二类曲线与曲面积分.docx
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二类曲线与曲面积分
b5E2RGbCAP
第十章第二类曲线与曲面积分
§1.1第二类曲线与曲面积分网络图
概念
f第二类曲线.积分s性质
〔计算
曲线积分与路径无关性
{
概念
性质
计算
{
格林公式
高斯公式
斯托克斯公式
功
应用s环流量
」流量
散度
场论Y
-旋度
§1.2内容提要与释疑解难
一、第二类曲线积分
定义若矢量函数Ax,y,z^'px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z{与曲线-AB上点(x,y,z>处切线地
-0
一「0
单位矢量
T=Sos〉,cos:
cos“且T地方向-ab指定地方向一致>地点乘积在-ab上地第一类
曲线积分
JG(AT0ds.p1EanqFDPw
存在该积分值称为Ax,y,z沿曲线〔从A到B地第二类曲线积分.
"AT0ds地物理意义是:
当流体流速为A沿闭合曲线-指定地方向通过地环流量
具有第一类曲线积分地性质.DXDiTa9E3d
由定义容易得到下面两个性质
性质1軒AT°ds=—.-baAT0ds
注:
等式左右两边地T0正好相差一个符号.
性质2若有向曲线:
AB是由有向曲线-AC,-CB首尾相接而成,则
ABAT0ds二ACaT0dsCBAT0ds.
记ds二T°ds='cos:
cos:
cos」ds二"dx,dy,dz:
注:
cos^ds=.\x=dx是ds在x轴上地有向投影,当〉为锐角,dx.0,当〉为钝角,dx:
:
:
0,:
•二亍,dx=0,而dy,dz是ds分别在y轴,z轴上地有向投影,从而第二类曲线积分五种形式之一出现:
RTCrpUDGiT
I'AT0ds二.Pcost11Qcos:
Rcosds
'-AB'-AB
=AdsPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz
-AB-AB
=P(x,y,z)dx+JQ(x,y,zdy十JR(x,y,z)dz.
-AB-AB-AB
而常常以形式.Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz出现地较多,如果是直接计算,不论
*-AB
是给哪一种形式出现,都需化成.Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz地形式<最后一种形式
'AB
和上面形式实际上是相同地)5PCzVD7HxA
X=X(t)
若曲线「AB」y=y(t),为光滑曲线且起点a对应地参数为tA,终点b对应地参数为tB,则
&=z(t)
.Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz
-AB
二Pxt,yt,ztxtQxt,yt,ztytRxt,yt,ztztdt.
tA
必须注意,公式中地tA,tB一定要与曲线地起点A终点B相对应.即化成t函数地定积分时,积分
地下限必须是起点A对应地参数,积分地上限必须是终点B对应地参数,至于上下限谁大谁小不受限
制,这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时,下限一定小于上限地限制是不同地.jLBHrnAILg
而平面上地第二类曲线积分,是空间第二类曲线积分地特殊情况,这是,r=?
■,P二PX,y,Q二Qx,y,即为.Px,ydxQx,ydy.
-PdxQdy二
1D
格林vGreen)公式若函数Px,y,Qx,y在有界闭区域D上具有连续地一阶偏导数,则
—dxdy,这里F为区域D地边界曲线,并取正向.XHAQX74J0X,汰勿丿
dxdy.
格林公式也可借助行列式来记忆「.Pdx•Qdy二
Q
注意:
这里—与Q乘积指地是—Q二土.
dxexex
定义没有洞地平面区域,称为平面单连通区域,有洞地连通区域称为复连通区域.
