特殊环的子环理想和商环.docx

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特殊环的子环理想和商环

特殊环的子环、理想和商环

摘要：

坏是一种重要的代数结构，我们熟知的坏的例子很多。

本文在假设我们熟知环的例子有:

整数环Z,有理数环Q,实数环/?

以及复数环C等；〃倍整数环“Z;模”剩余类整数坏Z”环R上”级方阵环M”（R），如Mn（Z）,Mn（2Z）,M”（Q）等；环R上一元多项式坏川打「如Z[x],0（x）等的斟岀上，讨论具有一些特殊性质的环的例子以及它们的子环,理想和商环的特殊性质。

关键词：

环子坏理想商环

一、特殊环的例子

泄义1称带有两个代数运算的代数系统R为环。

若

i.R对于加法做成交换群。

ii.R乘法封闭。

iii.满足结合律（ab）c=a（bcjo

iv.两个分配律成立（a+b）c=ac+bc,

c（a+b）=ca+cb。

定义2R为环，任一"，bwR,ab=ba,则称R为交换环。

即乘法交换的环称为交换环。

定义3R为环,若存在eeR，任一awR,^ae=ea=a,则称e为环R的单位元的环。

乘法有单位元的环称为有单位元环。

单位元记为1。

注：

环必有单位环。

环有单位元则唯一。

R有单位元,aeR,若存在bwR,有（力=ba=1,则称"为可以元，b为"的逆元。

注：

1.R元中必有可逆元。

2.零环中零元一定可逆。

3.在非零环中零元不可逆。

4.环中元"可逆，则逆元唯一。

定义3：

/?

为环，（I,bwR,dHO,/?

工0,若e=0,则元"是环R的左零因

子，b是环R的右零因子。

任意两个非零元的乘积都不为零的环称为无零因子环。

注：

1.零因子是非零元。

2.零因子成对出现。

3.零环为无零因子环。

4.数环一定为无零因子环。

5.为无零因子环o若4工0,且BhO,则（力=0。

R为无零因子环o若ab=O,则dHO,且”工0。

R为无零因子环o若d〃=0,a=0,贝\]h=0o

若ohO,ax=ay则x=yo若qhO,xa=ya»则x=y<>即无零因子环有两个消去律成立。

反之，若至少有一个消去律成立，则环为无零因子环。

泄义5称有单位元的无零因子可交换的环为整环。

定义6整环：

交换的有单位元的无零因子环称为整环。

左义7除环：

有单位元环中有非零元且任意非零元都有乘法逆远则称其为除环。

定义8域：

交换的除环为域。

例1对于环的交换律，单位元和无零因子性，我们给岀如下例子，其中7表示满足该项性质，表示X不满足该项性质。

类型

交换律

单位元

无零因子环

例子

1

7

7

7

（Z；+,•：

2

7

X

7

（2Z汁,•）

3

X

7

7

M（◎+,•）

4

7

7

X

（Z（i）；+

）

5

7

7

7

（乙;+,・）

6

X

X

R为非零加群，乘

y

法为川?

=0

7

X

X

X

<

5b、

0）

\a.beC>

关于矩阵加法和乘

法

8

寸

7

7

零环

关于整环，除环和域的子环，我们易有如下结论：

引理1整环R的子集S为的子整环OS为/?

的子环，且leSo

引理2除环R的子集SH0为R的子除环OS为/?

的子环且对0HawS有

（CleSo证明记疋="{0}为/?

的全体非零元的集合，因为R为除环，易验证用为乘法群。

s为/?

的子除环os为r的子环，且s*=s/{o}为疋的子群。

0$为/?

