厦门市高三质量检查测试03.docx
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厦门市高三质量检查测试03
2009年厦门市高三质量检查测试三
数学(理科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
满分为150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上;
2.答题要求,见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k
球的表面积公式:
S=4πR2,其中R表示球的半径.
球的体积公式:
V=
πR3,其中R表示球的半径.
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
则
等于()
A.
B.{2,4}C.{(2,4),(4,16)}D.{4,16}
2.下列函数中,值域是
的是()
A.
B.
C.
D.
3.用反证法证明命题:
“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被
5整除”时,假设的内容应为()
A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除
4.下列函数既是奇函数,又在区间
上单调递减的是()
A
B.
C.
D.
5.设
则()
A.
B.
C.
D.
6.“
”是“
或
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.若关于x的方程
至少有一个负根,则()
A.
B.
C.
D.
或
8.函数y=x+cosx的大致图象是()
ABCD
9.定义在R上的偶函数
满足
,且在[-3,-2]上是减函数,
是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是()
A.
B.
C.
D.
10.已知
是定义在R上的单调函数,实数
,
,若
,则()
A.
B.
C.
D.
11.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
关于上述样本的下列结论中,正确的是()
A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样
12.以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率p为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.
13.已知(1+
)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,a3=
,则a1+a2+…+an=_______.
14.平面上向量
绕点
逆时针方向旋转
得向量
,且
(7,9),则向量
____________ .
15.直角三角形ABC中,AD是斜边BC上的中线,若AB,AD,AC成等比数列,则∠ADC等于.
16.等比数列{an}的首项为a1=100,公比q=
,设f(n)表示这个数列的前n项的积,则
当n=时,f(n)有最大值.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17.(12分)已知sin(
+3)sin(
-3)=
,∈(0,
),求(
-
)sin4α的值.
18.(12分)在斜三棱柱ABC-ABC中,底面△ABC为正三角形,设AA:
AC=.顶点A在底面ABC上的射影O是△ABC的中心,P为侧棱CC中点,G为△PAB的重心.
(Ⅰ)求证:
OG∥平面AABB;
(Ⅱ)当=
时,求证:
平面ABP平面BBCC;
(Ⅲ)当=1时,求二面角C-AB-P的大小.
19.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,且在x=1处取得极值,直线y=2x+3到曲线y=f(x)在原点处的切线所成的夹角为450.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β恒有不等式|f(2sinα)―f(2sinβ)|≤m成立,求m的最小值
(3)若g(x)=xf(x)+tx2+kx+s,是否存在常数t和k,使得对于任意实数s,g(x)在[-3,―2]上递减,而在[-1,0]上递增,且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1,x0]上递减?
若存在,求出t+k的取值范围;若不存在,则说明理由.
20.(12分)“建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”(全国人大、政协)的主要议题.某公司为了响应党中央的号召,决定投资创新科技的研发,经调查有两个可投资意向的项目:
A项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目,每年需要研发的经费5a万元,若能申请国家扶持成功,则在近三年内每年可得到国家的研发经费a万元,在研发的第n年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列,2010年后将失去研发价值,若能研发成功在2026年以前(包括2026年)每年(从研发成功的第二年起)将获得经济效益10a万元;B项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目,每年需要研发的经费2a万元,在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列,估计3年后将失去研发价值,若能研发成功在2015年(包括2015年)以前每年(从研发成功的第二年起)将获得经济效益3a万元.并且项目研发上马后就不会在中途停止研发,直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A项目实力的公司准备在2006年投资研发A项目,若在某一年有几个公司同时研发成功,则以后A项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分.请你帮助该公司作出决策:
在2006年应该投资研发哪一个项目?
并说明你的理由.
21.(12分)在直角坐标平面中,ΔABC的两个顶点AB的坐标分别为A(―
a,0),B(
a,0)(a>0),两动点M,N满足
+
+
=0,|
|=
|
|=
|
|,向量
与
共线.
(1)求ΔABC的顶点C的轨迹方程;
(2)若过点P(0,a)的直线与
(1)轨迹相交于E、F两点,求
·
的取值范围;
(3)若G(―a,0),H(2a,0),Q点为C点轨迹在第一象限内的任意一点,则是否存在常数λ(λ>0),使得∠QHG=λ∠QGH恒成立?
