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轴对称的性质
轴对称的性质
一.选择题(共11小题)
1.篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章.印章的文字刻成凸状的称为“阳文”,刻成凹状的称为“阴文”.如图的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果,此印章是下列选项中的(阴影表示印章中的实体部分,白色表示印章中的镂空部分)( )
A.
B.
C.
D.
2.室内墙壁上挂一平面镜,小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示,则这时的实际时间应是( )
A.3:
40B.8:
20C.3:
20D.4:
20
3.如图,在4×4的正方形网格中,已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形,则该小正方形的位置可以是( )
A.(一,2)B.(二,4)C.(三,2)D.(四,4)
4.一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上,如图所示,一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去,则小球在平面镜中的像是( )
A.以1m/s的速度,做竖直向上运动B.以1m/s的速度,做竖直向下运动
C.以
m/s的速度运动,且运动路线与地面成45°角D.以2m/s的速度,做竖直向下运动
5.如图,是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出,该球最后落入1号袋,经过反射的次数是( )
A.4次B.5次C.6次D.7次
6.如图,在一个规格为6×12(即6×12个小正方形)的球台上,有两个小球A,B.若击打小球A,经过球台边的反弹后,恰好击中小球B,那么小球A击出时,应瞄准球台边上的点( )
A.P1B.P2C.P3D.P4
7.将一条两边沿平行的纸带如图折叠,若∠1=62°,则∠2等于( )
A.62°B.56°C.45°D.30°
8.如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上,若∠BAD=α,则∠ACB的度数为( )
A.45°B.α﹣45°C.
αD.90°﹣
α
9.如图的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
10.如图,在2×2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
11.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D、E在AB上,将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折,点A、B分别落在点A′、B′的位置,再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折,点D与点E恰好重合于点O,则∠A′OB′的度数是( )
A.90°B.120°C.135°D.150°
二.填空题
12.某公路急转弯处设立了一面大镜子,从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示,则该汽车的号码是 .
13.在镜子中看到时钟显示的是,
,则实际时间是 .
14.如图,光线a照射到平面镜CD上,然后在平面镜AB和CD之间来回反射,这时光线的入射角等于反射角,即∠1=∠6,∠5=∠3,∠2=∠4.若已知∠1=55°,∠3=75°,那么∠2等于 度.
15.如图是跳棋盘,其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有棋子.我们约定跳棋游戏的规则是:
把跳棋棋子在棋盘内,沿着棋子对称跳行,跳行一次称为一步.已知点A为己方一枚棋子,欲将棋子A跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最少步数为 步.
16.如图,一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入 号球袋.
17.如图,两平面镜α、β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入射到口上,经两次反射后的出射光线O′B平行于α,则角θ等于 度.
18.如图,在△ABC中,AC=BC.把△ABC沿着AC翻折,点B落在点D处,连接BD.如果∠CBD=10°,则∠BAC的度数为 °.
19.长为30,宽为a的矩形纸片(15<a<30),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为 .
三.解答题(共2小题)
20.对于特殊四边形,通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究,我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形.
定义:
在四边形ABCD中,若AB=AD,BC=CD,我们把这样四边形ABCD称为筝形
性质:
按下列分类用文字语言填写相应的性质:
从对称性看:
筝形是一个轴对称图形,它的对称轴是 ;
从边看:
筝形有两组邻边分别相等;
从角看:
;
从对角线看:
.
判定:
按要求用文字语言填写相应的判定方法,补全图形,并完成方法2的证明.
方法1:
从边看:
运用筝形的定义;
方法2:
从对角线看:
;
如图,四边形ABCD中, .求证:
四边形ABCD是筝形
应用:
如图,探索筝形ABCD的面积公式(直接写出结论).
21.阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;情形二:
如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
(填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为 .
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
参考答案与试题解析
一.选择题(共11小题)
1.【解答】解:
易得“望”字应在左边,字以外的部分为镂空部分,故选D.
2.【解答】解:
根据镜面对称的性质,分析可得题中所显示的时刻与3:
40成轴对称,所以此时实际时刻为3:
40.故选:
A.
3.【解答】解:
如图,把(二,4)位置的S正方形涂黑,
则整个图案构成一个以直线AB为轴的轴对称图形,
故选:
B.
4.【解答】解:
根据镜面对称的性质,在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反,且关于镜面对称,
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度,做竖直向下运动.故选:
B.
5.【解答】解:
如图,共碰到边6次.故选C.
6.【解答】解:
如图,应瞄准球台边上的点是P2.故选:
B.
7.【解答】解:
∵∠1=62°,
∴∠EAB=180°﹣∠1=180°﹣62°=118°,∵AE∥BF,∴∠ABF=∠1=62°,∴∠2=180°﹣2∠ABF=180°﹣2×62°=56°.故选:
B.
