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第九节命题自然推理
第九节命题自然推理
一、什么是命题自然推理
所谓自然推理,就是从给定的前提出发,运用推理的有效式即根据推理规则进行的推理。
自然推理和公理化推理不同,它不预设公理,只是根据规则,从给定的前提出发得出结论。
这似乎更符合人们日常思维的习惯,因此,称之为自然推理。
自然推理是判定推理形式是否有效的又一种方法,也是指导有效推理的一种方法。
自然推理的基本思想是确定一些推理规则,这些规则具有保真性,也就是说,依据这些规则,从真前提只会推出真结论。
因此,当我们要判定一个推理是否有效时,就要看,从所要判定的推理的前提出发,依据推理规则,能否形式地推出预期的结论。
如果能推出,就说明该推理如果前提真,结论就一定真,因而是有效的;反之,如果推不出,则说明该推理即使前提真,结论也不一定真,因而是无效的。
同时,这些具有保真性的推理规则,也可以指导我们从给定的前提进行有效的推导。
自然推理并不仅用于判定和指导命题推理。
当我们运用它来判定和指导复合命题推理时,就称之为命题自然推理。
二、命题自推理的基本规则
命题自然推理有三条基本规则:
1、前提引入规则。
在推理的任何一步都可以引入一个给定的前提。
我们称这条规则为p规则。
2、重言蕴涵规则。
如果在推理中有一些在先的命题形式,它们的合取重言地蕴涵A,那么,我们在推理中就可以引入命题形式A。
我们称这条规则为T规则。
3、条件证明规则。
如果能从一组前提和A推出B,那么,我们就可以从这组前提推出A→B。
我们称这条规则为C·P规则。
实际上,这三条基本规则涵盖了我们前面学过的所有有效的推理形式。
在下面的实例中我们将进一步说明。
三、命题自然推理的应用
[例1]在一起凶杀案中,侦查人员了解到以下一些情况:
(1)凶手是甲或乙或丙;
(2)只有是盗窃杀人案,甲才是凶手;
(3)如果是盗窃杀人案,那么被害人的财物会丢失;
(4)如果乙是凶手,那么案件发生在中午12点以后;
(5)案件发生在中午12点以前,并且被害人的财物没有丢失。
问:
谁是凶手?
解简单命题用符号表示如下:
p:
甲是凶手
q:
乙是凶手
r:
丙是凶手
s:
本案是盗窃杀人案
t:
被害人的财物丢失
u:
案件发生在中午12点以后
推理如下:
(1){1}p∨q∨r规则p
(2){2}s→p规则p
(3){3}s→t规则p
(4){4}q→u规则p
(5){5}u∧t规则p
(6){5}u规则T用于(5)
(7){4、5}q规则T用于(4)、(6)
(8){5}t规则T用于(5)
(9){3、5}s规则T用于(3)、(8)
(10){2、3、5}p规则T用于
(2)、(9)
(11){2、3、4、5}p∧q规则T用于(7)、(10)
(12){1、2、3、4、5}r规则T用于
(1)、(11)
行(12)表明从前提推出的结论是r,即丙是凶手。
这个推理共有12行。
每一行的引入都遵循了p规则或T规则,因而推理是有效的,从前提得出的结论是合乎逻辑的。
以上的推导格式或序列包括四列数字、符号或文字。
第一列数字表示推导的步骤。
第二列数字表示右边的命题是哪一个前提或依据哪一些前提所推出的结论。
例如,第
(1)行的{1}说明“p∨q∨r”是一个编号为1的前提;第(7)行的{4、5}说明“q”是依据前提4和5所推出的结论;第(12)行的{1、2、3、4、5}说明“r”是依据前提1、2、3、4、5所推出的结论(因为12)行的结论是规则T用于
(1)行和(11)行得出的,所以(12)行的结论便依据
(1)行和(11)行所依据的前提)。
实际上,“r”也是整个推理的结论,因此,它依据所有的前提。
第三列是表示命题的符号公式,它表示从前提到中间结论再到最终结论的推导过程。
第四列的文字说明每一行的推导所依据的规则。
例如,第
(1)行前提“p∨q∨r”的引入是依据规则p,第(7)行“q”的导出是运用规则T于第(4)、(6)行,即因为(q→u)和u的合取重言地蕴涵q。
由此也可看出,规则T的运用要求我们熟练掌握常用的重言蕴涵式和重言等值式。
在以后的推导中,规则p、规则T和规则C·P分别简写为P、T和C·P。
[例2]在一起凶杀案中,公安人员掌握了如下情况:
(1)甲或乙是凶手;
(2)如果甲是凶手,那么作案地点不在办公室;
(3)如果丙的证词真实,则办公室里有枪声;
(4)只有作案地点在办公室,丙的证词才不真实。
公安人员因此得出:
如果办公室里无枪声,那么凶手是乙不是甲。
问:
此推理是否有效?
