第6章 正交试验设计入门.docx
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第6章正交试验设计入门
第6章正交试验设计入门
前一章我们讨论了全面试验设计法,它是把所有考察的试验因素的所有水平组合全面试验一次或一次以上,它只适用于因素和水平数都不太多的试验,如单因数试验或水平数较少的双因素试验,对于水平数较多的双因素试验和三个因数以上的多因数试验,一般采用部分实施法,以减少试验次数,缩短试验周期。
其中最常用的是正交试验设计法。
6.1正交试验设计法的基本思想
一、全面试验法和因素轮换法
例6-1三因素三水平试验,通常有二种试验设计方法。
1.全面试验法
共需进行3×3×3=27次试验(无重复试验),这27次试验可用图6-1立方体的27个交叉点表示。
该法可得到全面的试验信息,可找到最佳的工艺条件,缺点是试验次数太多。
2.因素轮换法
每次只改变一个因素的水平,而其他因素固定在一个水平上,依此类推,逐个地研究各因素的影响,如将A和B固定分别在A1和B2水平上研究因素C的影响,试验安排为
C1
A1
B2C2
C3
如果试验结果发现C2水平最好,则将因素C固定于C2水平上,A仍固定在A1上,考察因素B的影响。
试验安排为
B1
A1C2B2
B3
如果试验结果发现B1水平最好,则将因素B固定于B1,C仍固定于C2上,考察因素A的影响。
试验安排为
A1
B1C2A2
A3
如果试验结果发现A2水平最好,就认为最佳工艺条件为A2B1C2,试验点如图6-1中的圆点所示。
这就是一般没有学过试验设计方法的人员所进行的试验方法。
图6-1全面试验设计法、因素轮换法和正交试验设计法之间的比较
(三因素三水平试验)
显然,因素轮换法的最大优点是试验次数少。
但缺点很多:
(1)试验点代表性差。
试验点分布在局部区域,在很大范围内没有试验点,这样就不能客观地反映27个试验点的情况。
而且当因素间存在交互作用时,采用不同的因素轮换方式,会得到不同的结论。
因此,用该法找到的最佳条件,未必就是真正的最佳条件;
(2)无法考察因素的交互作用;
(3)如果不进行重复试验,就无法估计试验误差。
那么,是否存在一种可兼顾上述两种方法优点的方法呢?
二、正交试验设计法的基本思想
如果我们能从全面试验点中,选取部分具有代表性的点,使试验点在试验范围内均匀分布,能反映全面试验情况,就可达到上述目的。
在图6-1中,对应于A,B,C的每一个水平,都有一个平面,共有九个平面(A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3)。
为使所选试验点具有代表性,这九个平面上的试验点应当一样多,即对每个水平都应当同等看待。
具体来说,每个平面上都有三行三列,要求在每行每列上的试验点一样多。
这样选出的试验点,如图6-1所示,我们看到,在九个平面中每个平面上都恰好有三个点,而且每个平面的每行每列上都有一个且只有一个点,总共9个点。
这样的试验方案,试验点的分布很均匀,试验次数也不多,所以综合了上述两种方法的优点。
当因素数和水平数都不太多时,尚可通过作图的方法来选择均匀分布的试验点。
但是当因素数和水平数较多时,显然作图方法就不行了。
试验工作者在长期的工作中总结出一套方法,创造出了所谓的正交表。
用正交表安排试验,就大大方便了。
这种用正交表安排多因数的试验和分析试验结果的方法,称为正交试验设计法。
6.2正交表(主要取材于《试验设计的技术与方法》)
正交表是正交试验设计的基本工具,在正交试验设计中,安排试验,对试验结果进行计算分析,均在正交表上进行,所以必须对正交表作一较深入介绍。
一、“完全对”与“均衡搭配”概念
设有两组元素
a1,a2,……,aα
b1,b2,……,bβ
我们将αβ个“元素对”
(a1,b1),(a1,b2),……,(a1,bβ),
(a2,b1),(a2,b2),……,(a2,bβ),
……
(aα,b1),(aα,b2),……,(aα,bβ).