P-rQ
定理设在单连通区域D内,P,Q具有连续地一阶偏导数且匚则环绕同一些洞<如图10-
dyex
1)地任何两条闭曲线<取同方向)上地曲线积分相等.LDAYtRyKfE
平面曲线积分与路径无关性定理
2
设DR是平面单连通区域,若函数Px,y,Qx,y在区域D
内具有连续地一阶偏导数,则以下四个条件等价:
<1)沿D中厶一按段光滑地闭曲线L,有;LPdxQd^Q;
图10-1
<2)对D中任一按段光滑曲线「曲线积分PdxQdy与路径
无关,只与丨地起点和终点有关;
<3)PdxQdy是D内某一些函数ux,y地全微分,即在D内存在一个二元函数ux,y,使
du-PdxQdy,即
Sx
=P,二
=Q;
<4)在D内每一点处
亠:
P
g
,有
:
X
斯托克斯vStokes)
公式
设光滑曲面S地边界曲线L是按段光滑地连续曲线,若
Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在Sv连同L)上具有连续地一阶偏导数,则Zzz6ZB2Ltk
勺Pdx+Qdy+Rdz=□迅一耳idydz十〕空一生dzdx+'S—空Idxdy.
Lsi®£z丿\czexJ®丿
其中S地侧面与L地方向按右手法则确定
由定理地证明过程可知,只要以L为边界且符合定理条件地曲面S,结论都成立,从而我们在利用
Stokes公式时,寻找以L为边界地较简单曲面S,比如平面上地圆面,椭圆面,三角形平面或球面等等
以利于解决问题.dvzfvkwMIl
定义若空间区域V中任意地封闭曲线L,都可以找以L为边界地曲面SV,则V为线单连通区域.
空间曲线积分与路径无关性定理
设门R3为空间线单连通区域,若函数P、Q、R在1上具有连续地一阶偏导数,则以下四个条
件是等价地:
<1)对于0内任一按段光滑地封闭曲线L,有勺LPdx+Qdy+Rdz=0;
<2)对于门内任一按段光滑地曲线[,曲线积分..Pdx•QdyRdz与路径无关,仅与起点、终点有关;
<3)Pdx-Qdy-Rdz是门内某一函数地全微分,即存在门内地三元函数ux,y,z,使
du二PdxQdyRdz,即-二P,-^二Q,-^=R;excycz
即rotA三0,x,y,z产:
:
,其中Ax,y,zi;(Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z匚
二、第二类曲面积分
定义若矢量函数Ax,y,='Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z与曲面S在曲面上点x,y,z处单位法向量n0="cos〉,cos7,cosn0地方向与曲面S指定地方向相同)地点乘积在S上地第一类曲面积分..An0dS存在,该积分值称为Ax,y,z沿定侧曲面S上地第二类曲面积
S
分.rqyn14ZNXI
-An0dS地物理意义是当流速为A地不可压缩流体,通过封闭曲面S沿指定侧地S流量.
S
由定义知第二类曲面积分是特殊地第一类曲面积分,若把A・n0看成一个数量函数,这时为第一
类曲面积分,也具有第一类曲面积分地性质.EmxvxOtOco
由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质
性质1An0dS二一An0dS.
S'S—
性质2||〔An0dS二An0dS亠i.i〔An0dS.
SS1S2
其中Si,S2地侧与曲面S地侧相同且S=Si+S2,Si,S2只有公共边界.
设dS二n°dS-'cos:
cos-,cosJdS-、dyd乙dzdxdxdyf,其中dxdy二cosrdS,称为dS在
兀
Oxy平面上地有向投影,当r为锐角时,dxdy-0,当r为钝角时,dxdy:
:
:
0,当r时,dxdy=0.
2
我们可以证明cosr=sgn二—ricosr.事实上,当r为锐角时,cosr>0,sgn二—r1=1,知
【2丿12丿
要求光滑曲面S一定要表示成z=zx,y:
x,y]「」xy<其中匚xy是曲面S在Oxy平面上地投
sgn—一ri为一常数,则
时,dxdy=cos—ds=0.换句话说如果S在Oxy平面上地投影面积为零时
2
注:
r=-
2
此时11Rx,y,zdxdy二0.
S
同理可知计算I,Rx,y,zdydz时,要求S:
x=xy,z,y,z^:
yz
31
•工JIPxy,z,y,zd二.
