第二章整式集体备课.docx
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第二章整式集体备课
第二章整式
2.1整式
(1)--单项式
[教学目标]1、能用代数式表示实际问题中的数量关系;
2、理解单项式、单项式的系数和次数等概念,会指出单项式的次数和系数。
[重点难点]单项式的有关概念是重点;确定一个单项式的负系数和次数是难点。
[教学过程]
一、情景导入
我们来看这样一个问题:
青藏铁路线(西宁至拉萨)上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段,列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时,在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时,请根据这些数据回答下列问题:
(1)列车在冻土地段行驶时,2小时能行驶多少千米?
3小时呢?
t小时呢?
(2)在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的2.1倍,如果通过冻土地段所需要t小时,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗?
(3)在格里木到拉萨路段,列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时,如果通过冻土地段需要u小时,则这段铁路的全长可以怎样表示?
冻土地段与非冻土地段相差多少千米?
我们在小学学过用字母表示数,请你用这种方法回答上面的问题。
(1)2×100=200千米;3×100=300千米;100t.
(2)120×2.1t+100t(千米);
(3)[100u+120(u-0.5)]千米;[100u-120(u-0.5)]千米。
这样,上述三个问题中的数量关系我们都可以用字母表示,不仅如此,我们还可以将这样的式子进行加减运算,即整式的加减。
二、单项式及有关概念
1、用含字母的式子表示数量关系
下面我们再来看几个用含有字母的式子表示数量关系的问题。
用含有字母的式子填空:
(1)边长为a的正方体的表面积为;体积为。
(2)铅笔的单价是x元,圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍,圆珠笔的单价是元。
(3)一辆汽车的速度是v千米/时,它t小时行驶的路程为千米。
(4)数n的相反数是.
答:
(1)6a2,a2;
(2)2.5x;;(3)vt;(4)-n.
2.单项式
观察上面各式中的运算有什么共同的特点?
它们都是数与字母相乘。
像上面这些式子这样,只含有数与字母积的式子叫做单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
如-2,a。
3、系数和次数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
100t的系数是100,vt的系数是1,-n的系数是-1。
注意:
单项式的系数通常写在字母的前面,并把乘号省略。
一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
例如,100t的次数是1,6a2的次数是2,-3xy2的次数是3。
注意:
单个数的次数是0。
想一想:
-2/3x,6a2b,1/2xy2的系数和次数分别是多少?
三、例题
例1用单项式填空,并指出它们的系数和次数。
(1)每包书有12册,n包书有〔〕册;
(2)底边长为a,高为h的三角形的面积是〔〕;
(3)个长方体的长和宽都是a,高是h,它的体积是〔〕;
(4)一台电视机原价a元,现按原价的9折出售,这台电视机现在的售价为〔〕元;
(5)一个长方形的长为0.9,宽是a,这个长形的面积是〔〕。
解:
(1)12n,它的系数是12,次数是1;
(2)1/2ah,它的系数是1/2,次数是2;
(3)a2h,它的系数是1,次数是3;
(4)0.9a它的系数是0.9,次数是1;
(5)0.9a它的系数是0.9,次数是1.
注意:
①用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的含义;②单个字母的系数是1,次数也是1,通常省略不写。
你能赋予0.9a一个含义吗?
四、课堂练习
课本57面1题。
五、课堂小结
1、单项式的定义;
2、单项式的系数和次数;
3、注意的问题:
(1)单个数的次数为0;单个字母的次数和指数都是1,通常省略不写;
(2)一个单项式可以表示不同的含义。
作业:
59面第1题
2.1整式
(2)--多项式
[教学目标]1、理解多项式、整式的概念,会确定一个多项式的项数和次数;
2、通过实例列整式,解决一些简单的实际问题。
[重点难点]多项式以及有关概念是重点;确定多项式的项和次数是难点。
[教学过程]
一、复习提问
看下面的式子:
5、-3ab2c/7、a2-4b2、m,其中哪些是单项式?
是单项式的指出它的系数和次数。
a2-4b2不是单项式,是什么式子呢?