称为由元素a对与b对所构成的“完全对”。
当不会发生混淆时,可将(ai,bj)简写成aibj。
下面用数字说明“完全对”概念,因为以后用到的“完全对”基本是由数字组成。
例如,由数字1,2,3和1,2,3,4构成的“完全对”为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)
若一个矩阵的某两列中,同行元素所构成的元素对是一个“完全对”;
并且每对出现的次数相同,我们就说这两列“均衡搭配”。
否则,称为“不均衡搭配”。
例如,有一矩阵为
111
112
121
122
212
212
222
222
显然,该矩阵的第1列与第2列的搭配是“均衡搭配”,因为这两列数字构成的元素对是“完全对”,并且每对出现次数相同,均为两次,但是第1、3列和第2、3列均不是“均衡搭配”,因为它们不满足“均衡搭配”的两个充要条件。
显然,如果一个矩阵的第i列与第j列是均衡搭配时,那么它的第j列与第i列也必然是均衡搭配;反之亦然。
因此,当我们考察了第i、j两列的元素对后,就不必再去考察第j、i两列的元素对了。
二、正交表的定义与格式
1.正交表的定义
设A是一个n×k矩阵,其中第j列元素由数字1,2,……,n,(j=1,2,……,k)所构成,若矩阵A的任意两列都均衡搭配,则A是一张正交表。
例如,有一个4×3矩阵
1
11
122
A=212
221
矩阵中任意两列的同行元素所构成的“元素对”都包含四个数字对:
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)。
这是一个“完全对”,且每个数字对都出现一次。
因此,矩阵A的任意两列的搭配都是均衡搭配,所以A是一张正交表。
又如,设有一个8×5矩阵
11111
12222
21122
B=22211
31212
32121
41221
42112
矩阵中第1列与其余任一列的同行元素所构成的“元素对”中,都有8个数字对,即
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)
这是一个完全对,且每个数字对均出现一次;而第2、3、4、5列间的任意两列所构成的“元素对”中,都含4个数字对:
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)
这也是一个完全对,且每个数字对都出现了二次。
所以,矩阵B的任意两列都均衡搭配,故B也是一张正交表。
2.正交表的格式
在正交试验设计中,常把正交表写成表格的形式,并在其左边写上行号(试验号),在其上方写上列号(因素号)。
如上述正交表A常常表示为表6-2所示的格式,这是一张最简单的正交表,常用正交表见书后的附表7(P.329)。
表6-2正交表L4(23)
列号
试验号
1
2
3
1
2
3
4
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
为了使用方便和便于记忆,正交表的名称一般简记为
Ln(m1×m2×……×mk)
其中L为正交表的代号,是LatinSquare的第一个字母,n代表正交表的行数(要做n次试验),而m1×m2×……×mk表示共有k列(最多可安排k个因素),每列的水平数为m1,m2,……,mk。
(显然,若要做全面试验,则至少需进行m1×m2×……×mk次。
)
三、正交表的分类及其特点
1.等水平正交表及其特点
在正交表Ln(m1×m2×……×mk)中,若m1=m2=……=mk=m,则称为等水平正交表,简记为Ln(mk)。
式中n为试验次数,m为因素的水平数,k为正交表的列数(即最多可安排的因素数)。
因此,表6-2所示的正交表可简记为L4(23)。
常用的等水平正交表如下:
二水平:
L4(23),L8(27),L16(215);
三水平:
L9(34),L27(313),L81(340);
四水平:
L16(45),L64(421),……;
五水平:
L25(56),L125(531),…….
标准表Ln(mk)系列产品目录
i
m
1
2
3
4
5
2
L4(23)
L8(27)
L16(213)
3
L9(34)
4
L16(45)
5
L25(56)
L15625(53906)
等水平正交表分为标准表和非标准表两类,上面列出的都是标准表。
标准表具有以下特点:
(1)标准表的结构特点:
n
=m
k
=
=
(i=1,2,……)
注:
i表示第i张正交表!
(2)水平数相同的标准表,任意两个相邻表具有以下关系:
递推公式:
ni+1=mni
ki+1=ni+ki(i=1,2,……)
式中ni表示第i张表的试验次数,ki表示第i张表的列数,m为水平数。
显然,只要水平数m确定了,第i张标准正交表就随之确定了。
因此,m是构造标准正交表的重要参数,对于任何水平的标准表,当i=1时,都确定了最小号正交表。
例如:
当m=2时,若i=1,则n1=21+1=22=4,k1=
=3。
所以,二水平标准表的第一张表Ln
(mk
)=L4(23);若m=2和i=2,则n2=21+2=23=8,k2=
=7。
所以,二水平标准表的第二张表Ln2(mk2)=L8(27);依此类推,可得Ln
(mk
)。
用递推公式确定水平数相同的第(i+1)张表,将更加方便。
如n2=2×n1=2×4=8,k2=n1+k1=4+3=7,∴L8(27).