2Cjz
S
域)a全是锐角或全是钝角或全是一,此时,"P(x,y,zdxdz=sgn—
2S'、2
计算IiQx,y,zdzdx时,要求S:
y=yz,x,乙x]三-zx
全是锐
S
角或全是钝角或全是•
2
匚,此时,JJQ(x,y,zjdzdx=sgn—-P”JQ(x,y(乙X)Z6ewMyirQFL
2丿rzx
高斯vGauss)公式设空间区域V由分片光滑地闭曲面S围成,若函数P,Q,R在V上具有连续
注:
以上关于不论是第二类曲线积分或第二类曲面积分地定理都要求导数,这一条件要引起大家地重视.y6v3ALoS89
三、场论
设Ax,y,zi;Jpx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z:
、
cPcQcR,
,且P,Q,R偏导数存在,称函数为
:
x:
y:
z
.:
p-Q■-R
向量函数A在点Mvx,y,z)地散度,记作divAx,y,z.即divAx,y,z一'—-.且散度具有
excycz
线性运算法则,即divB=:
div^divB.其中:
/-为常数,A,B为向量函数,利用散度地概
念,高斯公式可写成下列简洁形式||A・dS=divAdv.M2ub6vSTnP
SV
若-Mx,y,z戶v,有divA=0,称A为无源场,并有下面两个推论.
推论1若在封闭曲面
推论2如果仅在区域
S所包围地区域V中处处有divA二0,则厂Ad^O.
S
V中某些点<或子区域上)divA=0或divA不存在,其它点都有divA二0,
<称为洞)地V内任一封闭曲面积分<物理意义为流量)都是相等地,即
,且法方向沿同侧.OYujCfmUCw
则通过包围这些点或子区域
-An°ds=AnOds.其中Si,Sz是包围之同地任何两个封闭曲面
S2
Si
设Ax,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z/,且P,Q,R具有一阶偏导,称矢量函数
旋度也具有线性运算法则,即rotA•:
B=rotA•:
rotB.此时斯托克斯公式可写成
:
lAds二rotAdS.
S
§1.3解题基本方法与技巧
一、第二类曲线积分计算地方法
1.(P(x,ydx+Q(x,ydy其中L是平面上简单封闭曲线.
<1)若能找到一个单连通区域D,使LD,而P,Q在D上具有连续地一阶偏导数,且
—=—,x,yD,由平面曲线积分与路径无关性知:
Px,ydxQx,yd^0.euts8ZQVRd
.x:
yL
占Q即
<2)若L包围地区域为二,P,Q在二上具有连续地一阶偏导,但--此时可用格林公式,有
excy
(pQppy
qP(x,y0x+Q(x,ypy=±JJ—dm当L沿正向,取“+”号,沿负向取“一”'L內丿
号.sQsAEJkW5T
<3)若L包围地区域二有洞,在这些洞上,P,Q或者偏导数不连续或者—-—,但在其余
dxdy
容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后,容易计算.GMsIasNXkA
<4)若L容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后,容易计算,也可直接化成一元函数积分
2..Px,ydxQx,ydy.其中-ab是非封闭地平面曲线,起点AXo,y°,终点B为,%.
'-AB
<1)若能找到一个单连通区域
D,使-ABD,P,Q在D上具有连续地一阶偏导数,且
%yi
——,该曲线积分与路径无关
「x;y
,则Px,ydxQx,ydy=*Px,y。
dxQx「ydy.
<2)若P,Q偏导数连续,但』
ex
■ABx0y0
■—,x,y卢厂ab,且】AB化成参数比较方程困难或者化成参数
■y
方程转化一元函数定积分很难计算,且加一个简单曲线<比如直线段)构成封闭曲线,则可加一个简
单曲线L,减一个简单曲线L,即原式TlrRGchYzg
PdxQdy-
'-ABL
PdxQdy二—dxdy-PdxQdy
L:
一:
x鋼L
而二重积分与在L上地第二曲线积分都容易计算.<二重积分前地“号,由曲线丨ABL方向确
定)
<3)若-ab容易化成参数方程,且第二类曲线积分转化为一元函数定积分以后容易计算,也可直
接转化.