解:
简单命题用符号表示如下:
p:
甲是凶手
q:
乙是凶手
r:
作案地点在办公室
s:
丙证词真实
t:
办公室里有枪声
判定如下:
(1){1}p∨qp
(2){2}p→rp
(3){3}s→tp
(4){4}r→sp
(5){5}tp
(6){3、5}sT(3)、(5)
(7){3、4、5}rT(4)、(6)
(8){2、3、4、5}pT
(2)、(7)
(9){1、2、3、4、5}qT
(1)、(8)
(10){1、2、3、4、5}p∧qT(8)、(9)
(11){1、2、3、4}t→p∧qC·P(5)、(10)
最后一行是由前提合乎逻辑地推出的结论。
这表明,公安人员的推理有效。
在该推导中,前提1、2、3、4是原推理的前提,前提5是运用规则C·P所引进的前提,它不能作为最后结论所依据的前提。
第(10)进行推导出的“p∧q”依据的是前提1、2、3、4、5:
第(11)行所推导出的“t→p∧q”依据的是前提1、2、3、4,前提5在运用规则C·P时销去了。
由此可知,规则C·P能在推导中销去前提。
[例3]某侦查员掌握了以下情况:
(1)如果A是凶手,则B和C不可能都不是凶手;
(2)如果D不是凶手,则B也不可能是凶手;
(3)或者C不是凶手,或者D是凶手;
(4)只有A是凶手,E才是凶手;
(5)E是凶手。
问:
由这些情况,可推出什么结论?
解:
简单命题用符合表示如下:
p:
A是凶手
q:
B是凶手
r:
C是凶手
s:
D是凶手
t:
E是凶手
推理如下:
(1){1}p→q∨rp
(2){2}s→qp
(3){3}r∨sp
(4){4}p→tp
(5){5}tp
(6){4、5}pT(4)、(5)
(7){1、4、5}q∨rT
(1)、(6)
(8){1、4、5}q→rT(7)
(9){1、2、4、5}s→rT
(2)、(8)
(10){3}s→rT(3)
(11){1、2、3、4、5}sT(9)、(10)
行(11)表明,由前提推出的结论:
s,即D是凶手。
在该推理中,我们可以又一次体会到,运用T规则,必须熟炼地掌握重言蕴涵式和重言等值式。
例如,第(6)行“p”的导出,是依据重言蕴涵式(p→t)∧t→p(否定后件律);第(8)行“q→r”的导出是依据重言等值式“q∨r↔(p→r)”(蕴涵析取律);第(9)行“s→r”的导出是依据了重言蕴涵式“(s→q)∧(q→r)→(s→r)”(连锁蕴涵律)。
第(11)行“s”的导出则是依据了归廖律。
显然,在自然推理中应用基本的重言蕴涵式和重言等值式是推理的核心。
[例4]在一起集团作案中,侦查人员了解到如下一些情况:
(1)甲和乙不同时作案;
(2)如果丙作案,那么乙也作案;
(3)如果丁作案,那么甲也作案;
(4)或者戊和已不同时作案,或者丙作案。
据此,侦查人员做出推断,如果丁和已一同作案,那么戊不会作案。
问:
这一推断正确吗?