的子环，且PawS'有

引理3域R的子集SH0为R的子域OS为R的子除环。

非零除环是存在的，如：

四元数除环H={（a,0）kz,“wC},〃中加法，乘法分

別为（q,0j+（a2，02）=（q+©,0|+02）‘

（y,0J（冬,禹）二（QS-必-601），

其中了是G的复共轨。

引理4无零因子环的子环和理想无零因子。

引理5有单位元无零因子环的非零因子环，若有单位元则与原来的一样。

证明设R有单位元1但无零因子，S为R的子环有单位元e,则

0=,-£=£（£-1）,必有e=\o

可以验证除环是无零因子的，但无零因子环不必是除环，利用四元除环H给出了这样的例子。

例2设H为四元数除环，i为虚数单位，R={a+bi\a,beZ},令M={（a,0）b,0eR},M上泄义加法，乘法与H中一致，则M为有单位元非交换无零因子环，但M不是除环。

证明由题设，易见M为H的子环，因而M为无零因子环。

H的单位元（1,0）也是M的单位元，而（i,0）=（0J）=-（0,l）（z,0）,M为非交换环。

下面讨论M中的可逆元，

设若（q,0|）•（冬也）=（1，°），则aia2+0102=1'a\fX+aiP\=0

若创工。

，则&]（如一0102）=1，|^|2a2~P\P-\=1，陆可=±1，±：

。

同样可证，若0|或色或02工0,则几或色或02=±1,±几

若67]工0,则&20]=0，必有=0,0]工0,进而一0\伏=\，故0[=-02，此时可逆

元有四个（0,1）"=（0,-1）,（0,/）-1=（0,-/）

同样，若0严0,则可逆元有（0,1『=（0,-1）,（—1,0）"=（—1,0）,（?

0『=（—i,0）。

若&]工0,0]工0,此时avp}=±\,±i,则或者a,（a2+/?

2）=1,«]（±a2）=0,或者

CT]（a?

寸02）=lq（02±ia2）=°，于是02=±a2或02=±ia2，故02=±Ct2或02=±（X1，

进而冬土瓦=0，±2a或±20，此与6Z1（a2±A）=1或a】（巾±i02）=1不合。

由上M中的可逆元共8个住1,0）,（0,±1）,（±Z,0）,（0,±/）,故M非除环。

例3设H为四元数除环，M为例2中的M，儿RX2为正整数。

H为以下子环:

O={（a,b）|a,bgZ|,P={（a,b）|a,Z?

g”Z},

K={（a,b）\aeZ,benZ},7'={（a,0）|dwC},

U={（“,0）bw{"+bik/,beZ}},

U={（a,o）bez},

W={（",0）be{a+bi\a,benZ^,

X={（a,0）be”Z},

Y=l^a,/3）\a=a+bi,a,bekZ,fl=c+dix,de（kn）Z^。

证明根据H的运算，易知以上集合都是加群，只要验证乘法封闭即可。

在N中，

（3，01）（如A）=（%2-0”2，602-40|），

因为qs，久Aw{a+创a,bw”Z},取a、a、+卩\卩、,丘{“+仞labenZ}

于是（e，0j,（G2，02）wN。

其余均可类似验证。

由引理4,这些子环都无零可验证：

N是M,y的理想；P是K的理想：

P,K是。

的理想：

X是V的理想；W是〃的理想；Z是N与丫的理想。

由引理5,N,P,X,Z无单位元。

在单位元的环中，单位元及其负元当然是可逆的，可逆的必是非零元且不是零因子。

例2中的环M是不交换的有单位的无零因子环，其非零元不全是可逆的，而英可逆元有不仅是单位元及其负元。

下面给出交换环的例子，而其它性质与例2中的M—样，且其逆元不可逆元均无限多。

例4R=｛2,,a\ajieZ｝关于有理数的加法和乘法构成环。

证明容易验证R是一个交换的有单位元的无零因子环，且R的非零元不全是可逆的。

除单位元1及英负元-1外，R还有可逆元±2士"，”为正整数。

为构造进一步的例子，我们需要环的直和左义：

设儿，傀是两个环，在垃和&的卡氏积&㊉尺=｛（Gd）k€呂&上按分量左义加法和乘法构成的环称为环&和«的直

和。

记斤=｛（小0）|伐尺｝,瓦=｛（斤,0）|代町，则R三K，故人可自然地看成K㊉鸟的理想，且有&㊉R2\R\=R2»K㊉=R\-

利用直和，我们将上面例子中的无零因子性去掉，构造交换（不交换情形可以整数矩阵环为例）的有单位元的有零因子环的例子，其非零元不全是可逆的，而英可逆元又不仅是单位及其负元，同时其不可逆元不全是零因子。

