线C交于A、B两点(A在第一象限),当
时,求
的值.
23.(本小题满分
分)选修
:
不等式选讲.
已知
,
,
,且
.
(I)求证:
;
(II)求证:
.
.
长安一中2017---2018学年度第一学期第八次教学质量检测
高三理科数学参考答案
一、选择题:
BDCACAABDACA
二、填空题:
,
,
.
3、解答题:
17.解:
设等差数列
的公差为
,则
.
所以
,
,
.
由
6分
所以
.所以
.
所以
.
18.
(Ⅰ)证明:
∵长方形ABCD中,AB=
,AD=
,M为DC的中点,∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM
=AM
,BM?
平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD?
平面ADM∴AD⊥BM;
(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设
,则平面AMD的一个法向量
,
,设平面AME的一个法向量为
取y=1,得
所以
,
因为
,求得
,所以E为BD的中点.
19.解:
(Ⅰ)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
所以,参与到班级宣传的志愿者被抽中的有
人,
参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有
人,……2分
故“至少有1人是参与班级宣传的
志愿者”的概率是
………4分
(Ⅱ)女生志愿者人数
则
……………9
∴
的分布列为……………10分
0
1
2
∴
的数学期望为
……………12分
20.解:
(1)设
,
,则
,
,
,
,
由此可得
,
,
又由题意知,
的右焦点是
,故
,
因此
,
,所以椭圆
的方程是
;…………(6分)
(2)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点,
,
直线
的方程为:
,代入
得
,判别式
,得
①,
,
直线
与
相切,所以
,即
,再由①得
,
,
,
因为
,当
时取等号,所以
,
因此当
时,
的最大值是1.…………(12分)
21.解:
(Ⅰ)
,由条件可得
及在
处的切线方程为
,得
,所以
,x∈(0,+∞)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在
上单调递减,∴f(x)在
上的最小值为f
(1)=1,故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1,即
对
恒成立,令
,易得m(t)在
单调递减,[1,2]上单调递增,而
∴
∴
,即a的取值范围为
。
(Ⅲ)∵
,不妨设x1>x2>0,∴g(x1)=g(x2)=0,∴
,两式相加相减后作商得:
,要证
,即证明lnx1+lnx2>2,即证:
,需证明
成立,令
,
于是要证明:
,构造函数
,
,故
在(1,+∞)上是增函数,∴
,∴
,故原不等式成立.
22.(Ⅰ)由
,得
,所以曲线C的直角坐标方程为
;
(Ⅱ)【方法一】:
将直线l的参数方程代入
,得
,设
两点对应的参数分别为
,由韦达定理及
得
,故
.
【方法二】:
设
,则
,
,
,
,∴
23.证明:
(I)∵
,
,
,
∴
,
∵
,∴
,
∴
,即
;…………5分
(II)∵
,
,
,
∴
,即
,
∵
,∴
.…………10
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