(3)利用标准表可以考察因素间的交互作用。
对于水平数相同的正交表Ln(mk),若满足
n=1+k(m-1)
则称该正交表为饱和正交表,相应的试验称为饱和正交试验。
如L4(23)的n=1+3×(2-1)=4,L27(313)的n=1+13×(3-1)=27,所以L4(23)和L27(313)都是饱和正交表。
前面所列的常用标准表,都是饱和正交表。
非标准表是为了缩小标准表试验号的间隔而提出来的。
常见的非标准表如下:
二水平表:
L12(211),L20(219),L24(223),……;
多水平表:
L18(37),L32(49),L50(511),…….
注意:
非标准表虽然为等水平表,但却不能考察因素间的交互作用。
试验中如想考察因素间的交互作用,不能选用此类表安排试验。
2.混合水平正交表及其特点
在正交表Ln(m1×m2×……×mk)中,若水平数m1,m2,……,mk不完全相等,则称为混合水平正交表。
其中最常用的是两种水平数的正交表,简记为Ln(m1k1×m2k2)。
式中m1k1表示水平数为m1的有k1列,m2k2表示水平数为m2的有k2列。
如前述的8×5矩阵B就是一张混合型的正交表,可简记为L8(4×24)。
此表可安排一个4水平因素和4个二水平因素。
常见的混合型正交表如下:
L8(4×24);
L12(3×24);L12(6×22);
L16(4×212);L16(42×29);
L16(43×26);L16(44×23);
L18(2×37);L18(6×36);
L20(5×28);L20(10×22);
……
一般情况下,不能用混合型正交表考察因素间的交互作用,但是由标准表通过并列法改造出来的混合表例外。
四、正交表的基本性质
1.正交性
我们之所以把Ln(mk)型和Ln(m1k1×m2k2)型称之为正交表,是因为它们具有正交特性。
正交表正交性的主要内容是:
(1)在任一列中各水平都出现,且出现的次数相等;
(2)任何两列之间的各种不同水平的所有可能组合都出现,且出现的次数相等。
上述两条是判断一个正交表是否具有正交性的必要条件。
实质上它是根据“均衡搭配”概念得出的。
由正交表的正交性可以看出以下三点性质:
(1)正交表的各列地位是平等的,表中各列之间可以相互置换,称为列间置换;
(2)正交表的各行之间也可相互置换,称为行间置换;
(3)正交表的同一列的水平数也可以相互置换,称为水平置换.
上述三种置换称为正交表的三种初等变换。
经过初等变换所得到的正交表,称为原正交表的等价表。
在实际应用中,可根据不同的试验要求,把一个正交表变换成与之等价的其它特殊形式的正交表(在第9章和第12章应用正交表的上述性质)
2.代表性
正交表的代表性有两方面的含意。
一方面,由于正交表的正交性:
(1)任一列的各水平都出现,使得部分试验中包括了所有因素的所有水平;
(2)任何两列的所有水平组合都出现,使得对任意两个因素的所有水平信息及任意两因素间的所有组合信息无一遗漏。
这样,虽然正交表安排的只是部分试验,但却能了解到全面试验的情况,在这个意义上,正交表安排的部分试验可以代表全面试验。
另一方面,由于正交表的正交性,正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点之中(如图6-1所示),具有很强的代表性。
因此,正交表的部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件,应有一致的趋势。
3.综合可比性
由于正交表的正交性:
(1)任一列各水平出现的次数相等;
(2)任两列间所有水平组合出现的次数相等,使得任一因素各水平的试验条件相同。
这就保证了在每列因素各水平的效果中,最大限度地排除了其它因素的干扰,从而可以综合比较该因素的不同水平对试验指标的影响情况。
这种性质称为综合可此性。
表6-3在L4(23)安排的试验方案
因素
试验号
A
B
C
1
2
3
4
(1)A1
(1)A1
(2)A2
(2)A2
(1)B1
(2)B2
(1)B1
(2)B2
(1)C1
(2)C2
(2)C2
(1)C1
例如,在正交表L4(23)中的1、2、3列分别安排A、B、C三个二水平因素,进行正交试验,如表6-3所示。
所谓A1的试验条件,是指出现A1的1号和2号试验中,因素B和C各水平出现的情况。
在本例中,B1、B2和C1、C2各出现一次;同样,A2的试验条件是指出现A2的3号和4号试验中,因素B和C各水平出现的情况,在本例中,B1、B2和C1、C2也都各出现一次。