例无单位元无零因子环的真子集环无单位元。

证明设R为无零因子环无单位元环，R的真子环S有单位元因为"不能是R的单位元，所以有4G腕使dfHd或MHd,不妨设ae^a,取bwS/｛0｝,贝\]eb=h^0,

于是aeb=ab,即（必一d）b=0,矛盾。

所以无单位元无零因子环的真子集环无单位元结论成立。

例5令&为上例中的环，/?

2=Z5,则R=R®R]满足前述条件。

证明显然心是有单位元[1]的交换的有零因子环，而R是交换的有单位元（1,[1]）的有零因子环，而R得全体可逆元为｛（mjk=±l,±2,±2士"込=±[1],±[5]｝,貝中｛（0山）（0巧）|斤，其中｛（0疋）比=[2],[3].[4]｝,既是左零因子又死右零因子。

例子中M和上例中R是无零因子环，例子中M的可逆元不可逆元分别是有限多忽然无限多的，例子4中R的可逆元，零因子和不可逆的非零因子都有无限多。

为给岀其他数量的可逆元，零因子和不可逆非零因子的例子，我们需要群环的泄义：

设环/?

有单位元1,群G的单位元为e,id/?

（/?

）=^r,g|r.e/?

r,规淀R（G）上加法和乘法为

lx

工肚-工嘟=工仇-讣，Er^E5^=EE（vJ（^）*

£=6g=Ggr=Ggg=G

则R（G）构成一个有单位元10的环，苴零元为％,称R（G）为群G在R上的群环。

例6设G=©为一个3阶群，R\=Q（G\R2=Z（G）.则K没有不可逆非零因子,可逆元和零因子有无限多个，而乩不可逆非零因子无限多，可逆元有限多，零因子无限多。

■

证明若rQe+i\a+r2a2eRt有逆元soe+s{a+s2a29则

（rQe+i\a+/;n2）（5/+s^a+s2a2）

=（%£+£d+归d'）（举+〃+'）

=（巾o+甲2+柄）£+（倘+甲°+r2s2）a+（ros2+r2sQ+r^）a2

心几+r2s{+r}s2=\

有何+的+牛2=°系数矩阵及其行列式为4=

r2s0++r{）s2=0

|4|=%'+斤'+才一3砂竝,若|A|hO,贝iJ（50,5p52）有唯一解,rQe+rax+r2ct2

可逆，如：

对心0有（rey[=r~le,（m）_1=rV均是可逆元，有穷多非零解。

当|A|=0

时，齐次线性方程组4X=0总有无穷多非零解，/^+ra1+^2总是零因子，均有无穷多。

在心中,若|4|工0,贝叽比冷宀）在Q中有唯一一组解,

v一斥-眶

°~ir

2_T

要使（必冷显2）在Z中有唯一组解,即

使一砖=$o|A|，r2~^2=^1H，才一他=巾|人|，⑵注意到卜|=（人+勺+%）（斥一斤4+斥一％4+斥一*山）（3）

将

（2）代入得国=（%+斤+"）（%+$]+52）|A|必须斥）+斤+r2=s0+s}+s2=±\不妨设D+斤+石=%+込+勺=1（4）

代入（3）得国齐2一也+/J2_3+§2_仙即2卜卜仏_〃+（/；-”+亿-/由⑵,（4）得佃一$|）卜|=才一花+才一剧=仏一勺）仏+斤+叮齐一阳