二、多项式及有关概念
看下面的问题,请填空:
(1)一个数比数x的2倍小3,则这个数为;
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,买3个篮球、5个排球、2个足球共需元;
(3)如图1所示,三角尺的‘面积;
a
b
r
图1
xm
4m
3m
2m
3m
xm
2m
xm
图2
(4)如图2所示,是一所住宅的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是
平方米。
(1)2x-3;
(2)3x+5y+2z;(3)1/2ab-r2;(4)x2+2x+18.
这些式子是不是单项式?
它们有什么共同的特点?
不是单项式;它们都是几个单项式的和。
几个单项式的和叫做多项式,其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
如2x-3的项是2x和-3,其中-3是常数项。
多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
如2x-3的次数是1,x2+2x+18的次数是2。
说明:
多项式的各项应包括它前面的符号,比如2x-3中的常数项是-3,不是3.多项式没有系数概念,但其每一项均有系数,且每一项的系数应包括自己的符号。
多项式的次数与单项式的次数概念不同,但又有联系,首先求出此多项式各项(单项式)的次数,次数最高的就是这个多项式的次数。
单项式和多项式统称为整式。
例如100t,vt,-n,2x-3,3x+5y+2z等都是整式。
三、例题
例1用多项式填空,并指出它们的项和次数。
(1)温度由t℃下降5℃后是;
(2)甲数x的1/3与乙数y的1/2的差可以表示为;
(3)如图1,圆环的面积为;
(4)如图2,钢管的体积是.
r
R
图1
a
r
R
图2
解:
(1)t-5,它的项是t、-5,次数是1;
(2)
x-
y,它的项是
x、-
y,次数是1
(3)πR2-πr2,它的项是πR2、-πr2,次数是2。
(4)πR2a-πr2a,它的项是πR2a、-πr2a,次数是3。
例2一条河流水流速度为2.5千米/时,如果已知船在静水中的速度,那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?
如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时,则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少?
分析:
船在顺水中的速度是什么?
船在逆水中的速度是什么?
顺水中的速度=静水中的速度+水流的速度;
逆水中的速度=静水中的速度-水流的速度。
解:
设船在静水中的速度为v千米/时,则
顺水行驶的速度为(v+2.5)千米/时;
逆水行驶的速度为(v-2.5)千米/时。
甲船:
顺水行驶的速度为v+2.5=20+2.5=22.5,
逆水行驶的速度为v-2.5=20-2.5=17.5;
乙船:
顺水行驶的速度为v+2.5=35+2.5=37.5,
逆水行驶的速度为v-2.5=35-2.5=32.5。
解后反思:
用整式表示实际问题中的数量关系,然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算,从而可求出相应的值,它比具体的数表达的式子更具有一般性,这给实际问题的解决带来方便。
四、课堂练习
课本58-59面1、2题。
五、课堂收获
1、多项式的概念;
2、多项式的项和次数。
作业:
课本59页第2,3题
2.2整式的加减
(1)
[教学目标]1、了解同类项、合并同类项的概念;
2、经历类比有理数的运算律,探究合并同类项法则的过程;
3、掌握合并同类项法则,能正确合并同类项。
[重点难点]掌握合并同类项法则,熟练地合并同类项是重点;同类项的概念及识别是难点。
[教学过程]
一、情景导入
我们来看本章引言中的问题
(2):
在西宁到拉萨路段,如果列车通过冻土地段的时间是t小时,那么它通过非冻土地段所需要时间是2.1t小时,则这段铁路的全长是
120×1.2t+100t即252t+100t.
你能类比数的运算,化简这个式子吗?
二、同类项的概念
化简得:
252t+100t=(252+100)t=352t.
〔投影2〕填空:
(1)100t-252t=t;
(2)3x2+2x2=x2;
(3)3ab2-4ab2=ab2.
答:
(1)-152t;
(2)5x2;(3)-ab2.
上述多项式的各项有什么特点?
每项所含字母相同,相同字母的指数相同。
像100t与252t,3x2与2x2,3ab2与4ab2这样,所含字母相同,相同字母的指数相同的项叫做同类项。
从形式上看这些项:
“两有关”:
①与所含字母有关(有相同的字母);
②与相同字母的指数有关(相同字母指数相同);
“两无关”:
①与单项式的系数无关;②与字母的顺序无关。
注意:
几个常数也是同类项,如-5与3。
想一想:
下列各组式子是不是同类项,为什么?