3.lPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz其中L为空间简单封闭曲线.
<1)若找到一个线单连通区域V,使LV,P,Q,R在V上具有连续地一阶偏导数,且
rotA=0,x,y,z^VA=「P,Q,R?
则由曲线积分与路径无关性知lPdxQdyRdz=0.
<2)若P,Q,R偏导数连续,但rotA=0,x,y,z•L.可找一个以L为边界曲线地简单曲面',由
斯托克斯公式知qPdx+Qdy+Rdz=才送—竺dydzJ兰—兰idzdx十‘凹—竺dxdy.
L送cz)I法cz}\^cxcy1
要求第二类曲面积分容易计算.7EqZcWLZNX
<3)若L容易化成参数方程,且第二类曲线积分化成一元函数定积分后容易计算,也可直接计算.
4..Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz,其中丨ab为空间曲线,起点Ax°,y°,Zo,终点
'_AB
B捲』1,乙.
<1)若找到一个线单连通区域V,使:
abV,P,Q,R在V具有连续地一阶偏导数,且
rotA三0,x,y,z戶V,则该积分与路径无关,则
Xi%*z1
PdxQdyRdz二xPx,y。
,z。
dxyQXi,y,z)dyz心y「zdz.
<2)若该积分与路径有关,但丨ab容易化成参数方程,且转化为一元函数定积分后容易计算,可直
接计算.
5•第二类曲线积分有时也可转化为第一类曲线积分,利用第一类曲线积分来计算.
以上方法请大家灵活使用.
二、关于原函数
1.在一元函数里,若fx连续,则fx必有原函数,即使Px,y,Qx,y连
续,Px,ydxQx,ydy也不一定存在ux,y,使du=Pdx-Qdy.若P,Q在单连通区域D上具
EQ3Pxy
有连续地一阶偏导,且.',x,y戶D,则ux,yPx,y0dx•Qx,ydyC,使
.x:
yx°yo
du=PdxQdy.即亠二P,土=Q,其中x0,y0百D<定点)lzq7IGf02E
dxcy
2.同理若P,Q,R在空间某线单连通区域V上具有连续地一阶偏导数,且
xyz
rotA=0,x,y,zV,则ux,y,z二Px,y°,z0dxQx,y,z°dyRx,y,zdzc,
x0y0z0
使du二PdxQdyRdz,即u二P,-^二Q,岀二R.其中x0,y0,z^:
=V.
excycz
3•若曲线积分lPx,ydxQx,ydy与路径无关,P,Q中含有待求地字母常数,且P,Q具有
EQcP
连续地偏导数,由曲线积分与路径无关地四个等价条件知-三',从中求出待求字母常excy
数.zvpgeqJIhk
4、利用平面封闭曲线上地第二类曲线积分计算平面图形地面积:
在格林公式中,令
1
p=_y,Q=x,有.-ydxxdy1—dxdy二2S,因此Sydxxdy.其中】是有
D2
界闭区域D地边界,沿正向.NrpoJac3v1
5.第二类曲线积分地牛顿一莱布尼兹公式
若dux,y=Px,ydxQx,ydy,则
若dux,y,z二Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz,则
Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz=
■-AB
dux,y,z二u为』1,乙—uXo,y°,z。
.
三、第二类曲面积分计算方法
1.11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy
Z
<1)若P,Q,R在v包围地立体区域V具有连续地一阶偏导数,则
_P_
11Pdydz-QdzdxRdxdy二—■二—-——dv,曲面沿外侧取"+”号,曲面沿内侧取"-”土VI放勿氐丿
号.要求右边三重积分容易计算.
<2)若曲面a包围地立体V内有洞,而在洞外面,P,Q,R具有连续偏导数,且
divA三0,A=:
P,Q,Rf,利用推论2转化为与二包含同一些洞地曲面二1上地第二类曲面积分,而
且沿同一侧方向,即•…PdydzQdzdxRdxdy二:
Pdydz-QdzdxRdxdy,要求1是简单地曲丈S
面,且右边或者直接计算或者化成第一类曲面积分计算.1nowfTG4KI
<3)若曲面a本身也比较简单,也可直接计算或者化成第一类曲面积分计算.
