全等三角形培优专题训练.docx
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全等三角形培优专题训练
八年级数学培优专题训练
(二)
探索三角形全等的条件
1、一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张纸片摆成如下图形式,使点B、F.C.D在同一条直线上.
⑴求证:
AB1ED;
⑵若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明
2、如图,在Z\ABC中…AC=BC,ZACB=90°,AD平分ZBAC,BE±AD交AC的延长线于F,E为垂足,则结论:
①AD=BF;②CF=CD;®AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE・其中正确的是()
3、如图,点C在线段AB上,DA丄AB,EB丄AB,FC丄AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,ZAFB=51°,求ZDFC的度数.
4、如图,四边形ABCD中,AB〃CD,AD〃BC,0为对角线AC的中点,过点0
作一条直线分别与AB、CD交于点\仁N,点E、OE=OF・
⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来;
⑵求证:
ZMAE=ZNCF
5、在Z\ABC中,高所在直线AD和BE交于H点,且BH=AC,则ZABC=
6、下列三个判断:
⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确?
若正确,说明理由;若不正确,请举出反例.
八年级数学培优专题训练(三)
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:
1线段和角的等量关系
2线段和角的和差倍分关系
3直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图,已知BD、CE分别是Z\ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=.AB.试判断AP与AQ的关系,并证明.
2、如图,AD是ZXABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,
求证:
BE丄AC
3、(2012・阜新中考)如图,在AABC中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAC=90°.
⑴当点D在AC上时,如图®,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?
证明你猜想的结论.
⑵将图①中的ZXADE绕点A顺时针旋转a角(0°Va<90°),如图②,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
问明理由.
①
E
4、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作AADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.
⑴如图①,当点D在线段BC上时,若ZBAC=90°,则ZBCE=度.
⑵设ZBAC=a,ZBCE=B
a、如图②,当点D在线段BC上移动时,a,B之问有怎样的数量关系?
请说明理由.
b、当点D在直线BC上移动时,a,B之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论.
八年级数学培优专题训练(四)
辅助线作法之连接法
在几何证明中,常通过添加辅助线来构造全等三角形•常见的添加辅助线方法有:
连接法、截长补短法.倍长中线法.翻折法.旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图,AABC的两条高BD,CE相交于点P,且PD=PE.证明:
AC=AB
2、已知AB=DE,BC=EF,ZB=ZE,AF=CD求证:
AC〃DF
3、如图,AB交CD于点0,AD.CB的延长线相交于点E,且0A=
0C,EA=EC.ZA=ZC吗?
点()在ZAEC的平分线上吗?
八年级数学培优专题训练(五)
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题,我们常用的辅助线就是将中线延长一倍,其目的是为了得一对全等三角形,将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、ZXABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.
2、如图,在△ABC中,AD是ZBAC的平分线,又是BC上的中线
求证:
AB=AC
3、(2014•襄阳初三模拟)在ZXABC中,D是边BC上的一点,且CD=AB,ZBAD=ZBDA,AE是ZXABD的中线.
求证:
AC=2AE
6、(竞赛015)例:
已知AD是Z\ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF.
求证:
AC=BF
八年级数学培优专题训练(六)
辅助线作法之截长补短法
截长法:
在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条,再证明剩余部分与另一条相等.
AD)
求证:
ZB+ZD=180°
2、在四边形ABCD中,
补短法:
把两条线段中的一条补到另一条线段上去,证明所得新线段与第三条线段相等.
1、已知AC〃BD,EA,在CD上.
求证:
AB=AC+BD
3、如图,已知Z\ABC中,ZA=90°,AB=AC,D为AC的中点,AE丄BD于E,延长AE交BC于F.
求证:
ZADB=ZCDF
4、如图,ZC=90°,AC=BC,AD是ZBAC的角平分线.求证:
AC+CD=AB
12、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,ZABC=ZAED=90°求五边形ABCDE的面积.
八年级数学培优专题训练(七)
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、(2012•“华罗庚杯”)如图,在ZkABC中,AC=%AB,AD平分ZBAC,且AD=BD
求证:
CD丄AC
八年级数学培优专题训练(八)
全等三角形在动态几何中的运用
1、(竞赛・014・3)如图,AABC的边BC在直线1上,AC丄BC,且AC=BC.AEFP的边FP也在直线1上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
⑵将AEFP沿直线1向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将AEFP沿直线1向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP.BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
八年级数学培优专题训练(九)
探究角平分线
一、知识清单
角平分线的定义:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线).由定义可知,三角形的角平分线是一条线段.
角平分线性质:
1、角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半.
3、三角形的三条角平分线交于一点,且到各边的距离相等,这个点称为内心.
二、方法点拨
证明角平分线有两种方法:
一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法.
三、规律清单
1遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).
2遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).
3有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个內角或外角(图3).
4有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).
5遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5).
6遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).
7有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴(如图7).
8角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8).
图I图2
旳3
4.真题训练
1、(2011-鄂州•竞赛•018•重庆中考)如图,AABC的外角Z
ACD的平分线CP与内角ZABC的平分线BP相交于点P,若ZBPC=40°,
则ZCAP=.
2、(竞赛•019)如图,ZB=ZC=90°,M是BC的中点,DM平分ZADC.
求证:
平分ZDAB
3、(竞赛•019)如图,在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,BE平分
ZABC,CE丄BE.
求证:
CE=*BD
4、如图,在AABC中,AD平分ZBAC,BD=CD
求证:
ZB=ZC
5、如图,在RtAABC中,ZC=90°,AC=BC,AD是ZBAC的平分线,交BC于D,DE丄AB于E,若AB=10cm,则ADBE的周长是多少?
6、(2011,恩施中考)AD是AABC的角平分线,DF丄AB,垂足为F,DE=DG,AADG和AAED的面积分别为50和39,则AEDF的面积为多少?
7、如图,AABC中,AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.
求证:
BE=CF
8、在AABC中,AD是ZBAC的平分线,E.F分别为AB、AC上的点,且ZEDF+ZBAF=180°
⑴求证:
DE=DF
⑵如果把最后一个条件改为AE>AF,且ZAED+ZAFD=180°,那么结论还成立吗?
9、如图,已知AI3=AC,BE丄AC于E,CF丄AI3于F,BE与CF交于点求证:
点D在ZBAC的平分线上.
10、如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分ZBAD,AB>AD,下
列结论正确的是()
-AD>CB-CD
-AD=CB-CD
-AD -CD与CB-CD的大小关系不确定 11、(竞赛014)如图,已知Z\ABC中,ZB=60°,ZBAC,ZBCA的 平分线AD,CE相交于点0. 求证: DC+AE=AC 12、(竞赛•019)如图,已知ZiABC,P为内角平分线AD、BE、CF的交点,过点P作PG丄BC于G点。 试说明ZBPD与ZCPG的大小关系,并说明理由。 八年级数学培优专题训练(十) 应用线段垂直平分线的性质和判定解题 一、知识清单 定义: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分的判定: 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
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