解:
简单命题用符号表示如下:
p:
甲作案
q:
乙作案
r:
丙作案
s:
丁作案
t:
戊作案
u:
已作案
判定如下:
(1){1}(p∧q)p
(2){2}r→qp
(3){3}s→pp
(4){4}(t∧u)∨rp
(5){5}s∧up
(6){5}sT(5)
(7){3、5}pT(3)、(6)
(8){1}p∨qT
(1)
(9){1、3、5}qT(7)、(8)
(10){1、2、3、5}rT
(2)、(9)
(11){1、2、3、4、5}(t∧u)T(4)、(10)
(12){1、2、3、4、5}t∨uT(11)
(13){5}uT(5)
(14){1、2、3、4、5}tT(12)、(13)
(15){1、2、3、4}s∧u→tC·P(5)、(14)
所以,侦查人员的推断正确。
第三章词项逻辑
第一节词项
前面讲的命题逻辑所研究的是以命题为基本单位、根据命题间的逻辑关系进行推演的推理。
日常思维中还有许多有效推理,它们的有效性依靠命题逻辑是不能得到证明的,而必须对命题内部的结构作进一步的分析。
例如:
凡国家干部都要奉公守法,
凡检察干部都是国家干部;
所以,凡检察干部都要奉公守法。
这是一个有效的三段论推理。
如果从命题逻辑的角度分析,它的推理形式可表示为:
p∧q→r
用真值表判定可以知道,这个推理式不是重言式,也就是说,在命题逻辑中,它是无效的推理形式。
原因在于:
这种推理的有效性不是依赖于命题之间的关系,而是依赖于命题内部结构中各部分之间的关系。
要分析和判定这类推理的逻辑有效性,就需要我们进一步分析构成复合命题的最小单位——简单命题的内部结构,了解构成简单命题的词项的逻辑特征,研究词项之间的逻辑联系以及由词项所组成的简单命题的逻辑性质。
这就是词项逻辑所要研究的内容。
一、词项和概念的联系与区别
词项是指简单命题的主项或谓项。
[例1]中国是世界上人口最多的国家。
[例2]法院是审判机关。
[例3]以基因工程为代表的生物技术是当代知识经济的制高点。
[例4]张某和李某是同乡。
上面各例都是简单命题,其中划横线的部分都是词项,它们都充当简单命题的主项或谓项。
词项是概念和语词的统一。
概念是词项的思想内容,这种思想内容是以语词为语言表达形式的。
概念是思维对思维对象特有属性的反映。
概念的形成和存在必须依赖于语词,每一概念都是同与它相应的语词一起形成,并用语词把它确定下来、巩固起来和表达出来的。
但是,概念和语词之间并不是一一对应的。
这表现在:
第一,任何概念都必须通过语词来表达,但不是所有的语词都表达概念。
在汉语中,语词分为实词和虚词两大类,实词都是表达概念的,而虚词一般不表达概念。
第二,同一概念可以用不同的语词来表达。
例如“马铃薯”、“土豆”和“洋芋”,“宇宙观”和“世界观”,“诉讼”和“打官司”,其中每一组语词所表达的都是同一概念。
第三,同一语词在不同的语境中可以表达不同的概念。
例如“逻辑”一词,既可以用来表达“客观规律”这个概念,还可以用来表达“逻辑学”这个概念。
表达概念的语词(词或词组),当其充当简单命题的主项或谓项时,就叫做词项。
反言之,不表达概念的语词不是词项,表达概念却未充当简单命题的主项或谓项的语词也不是词项。
概念有两个基本的逻辑特征,即内涵与外延。
概念的内涵是指概念所反映的对象的特有属性,概念的外延是指概念所反映的对象。
例如,“商品”这个概念的内涵是“用来交换的劳动产品”,其外延是“一切投入市场交换的各种类型的劳动产品”。
“法律”这个概念的内涵是“经国家制定或认可的、体现统治阶级意志的、由国家强制力保证执行的行为规范”,其外延是“一切成文法和不成文法”。
词项作为表达概念的语词,也有内涵和外延两个方面。
词项的内涵和外延也就是它所表达的概念的内涵和外延。
同样,下面所讲的词项的种类、词项外延间的关系,也同概念的种类、概念外延间的关系相一致。