2.11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy,其中S是非封闭地光滑曲面.
S
<1)若直接计算比较困难,而加一个简单曲面Si构成封闭曲面,且符合高斯定理条件,则
PdydzQdzdxRdxdy
S1
,后面一项第二类曲面积分直接
11PdydzQdzdxRdxdy=PdydzQdzdxRdxdy-
SSS1
dv-PdydzQdzdxRdxdyzS
-”由曲面法线方向地侧确定,要求右边地三重积分容易计算
容易计算.
<2)也可直接计算或转化为第一类曲面积分来计算
例1在变力F=xyi•zxjxyk地作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
222
二爲刍=1上第一象限地点M;「,问,,取何值时,力F所作地功W最大?
并求出abc
W地最大值.fjnFLDa5Zo
解直线段0M:
x=t,y二t,z=t,t从0至U1,功W为
i
W=OMyzdxzxdyxydz3t2dt二.
/
匕2
n2
厂2、
+k
1
2a
b2
2
c丿
二c.由问题地实际意义知Wmax3abc.
.39
k
例2设位于点<0,1)地质点A对质点M地引力大小为2
r
距离),质点M沿曲线y二•2x-X2自B(2,0>运动到0(0,0><图10-2).求在此运动过程中质点A
对质点M地引力所作地功.tfnNhnE6e5
=MA*x2+(1_y/.
解由图10-1MA二:
0_x,1-y]r
引力f地方向与MA—致,故f=&\-乂,1-护.从而,引力所作地
r
功W=boALxdx1-ydy丄
注:
因线积分与路径无关,故取沿BO积分得出结果.
例3计算.1厂y2dx'z2dy'x2dz厂为球面x2y2z2二a2与圆柱面x2y2=ax交线
人aaa.t 令xcost,ysint•并代入球面方程,得z=asin. 2222 2tat 于是,得丨地参数方程为x二acos一,y二一sint,z二asin—,0冬t冬2二 222 代入积分式,得|厂y2dx-z2dy-x2dz “asint)(. I-i+asin 八2丿I w2costi+acos<2.丿< 图10-3 cos5丄dt 2 33c3 a2二2t,a2二o二a sincostdtcostdt 202404 2 计算|: ——ydx c、'R2+x2 222 xy=Ry_0从点Av-R,0)到点BvR,0)<图10-4) 解考虑有向直线段BA,令 11ydx4x2ylnx^7R2x2dy,BAR2■x2 由Green公式<注意曲线方向! ),得 聖Sdy excy丿 x2y2R2,y-0.因为在x轴上y=0,dy=0,所以Ii=0.故I二- D --j==^=dxdy=—I"j4dxdy=一41兀R2=_2兀R2.丿寸R+x」d2 i22 注: 如将曲线C表为y=IR-x或X=Rcost,y=Rsint直接计算是很麻烦地,一个曲线 积分cPdxQdy,如果较难直接计 -Q: P 算,应先算一下,如果 excy FQ_地表达式较简单,就可 ;: x;: y 用加一个简单曲线 5计算| O<0,0) 解 V—般为直线段),减一个该曲线.HbmVN777sL =12xyeyd^-cosy-xeydy,其中AOB为由点<-1,1)沿曲线y=x2到点 AOB y=0到点B<2,0)地路径.V7l4jRB8Hs 再沿直线 积分路径见图10-4. 二eydx「Icosy「xe i"r AOB dy12xydx. AOB 右端第一个积分满足 : Q=ey .x ■: y,故积分与路径无关. 图10-4 IdxIicosyey dy 12xydx亠i12xydx AOOB 22 二3sin1e-112xxdx12x0dx二sin1e23x $」i0 斗
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- 曲线 曲面 积分