(1)0.5x2y与0.2xy2;
(2)4abc与4ab;(3)-5m2n3与2n3m2.
三、合并同类项
因为多项式中的字母表示的是数,我们把字母部分看作一个整体,就相当于一个数,所以我们可以利用有理数的运算律把多项式中的同类项进行合并。
例如:
4x2+2x+7+3x-8x2-2(分别利用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。
得到的最后结果可以按字母的升幂排列也可以按字母的降幂排列。
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
那么怎样把同类项合并呢?
观察填空
(1)~(3),它们的运算有什么共同特点?
它们都是把系数相加,字母和字母的指数不变。
合并同类项法则:
合并同类项就是把系数相加,字母和字母的指数不变。
注意:
多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。
四、例题
例1合并下列各式的同类项:
(1)xy2-1/5xy2;
(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;
(3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2;
分析:
①指出多项式中的同类项;②合并同类项的结果是什么?
解:
(1)xy2-1/5xy2=(1-1/5)xy2;
(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2
=(-3+2)x2y+(3-2)xy2
=-x2y+xy2;
(3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2
=(4-4)a2+(3-4)b2+2ab
=-b2+2ab.
例2
(1)水库中水位第一天连续下降了a小时,每小时平均下降2㎝;第二天连续上升了a小时,每小时平均上升0.5㎝,这两天水位总的变化情况如何?
(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x千克.上午卖出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋,进货后这个商店有大米多少千克?
分析:
(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正。
那么第一天的水位变化是什么?
第二天的水位变化量是什么?
(2)把进货的数量记为正,售出的数量记为负。
那么上午卖出多少千克?
下午购进多少千克?
解:
(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正,则两天水位变化的总量为:
-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a(㎝).
(2)把进货的数量记为正,售出的数量记为负,则
进货后这个商店共有大米:
5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x(千克).
五、课堂练习
课本65面1、2、3,4题。
六、课堂小结
1、什么是同类项?
字母相同,次数也相同的项是同类项吗?
举例说明.
2、什么叫合并同类项?
怎样合并同类项?
合并同类项的依据是什么?
作业:
课本69面1题,70页第8题。
2.2整式的加减
(2)
〔教学目标〕1、理解去括号就是运用乘法分配律的结果;
2、能运用乘法分配律去括号和合并同类项化简整式。
[重点难点]运用乘法分配律去括号和合并同类项化简整式是重点;括号前面是负号时去括号是难点。
[教学过程]
一、问题导入
利用合并同类项可以把一个多项式化简,而实际问题中,列出的式子往往含有括号。
如本章引言中的问题(3)。
在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段需要t小时,那么它通过非冻土地段的时间就是(t-0.5)小时,于是,冻土地段的路程为100t千米,非冻土地段的路程为120(t-0.5)千米,因此,这段铁路的全长为
100t+120(t-0.5)(千米)①
冻土地段与非冻土地段相差
100t-120(t-0.5)(千米)②
象①、②这样的式子怎样化简呢?
二、去括号
化简上面的式子,关键是把括号去掉。
类比数的运算,怎样才能去掉括号呢?
运用乘法分配律:
100t+120(t-0.5)=100t+120t-60;
100t-120(t-0.5)=100t-120t+60.
这样我们就可以进一步化简了。
特别地,+(x-3)与—(x-3)可以看作1与-1分别乘以(x-3),所以
+(x-3)=x-3;—(x-3=-x+3.
思考:
去括号后,括号内各项的符号有什么变化?
原有的项数有什么变化?
去括号后,如果括号外面的因数是正数,括号内各项的符号没有变化;如果括号外面的因数是负数,括号内各项的符号都改变.括号内的项数不变。
三、例题
例1化简下列各式:
(1)8a+2b+(5a-b);
(2)(5a-3b)-3(a2-2b);
(3)2x2-5x+x2+4x-3x2-2.
解:
(1)8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b;
(2)(5a-3b)-3(a2-2b)=5a-3b-3a2+6b=-3a2+5a+3b.
(3)2x2-5x+x2+4x-3x2-2
=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2
=-x-2.
例2两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.
(1)2小时后两船相距多远?