8.【解答】解:
如图,连接AB',BB',过A作AE⊥CD于E,
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上,∴AC垂直平分BB',∴AB=AB',∴∠BAC=∠B'AC,
∵AB=AD,∴AD=AB',
又∵AE⊥CD,∴∠DAE=∠B'AE,∴∠CAE=
∠BAD=
,
又∵∠AEB'=∠AOB'=90°,∴四边形AOB'E中,∠EB'O=180°﹣
,
∴∠ACB'=∠EB'O﹣∠COB'=180°﹣
﹣90°=90°﹣
,∴∠ACB=∠ACB'=90°﹣
,
故选:
D.
9.
【解答】解:
如图:
共3个,
故选:
B.
10.
【解答】解:
与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个,
分别为△BCD,△BFH,△ADC,△AEF,△CGH,
故选:
C.
11.
【解答】解:
如图所示:
延长CO到F.
∵AB=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°.
由翻折的性质可知:
∠A′CF=
,
,∠CA′O=∠DA′O=∠A=45°,∠OB′C=∠CB′E=∠ECB=45°.
∴∠A′CB′=∠A′CF+∠B′CF=
=30°.
∴∠A′OB′=∠A′CB′+∠CA′O+∠OB′C=30°+45°+45°=120°.
故选:
B.
二.填空题(共9小题)
12.
【解答】解:
根据镜面对称的性质,题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称,则该汽车的号码是B6395.
13.
【解答】解:
实际时间是16:
25:
08.
14.
【解答】解:
根据题意:
光线的入射角等于反射角,即∠1=∠6=55°,∠5=∠3=75°,
则180°﹣∠2﹣∠4=180°﹣∠6﹣∠5.
即2∠2=130度.
故∠2=65度.
15.
【解答】解:
如图,应瞄准球台边上的点P2.
16.
【解答】解:
如图中红棋子所示,根据规则:
①点A从右边通过3次轴对称后,位于阴影部分内;
②点A从左边通过4次轴对称后,位于阴影部分内.
所以跳行的最少步数为3步.
17.
【解答】解:
如图,该球最后将落入1号球袋.
18.
【解答】解:
∵AO∥β,
∴∠1=∠θ(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠COO′
∴∠θ=∠COO′
同理∠θ=∠CO′O,
∵∠θ+∠COO′+∠CO′O=180°
∴∠θ=60°.
故填60.
19.
【解答】解:
设∠BAC=x.
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=x.
由翻折的性质可知:
∠BAC=∠DAC=x,∠ABC=∠ADC=x,∠CBD=∠CDB=10°.
∵在△ABD中由勾股定理可知:
∠BAC+∠DAC+∠ABC+∠ADC+∠CBD+∠CDB=180°.
∴4x+20°=180°.
解得:
x=40°.
故答案为:
40.
20.
【解答】解:
由题意,可知当15<a<30时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为30﹣a,所以第二次操作时正方形的边长为30﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为30﹣a,2a﹣30.此时,分两种情况:
①如果30﹣a>2a﹣30,即a<20,那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣30.
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形,
∴矩形的宽等于30﹣a,
即2a﹣30=(30﹣a)﹣(2a﹣30),解得a=18;
②如果30﹣a<2a﹣30,即a>20,那么第三次操作时正方形的边长为30﹣a.
则30﹣a=(2a﹣30)﹣(30﹣a),解得a=22.5.
故答案为:
18或22.5.
三.解答题(共2小题)
21.
【解答】解:
性质:
从对称性看:
筝形是轴对称图形,它的对称轴是其中一条对角线所在直线.
从角看:
筝形只有一组对角相等;
从对角线看:
有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分.
判定:
结合性质定理,可得出:
方法二:
从对角线看:
有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分.
结合方法二可知缺少的条件为:
AC垂直平分BD于O点,且AO≠CO.
证明:
按照题意,画出图形1.
∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,CB=CD.
又∵AB=
,BC=
,AO≠CO,
∴AB≠BC,
∴由筝形定义得,四边形ABCD是筝形.
应用:
筝形面积为对角线乘积的一半;
∵S筝形ABCD=S△ABD+S△CBD=
BD•AO+
BD•CO=
BD(AO+CO)=
BD•AC,
∴筝形面积为对角线乘积的一半.
故答案为:
其中一条对角线所在直线;筝形只有一组对角相等;有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分.有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分;AC垂直平分BD于O点,且AO≠CO.
22.
【解答】解:
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是△ABC的好角;
理由如下:
小丽展示的情形二中,如图3,
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,
∴∠B=∠AA1B1;
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,
∴∠A1B1C=∠C;
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理),
∴∠B=2∠C,∠BAC是△ABC的好角.
故答案是:
是;
(2)∠B=3∠C;如图所示,在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角.
证明如下:
∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°,
根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C;
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C;
(3)由
(2)知设∠A=4°,∵∠C是好角,∴∠B=4n°;
∵∠A是好角,∴∠C=m∠B=4mn°,其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180
∴如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
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