可见,A1和A2具有相同的试验条件。
也就是说,单考察A1和A2对试验指标的影响时,因素B和C对试验指标的影响是相同的。
这样,就排除了因素B和C的干扰,可以比较A1和A2对试验指标的影响,这种综合可比性是正交试验设计进行结果分析的理论基础。
(均匀试验设计不具有这种综合可比性,只能用回归分析。
)
正交表的三个基本性质中,正交性是核心、是基础。
代表性和综合可比性是正交性的必然结果,从而使正交表得以具体应用。
6.3正交试验设计的基本程序
一、试验方案设计
1.确定试验指标
试验指标是由试验目的所决定,一项试验目的,至少需要一个试验指标,挨言之,试验可分为单指标试验和多指标试验。
2.选择试验因素
选择试验因素时,首先要根据专业知识,以往研究的结论和经验教训,尽可能全面地考虑到影响试验指标的诸因素。
然后根据试验要求和尽量少选因素的一般原则,从中选定试验因素。
首先应选择对试验指标影响大的因素、尚未完全掌握其规律的因素和未曾被考察研究过的因素。
对次要因素可作为可控的条件因素参加试验。
3.选取试验因素水平,列出因素水平表
根据试验因素水平是作量的变化不是质的变化,可把试验因素分为数量因素和质量因素。
数量因素:
温度、时间、原料用量等,其水平可作量的变化;
质量因素:
设备型号、工艺方法、试剂种类等,其水平是由特定的质(如品种、牌号等)所决定。
对质量因素,应选的水平常常早就定下来了的。
如使用三种食品添加剂,则添加剂种类这个试验因素的水平数只能取3;而对于数量因素水平的确定,比较灵活,但一般以2~4为宜,以尽量减少试验次数。
对主要试验因素或希望重点考察的试验因素,可以多取一些水平,因素水平取3比取2更好,更有利于分析试验结果,并且水平值应尽可能取在最佳区域附近。
4.选择合适的正交表
所选正交表应满足下列条件:
(1)对等水平试验,所选正交表的水平数与试验因素的水平数应一致,正交表的列数应大于或等于因素及所要考察的交互作用所占的列数;Ln(mk)型
(2)对不等水平试验,所选混合型正交表{Ln(M1k1×M2K2)}的某一水平的列数应大于或等于相应水平的因素的个数。
选正交表的原则是:
在能安排下试验因素和要考察的交互作用的前提下,尽可能选用小号正交表,以减少试验次数。
另外,为考察试验误差,所选正交表安排完试验因素及要考察的交互作用后,最好有一列空列,否则必须进行重复试验才能考察试验误差。
5.表头设计
所谓表头设计,就是将试验因素分别安排到正交表的各列中去的过程。
如果因素间无交互作用,各因素可以任意安排到正交表的各列中去;如果要考察交互作用,则各因素不能随意安排,应按所选正交表的交互作用表进行安排。
具体方法将在下章介绍。
6.编制试验方案
在表头设计的基础上,将所选正交表中各列的水平数字换成对应因素的具体水平值,便形成了试验方案。
它是实际进行试验的依据。
如表6-6所示(P.132)
至此,试验方案设计已告完成。
接下来就是具体实施试验,在试验过程中,必须严格按照各号试验的组合处理进行,不能随意改动。
试验因素必须严格控制,试验条件应尽量保持一致。
另外,试验方案中的试验号并非实际试验进行的顺序,为了加快试验,最好同时进行试验,同时取得试验结果,如果条件只允许逐个进行试验,那么应使试验顺序完全随机化,即采用抽鉴或以随机数表等方法确定试验顺序,以排除外界干扰。
此外,还应尽可能进行重复试验,以减少随机误差对试验结果的影响。
二、试验结果分析
正交试验结果的分析方法有两种,即极差分析法和方差分析法。
我们将在以后两章中分别介绍。
进行试验结果分析的目的是:
(1)分清各因素及其交互作用的主次顺序,即分清哪些是主要因素,哪些是次要因素;
(2)判断因素对试验指标影响的显著程度;
(3)找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合,即试验因素各取什么水平时,试验指标最好;
(4)分析试验因素与试验指标间关系,找出指标随因素变化的规律和趋势,为进一步试验指明方向;
(5)了解各因素间的交互作用情况;
(6)估计试验误差的大小。
正交表L9(34)
因素
试验号
A
B
C
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
在讲解常用正交表时,将立方图和L9(34)正交表对应起来讲解,这样更直观更容易理解。
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