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
分析:
甲顺水的行程是多少?
乙逆水的行程是多少?
解:
(1)2小时后两船相距
2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(千米)
(2)2小时后甲船比乙船多航行
2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(千米)
四、课堂练习
课本67面1、2题。
五、课堂小结
1、怎样去括号?
2、去括号要注意的问题:
作业:
课本70面2题.
2.2整式的加减(3)
〔教学目标〕会进行整式的加减运算,能利用整式的运算解决一些实际问题。
[重点难点]整式的加减运算及在实际问题中的应用是重点;
整式的加减在实际问题中的应用是难点。
[教学过程]
一、复习提问
1、多项式中什么项可以合并?
怎样合并同类项?
2、怎样去括号?
合并同类项、去括号是进行整式加减运算的基础。
二、例题
例1计算:
(1)2x-3y与5x+4y的和;
(2)8a-7b与4a-5b的差.
分析:
2x-3y与5x+4y的和怎样列式?
8a-7b与4a-5b的差怎样列式?
解:
(1)(2x-3y)+(5x+4y)
=2x-3y+5x+4y
=7x+y;
(2)(8a-7b)-(4a-5b)
=8a-7b-4a+5b).
例2求1/2x-2(x-1/3y2)+(-3/2x+1/3y2)的值,其中x=-2,y=2/3.
分析:
求多项式的值,先化简,可使计算简便.
解:
1/2x-2(x-1/3y2)+(-3/2x+1/3y2)
=1/2x-2x+2/3y2-3/2x+1/3y2
=-3x+y2
当x=-2,y=2/3时
原式=-3x+y2=-3×(-2)+(2/3)2=6+4/9=58/9.
例3做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:
cm):
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米?
分析:
大纸盒的表面积是多少?
小纸盒的表面积是多少?
解:
(1)做这两个纸盒共用料
(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca(㎝2).
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca(㎝2).
三、课堂练习
课本69面1、2、3。
补充题:
一种笔记本的单价是x元,圆珠笔的单价是y元,小红买这种笔记本3个,买圆珠笔2支;小明买这种笔记本4个,买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明一共花费多少钱?
四、课堂小结
1、整式的运算是建立在数的基础上的,因此,数的运算性质在整式运算中仍适用。
2、整式的运算在实际生活中的应用,要仔细审题,抓住数量关系,准确地用字母表示。
作业:
课本70面3,4题。
第二章整式小结
一、本章知识结构
合并同类项
整式加减运算
去括号
整式
单项式
多项式
列式表示数量关系
用字母表示数
二回顾与思考
1、什么是单项式、多项式、整式?
它们之间有什么关系?
[1]试判断下列各式:
2/a,a/3,1/(x+y),(x-3y)/2,0,1/2x2+3xy2-1,-5a2b,-x
哪些是单项式?
哪些是多项式?
哪些是整式?
2、什么叫做单项式的系数、次数?
什么叫做多项式的项、次数?
[2]指出[1]中单项式的系数和次数;多项式的项和次数。
3、什么叫做同类项?
怎样合并同类项?
[3]下列各组式子中哪些是同类项?
如果是同类项,合并的结果是什么?
(1)-2ab与-2ba2;
(2)2a2b与2ab2;(3)-1/3ab2与2b2a。
4、怎样去括号?
[4]化简:
3(x+y)-2(x-y).
解:
3(x+y)-2(x-y)=3x+3y-2x+2y)=x+5y。
三、例题导引
例1计算:
(1)3(xy2-x2y)-2(xy+xy2)+3x2y;
(2)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)].
解:
(1)3(xy2-x2y)-2(xy+xy2)+3x2y
=3xy2-3x2y-2xy-2xy2+3x2y
=xy2-2xy。
(2)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)]
=5a2-(a2+5a2-2a-2a2+6a)
=5a2-4a2-4a
=a2-4-4aa.
例2用式子表示十位上的数是a,个位上的数是b的两位数,再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置,计算所得的数与原数的和,这个数能被11整除吗?
解:
原数为10a+b,新数为a+10b,和为
(10a+b)+(a+10b)=10a+b+a+10b=11a+11b=11(a+b)。
所以这个数能被11整除。
作业:
74面复习题2:
1~5题
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