二、词项的种类
根据不同的标准可以把词项分为不同的种类。
对于将要学习的有关直言命题及其推理的知识而言,必须搞清楚下述三种关于词项的分类。
1、单独词项和普遍词项
根据词项所指称的对象的数量的不同,可以把词项分为单独词项和普遍词项。
单独词项是指称独一无二的对象的词项。
例如:
“北京”、“长城”、“中华人民共和国司法部”、“一·二五案件”、“2000年元月1日”、“世界最高峰”等等。
普遍词项是指称两个或两个以上对象的词项。
例如:
“《共产党宣言》的作者”、“法院”、“司法干部”、“国家”、“罪犯”、“自然数”、“法律”等等。
2、肯定词项和否定词项
根据词项所指称的对象是否具有某种属性,可以把词项分为肯定词项和否定词项。
肯定词项是指称对象具有某种属性的词项。
例如:
“合法行为”、“审判员”、“成年人”、“健康”、“正常死亡”、“有罪”等等。
否定词项是指称对象不具有某种属性的词项。
例如“非法行为”、“非审判员”、“未成年人”、“不健康”、“非正常死亡”、“无罪”等等。
否定词项都带有“未”、“非”、“不”、“无”等否定词。
否定词项总是相对于某个特定的范围而言的,这个特定的范围,逻辑上称之为论域。
论域实际上是指一个否定词项与其相对应的肯定词项所指称的对象组成的类。
例如,“非法行为”的论域就是非法行为与合法行为组成的类——行为;“未成年人”的论域就是未成年人与成年人组成的类——人。
由此也可以说,一个否定词项的论域恰好是这一否定词项同与其相对应的肯定词项的外延之和。
明确否定词项的论域十分重要,因为只有弄清其论域,才能明确否定词项的内涵与外延,才能避免诡辩。
3、集合词项与非集合词项
根据词项所指称的对象是否为集合体,可以把词项分为集合词项和非集合词项。
在客观事物中,存在着两种不同的联系,一是类和分子的联系,一是集合体和个体的联系。
类的属性,必然为组成它的任一分子所具有;集合体的属性,构成它的任一个体并不必然具有。
例如:
城市是一类事物,北京、伦敦、纽约等是组成它的分子。
城市具有的属性,北京、伦敦、纽约等必然具有。
中国工人阶级是一个集合体,张某、李某、王某等一个个中国工人是组成它的个体。
中国工人阶级具有的属性,构成它的每个中国工人未必具有。
例如,中国工人阶级是大公无私的,而作为它的个体的每一个中国工人则不一定是大公无私的。
集合词项是以集合体为指称对象的词项。
非集合词项是不以集合体为指称对象的词项。
[例1]中国人是勤劳智慧的。
[例2]国有企业一直控制着我国国民经济的命脉。
[例3]我们的干部来自五湖四海。
上例中,“中国人”、“国有企业”、“我们的干部”等词项所指称的对象是集合体,它们都是集合词项。
[例4]我是中国人。
[例5]国有企业是可以破产的。
[例6]我们的干部应当全心全意为人民服务。
上例中,“中国人”、“国有企业”、“我们的干部”等词项所指称的对象是非集合体,它们都是非集合词项。
对比[例1]与[例4]、[例2]与[例5]、[例3]与[例6],我们还可知,同一个语词在不同的命题中,有时是集合词项,有时是非集合词项。
因此,集合词项和非集合词项的判定要依据一定的语境。
在实际使用中,如果搞不清集合词项与非集合词项的区别,就会犯混淆概念的错误。
三、词项外延间的关系
设S和P分别表示两个不同的词项,它们外延之间的关系,可能是下列五种关系之一。
1、全同关系
如果S和P的外延完全重合,即所有的S都是P并且所有的P都是S,那么,S与P之间的关系就是全同关系。
全同关系又叫同一关系。
例如,当S和P分别表示“宪法”与“国家的根本法”或“全国人民代表大会”与“中国最高国家权力机关”时,S与P之间就是全同关系。
S与P之间的全同关系可用图1表示。
图1图2
2、真包含于关系
如果S的合部外延同P的部分外延相相重合,即所有的S都是P并且有P不是S,那么S与P之间的关系就是真包含于关系。