若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
22.(14分)在直角坐标平面中,过点A1(1,0)作函数f(x)=x2(x>0)的切线l1,其切点为B1(x1,y1);过点A2(x1,0)作函数g(x)=ex(x>0)的切线l2,其切点为B2(x2,y2);过点A3(x2,0)作函数f(x)=x2(x>0)的切线l3,其切点为B3(x3,y3);如此下去,即过点A2k―2(x2k―2,0)作函数f(x)=x2(x>0)的切线l2k―1,其切点为B2k―1(x2k―1,y2k―1);过点A2k―1(x2k―1,0)作函数g(x)=ex(x>0)的切线l2k,其切点为B2k(x2k,y2k);….
(1)探索x2k―2与x2k―1的关系,说明你的理由,并求x1的值;
(2)探索x2k―1与x2k的关系,说明你的理由,并求x2的值;
(3)求数列{xn}通项公式xn;
(4)是否存在实t,使得对于任意的自然数n和任意的实数x,不等式
+
+
+…+
≤3tx4―4tx3―12tx2+33t―
恒成立?
若存在,求出这样的实数t的取值范围;若不存在,则说明理由.
2009年厦门市高三质量检查测试三
数学试题参考答案及评分标准(理科数学)
一、选择题:
(本大题12个小题,每小题5分,共60分)
1-6ACBDCB7-12ABDADA
二、填空题:
(本大题4个小题,每小题4分,共16分)
13.
.14.(-
,
).15.
或
.16.7.
三、解答题:
(本大题6个小题,共74分)
17.(12分)
解:
,
即
,又6∈(0,
),∴
,即
.
∴(
-
)sin4α=
.
变式题:
已知(1+tan2α)(1+tan25)=2,α∈(0,
),求(
-
)sin4α的值.
命题意图:
本题主要考查三角函数的恒等变形.包含了和差角、倍角的运算,已知三角函数值求角,诱导公式,辅助角公式,要求学生对三角函数的变形方向有综合的理解.
18.(12分)
(Ⅰ)证明:
分别取AB,AB的中点D,D,连CD,PD,
∵O为△ABC的中心,G为△PAB的重心,
∴O∈CD,G∈PD,且CO∶OD=PG:
GD=2∶1.
∵AABB为□,AD=DB,AD=DB,∴DD∥AA,
又∵AA∥CC,∴DD∥CC,即DD∥CP.
又CO∶OD=PG∶GD=2∶1,∴OG∥DD,
∵OG
平面AABB,DD平面AABB.
∴OG∥平面AABB.
(Ⅱ)证明一:
当=
时,不妨设AA=2
,AC=2,由点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心,连AO并延长交BC于点E,则E为BC的中点,取BC的中点E,连EE,AA∥EE∥CC.∵AO平面ABC,∴AOBC.∵O为△ABC中心,∴AEBC.∴BC平面AAEE.设PB∩EE=Q,∴BCAQ,且EQ=
CP=
AA=
.∵AO=
AC
=
.AA=2
,∴cosAAO=
=
,∴cosAEE=
.在△AEQ中,AE=
,EQ=
,
cosAEE=
,∴AQ2=AE2+EQ2-2AEEQcosAEE=
.∵AQ2+EQ2=AE2,
∴AQQE,∵QE与BC相交,∴AQ平面BBCC,∵AQ平面ABP,∴平面ABP平面BBCC.
证明二:
当=
时,不妨设AA=2
,AC=2,
由点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心,连AO并延长交BC于点E,则E为BC的中点,取BC的中点E,连EE,AA∥EE∥CC.∵AO平面ABC,∴AOBC.∵O为△ABC中心,∴AEBC.∴BC平面AAEE.设PB∩EE=Q,则Q为PB中点.
∵在□AACC中,AA=AC=2
,AC=2,
∴cosACP=
,
在△ACP中,AC=2,CP=
,cosACP=
,
∴AP=
=2,
∴AB=AP,∵Q为BP中点,连AQ,则AQBP,
∵BC平面AAEE,∴BCAQ,∴AQ平面BCCB.
∵AQ平面ABP,∴平面ABP平面BBCC.
(Ⅲ)解法一:
当=1时,不妨设AA=AC=2,∵点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心,∴AA=AB=AC.∴△ABC为等边三角形,取
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