版高中全程复习方略课时提能训练71平面空间两条直线的位置关系苏教版数学文.docx
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版高中全程复习方略课时提能训练71平面空间两条直线的位置关系苏教版数学文
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课时提能演练(四十二)
(45分钟100分)
一、填空题(每小题5分,共40分)
1.(2012·扬州模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连结正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对.
2.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
3.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.以下四个结论:
①直线AM与直线C1C相交;
②直线AM与直线BN平行;
③直线AM与直线DD1异面;
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论的序号为__________.(注:
把你认为正确的结论序号都填上)
4.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是___________.
5.以下命题中,正确命题的序号是___________.
①有三个角是直角的四边形一定是矩形
②不共面的四点可以确定四个平面
③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线
④若点A、B、C∈平面M,且点A、B、C∈平面N,则平面M与平面N重合
⑤若l1,l2,l3是空间三条不同的直线,且l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3共面
⑥若l1,l2,l3是空间三条不同的直线,且l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面
6.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图是___________.(填序号)
7.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成角的大小是________.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
其中正确的序号是__________.
二、解答题(每小题15分,共45分)
9.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K.
求证:
M、N、K三点共线.
10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1A,C1C的中点,求证:
四边形EBFD1是菱形.
11.如图所示,四棱锥A—BCED中,AC⊥底面BCED,底面BCED为直角梯形,BD∥EC,∠ECB=∠DBC=90°,BD=1,BC=AC=EC=4.
求异面直线DE与AB所成角的余弦值.
【探究创新】
(15分)求证:
两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.
答案解析
1.【解析】正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有
对(每一对被计算两次,所以记好要除以2).
答案:
24
2.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a
α,
∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P
a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
答案:
③④
【误区警示】解答本题时常因考虑不到一些特殊情况而导致错误.
3.【解析】结合图形可得直线AM与直线C1C、BN是异面直线,故①、②错误;由异面直线的定义可得③、④正确.
答案:
③④
4.【解析】画出图形分析.
图①中,AB、CD与异面直线a、b都相交,此时AB、CD异面;
图②中,AB、AC与异面直线a、b都相交,此时AB、AC相交.
答案:
异面或相交
5.【解析】如图
(1),平面α内∠ABC为直角,P
α,过P作PD⊥AB,PE⊥BC,则四边形PDBE有三个直角,故①错误;在图
(2)的平面α内,四边形ABCD中任意三点不共线,知③错误;图(3)中,M∩N=l,A、B、C都在l上,知④错误,对于⑤:
空间中三条互相平行的直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于⑥:
空间中共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.只有②正确.
答案:
②
6.【解析】在
(1)图中分别连结PS,QR,
易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;
在(3)图中分别连结PQ,RS,
易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.
如图,在
(2)图中过P,Q,R,S可作一正六边形,
故四点共面;
(4)图中PS与QR为异面直线,∴四点不共面.
答案:
(1)
(2)(3)
【误区警示】对于截面问题,常因不能准确确定平面的交线而出错.
7.【解析】连结AB1,易知AB1∥EF,连结B1C交BC1于点G,取AC的中点H,连结GH,则GH∥AB1∥EF.故∠HGB(或其补角)为EF与BC1所成的角,设AB=BC=AA1=a,连结HB,在三角形GHB中,易知GH=HB=GB=
故两直线所成的角为∠HGB=
60°.
答案:
60°
8.【解题指南】将平面图形还原为空间图形,然后逐一进行判断.
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示,
则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案:
①③
【变式备选】(2011·杭州模拟)已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的序号是__________(写出所有正确结论的序号).
【解析】①、②、④对应的情况如下:
用反证法可证明③不可能.
答案:
①②④
9.【证明】
⇒M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上,即M、N、K三点共线.
【变式备选】如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为正方形BCC1B1的中心.
(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);
(2)求PQ的长.
【解析】
(1)由ON∥AD知,AD与ON确定一个平面α.
又O,C,M三点确定一个平面β(如图所示).平面α、β及面ABCD两两相交.
延长CM,DA交于点Q,连结OQ交AN于点P.
则直线OPQ即为所求作的直线.
(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC,得AQ=CB=1,
又∵△OPN∽△QPA,ON=
BC=
AQ.
∴PN∶PA=1∶2.
解Rt△APQ可得PQ=
.
10.【证明】如图所示,取B1B的中点G,
连结GC1,EG,
∵GB∥C1F,且GB=C1F
∴四边形C1FBG是平行四边形,
∴FB∥C1G,且FB=C1G,
∵D1C1∥EG,且D1C1=EG,
∴四边形D1C1GE为平行四边形.
∴GC1∥D1E,且GC1=D1E,
∴FB∥D1E,且FB=D1E,
∴四边形EBFD1为平行四边形.
又∵FB=FD1,∴四边形EBFD1为菱形.
【误区警示】解答本题时,常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明,如证得BE=ED1=D1F=FB后即下结论得到菱形.
11.【解析】过点B作BF∥ED交EC于F,连结AF,
则∠FBA(或其补角)即为异面直线DE与AB所成角,
在△BAF中,AB=
,
BF=AF=
=5,
由余弦定理得
cos∠ABF=
;
即异面直线DE与AB所成角的余弦值为
.
【探究创新】
【证明】
(1)若a、b、c三线共点P,但点P
d,由d和P点可确定一个平面α.
设a∩d=A,∴点A∈α,∴直线a⊂α.
同理可证:
b、c⊂α,∴a、b、c、d共面.
(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点.
∵a∩b=Q,∴a与b可确定一个平面β.
又c∩b=E,∴E∈β.同理c∩a=F,∴F∈β.
∴直线c上有两点E、F在β上,∴c⊂β.
同理可证:
d⊂β,故a、b、c、d共面.
由
(1)
(2)知:
两两相交且不过同一点的四条直线必共面.
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