例如,当S和P分别表示“企业法人”与“法人”或“盗窃罪”与“侵犯财产罪”时,S与P之间就是真包含于关系。
S与P之间的真包含于关系可用图2表示。
3、真包含关系
如果S的部分外延同P的全部外延重合,即所有的P都是S并且有S不是P,那么S与P之间的关系就是真包含关系。
例如,当S和P分别表示“违法行为”与“犯罪行为”或“公民”与“年满十八周岁的公民”时,S与P之间就是真包含关系。
S与P之间的真包含关系可用图3表示。
在真包含于关系和真包含关系中,都有一个外延较大的词项和一个外延较小的词项。
外延较大的词项所表达的概念叫做属概念,外延较小的词项所表达的概念叫做种概念。
真包含于关系和真包含关系就相应的可称为种属关系和属种关系。
属概念和种概念的区别是相对的,例如,“大学生”相对于“学生”来说,是种概念,相对于“女大学生”来说,则是属概念。
4、交叉关系
如果S和P的外延仅有一部分重合,即有的S是P,有的S不是P,并且有的P不是S,那么,S与P之间的关系就是交叉关系。
例如,当S和P分别表示“青年人”与“律师”或“盗窃犯”与“杀人犯”时,S与P之间就是交叉关系。
S与P之间的交叉关系可用图4表示。
S
图3图4
5、全异关系
如果S和P的外延没有任何部分重合,即所有的S都不是P,那么,S与P之间的关系就是全异关系。
例如,当S和P分别表示“成年人”与“未成年人”或“侵犯财产罪”与“渎职罪”或“法院”与“律师”时,S与P之间就是全异关系。
S与P之间的全异关系可用图5表示。
图5
具有全异关系的两个词项,有的是属于同一论域的,如“成年人”与“未成年人”、“侵犯财产罪”与“渎职罪”;有的是不属于同一论域的,如“法院”与“律师”。
就同一论域来说,词项的全异关系还可进一步分为矛盾关系和反对关系。
①矛盾关系
如果两个具有全异关系的词项S和P所表达的概念都是Q概念的种概念,并且它们的外延之和等于Q的外延,那么,S与P之间的关系就是矛盾关系。
例如,当S和P分别表示“成年人”与“未成年人”或“有罪”与“无罪”时,它们的外延之和分别等于它们的属概念“人”或“行为”的外延,S与P之间的关系就是矛盾关系。
S与P之间的矛盾关系可用图6表示。
②反对关系
如果两个具有全异关系的词项S和P所表达的概念都是Q概念的种概念,并且它们的外延之和小于Q的外延,那么,S与P之间的关系就是反对关系。
例如,当S和P分别表示“侵犯财产罪”与“渎职罪”或“民法”与“刑法”时,它们的外延之和分别小于它们的属概念,“犯罪”或“法律”,S与P之间的关系就是反对关系。
S与P之间的反对关系可用图7表示。
图6图7
词项外延间的上述五种关系,是任意两个词项之间可能具有的全部关系。
因此,两个具体词项之间的关系必然是这五种关系中的一种,也只能是这五种关系中的一种。
全同关系、真包含于关系、真包含关系和交叉关系有一个共同点,即S与P两个词项至少有一部分外延是重合的,逻辑上把这四种关系又统称为相容关系。
两个词项之间的全异关系是S和P两个词项外延没有任何部分重合的关系,逻辑上又称为不相容关系。
四、定义
1、定义及定义的结构
定义是明确概念内涵的逻辑方法。
[例1]刑法是有关犯罪和刑罚的法律。
[例2]民法是调整平等主体的公民之间、法人之间以及公民和法人之间的财产关系和人身关系的法律规范的总称。
一个完整的定义是由三部分组成的,即被定义项、定义项和定义联项。
被定义项是其内涵有待明确的概念。
如[例1]中的“刑法”和[例2]中的“民法”。
被定义项既可以是关于事物本身的概念,也可以是反映事物的性质和关系的概念,通常用DS来表示。
定义项是用来明确被定义项内涵的概念。
如[例1]中的“关于犯罪和刑罚的法律”和[例2]中的“调整平等主体的公民之间、法人之间以及公民和法人之间的财产关系和人身关系的法律规范的总称”。
定义项既可以是表达事物、性质、关系的词语或符号,也可以是一个语句,通常用DP来表示。
定义联项是联结被定义项和定义项的语词。
在一般情形下,其左方是被定义项,右方是定义项(但法律条文中的定义为了突出被定义项的特点,往往把定义项放在前面,而把被定义项放在后面)。
定义联项通常由“是”、“就是”、“即”、“称为”、“是指”等语词来表达。
定义的公式是:
DS就是DP。
2、定义的种类及下定义的方法
定义通常分为两大类:
真实定义和语词定义。
真实定义直接揭示概念所反映的对象的特有属性,即概念的内涵。
语词定义则是通过揭示表达概念的语词的含义来间接明确概念的内涵的。
(1)真实定义
真实定义也称为本质定义,它是明确概念所反映对象的特有属性的定义。
基本的真实定义方法是属加种差定义,即定义项由被定义项的邻近属概念和种差构成,可用公式表示为:
被定义项=种差+邻近属概念
属加种差定义方法的具体步骤为:
第一找到被定义项邻近的属概念。
第二,找到种差,即可以将被定义项所反映的对象与包含在同一属中其他种事物区别开来的特有属性或本质规定。
第三,用种差限制邻近属概念以构成定义项。
第四,用适当的定义联项将被定义项和定义项联结,形成一个完整的定义。
如我们给“法律”下定义时,首先要找到其邻近属概念“规范”;其次找到其与同属于“规范”的道德、宗教以及风俗习惯等种概念的区别——种差;“由统治阶级制定或认可的,由国家强制力保证实施的,具有普遍约束力的”;然后用“种差+邻近属概念”构成定义项,即“由统治阶级制定或认可的,由国家强制力保证实施的,具有普遍约束力的规范”;最后,用适当的定义联项将被定义项和定义项联结,形成对“法律”的完整定义,即“法律是统治阶级制定或认可的,由国家强制力保证实施的,具有普遍约束力的规范”。
一个概念的属概念往往是多层次的。
用属加种差的定义方法给概念下定义时,要求先找出被定义项的邻近属概念,但“邻近属概念”是相对而言的。
究竟应相选择哪一个作为属概念,要根据下定义时解决问题的实际需要而定。
例如“人”这一概念的属概念有“生物”、“动物”、“脊椎动物”、“哺乳动物”、“灵长目动物”等,而“人是能够制造和使用生产工具的动物”这一定义则是以“动物”作为邻近的属概念,其原因即在于定义所要求的是把人和其它动物区别开来。
由于事物的特有属性或本质属性是多方面的,基于研究的不同需要,人们可以从不同的角度揭示事物的特有属性,因而就可以找出不同的种差。
正是由于种差的多样性,使得用属加种方法做出的定义也是多种多样的。
主要的表现形态有:
①性质定义
种差是被定义项所反映的对象的性质的定义即为性质定义。
前面所举的例子大多为此种定义。
②发生定义
种差是被定义项所反映的对象产生或形成情况的定义即为发生定义。
[例1]结婚是男女双方依照法律规定的条件和程序,缔结夫妻关系的行为。
③功用定义
种差是被定义项所反映的对象的功能作用的定义即为功用定义。
[例2]在共同犯罪中起次要或者辅助作用的,是从犯。
④关系定义
种差是被定义项所反映的对象与另一对象之间的关系,或者它与另一对象对第三者的关系的定义即为关系定义。
[例3]从合同是具有关联性的两个合同中必须以他种合同的存在为前提,而自身不能独立存在的合同。
属加种差的定义方法虽然是常用的给概念下定义的方法,但它也有一定的局限性。
对于最大类概念就不能用这种方法下定义。
这是因为最大类概念由于其外延最广,没有比它外延更广的属概念可言,因此也就不能通过属加种差的方法给其下定义。
此外,用属加种差方法给概念下定义时,往往把定义项中众所周知、显而易见的属概念省略。
[例4]已经着手实行犯罪,由于犯罪分子意志以外的原因而未得逞的,是犯罪未遂。
[例4]是“犯罪未遂”的定义,其中就省略了属概念“行为”。
(2)语词定义
语
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