电大专科高等数学基础复习及答案.docx
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电大专科高等数学基础复习及答案
电大专科2332高等数学基础复习及答案
2332高等数学期末复习指导
高等数学基础复习指导注意:
1本次考试题型分为单选(20=4分*5)填空(20=4分*5)计算题(44=11分*4)应用题(16=16
分*1)
2复习指导分为3个部分,第一部分配有详细解答,掌握解题方法,第二部分历年试题汇编,熟
悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题,应该重点掌握。
3复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。
第一部分(详细解答)
一(填空题
x,41(函数的定义域为xx,,12且。
y,ln
(1)x,
x,,40,,,x4,
,x,,10解:
且,,,,xx12x,1,,
,ln10x,,,,x,,11,,
ln
(1)x,2(函数的定义域是。
,,12xy,24,x
x,,10x,,1,,解:
,,,,12x,,2,,,22x40,,x,,
x,23(函数的定义域是。
xx,,,23且y,x,3
xx,,,,202,,解:
,,xx,,,303,,
22f(x),4(设,则。
xx,,46fxx
(2)2,,,
2xt,,2xt,,2解:
设,则且原式fxx
(2)2,,,
22ftt()22,,,即,tt,,42,,
2fx(),亦即xx,,42
4,x,,4
(1),0,,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续,则=e。
kx,0,,
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2332高等数学期末复习指导
函数fx在x=0连续,lim则ffx,0,,,,,,x0,
41,,,4,,,4xxlimlim1limfxxxe,,,,,1,,,,,,xxx,,000,
fk(0),
4?
ke
xx,05(曲线在处的切线方程为。
yx,,,1ye,
曲线在点处的切线方程为yyyxx,,,yfx,xy,,,,,,,0000x0
x0,解:
,ye1,,,,xye,,,01时,,,000x,0x,
,yxyx,,,,,,,,1(0)1
ln(3)x,6.函数的连续区间为。
y,,,,,,3,1,1,,,,,x,1
初等函数在其定义区间连续。
x,,30ln(3)x,,x,,3x,,1y,且,,,,,3,1,1,,,,,,,,,x,1x,,10,
7(曲线在点(1,0)处的切线方程为。
yx,lnyx,,1
1,,yx解:
,,ln1,,,xxx,,,111x
yxyx?
,,,,,,,0111
1dy,fxdx'(ln2)8.设函数yfx,(ln2)可导,则。
x
1dyydx,'解:
,,fxxdx'(ln2)2'fxdx(ln2)'fxxdx'(ln2)ln2',,,,,,2x
11fxdx'(ln2),fxxdx'(ln2)2',,,x2x
132yxxx,,,239.(判断单调性、凹凸性)曲线在区间内是单调递减且凹。
2,3,,3
2,,解:
yxxxxxy,,,,,,,,,,4331,230当时,曲线下降,,,,
,,,yxy,,,,20,4曲线是凹的
22,f(f(x)),10(设,则。
41x,fxx()1,,
222,fxxx'()1'2,,,ffxfxxx(())22141,,,,,解:
,,,,,,,,
1311(0。
xxdx(1cos),,,,1
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3解:
是奇函数;是偶函数,由于偶+偶=偶,则是偶函数,1cos,xx1cos和x
3因为奇偶,奇,所以是奇函数,是对称区间x,,1,11cos,x,,,,
奇函数在对称区间上的积分为零
12212(。
xxxdx
(1),,,,,13
2解:
xxxdx
(1),,,
(1)xxxdx,,,xdxxxdx,,1,,,,,,,,1111
122是奇函数(奇偶,奇),故;,xxdx10,,xx1,,,1
2,,,而是偶函数,故xdxxdxx2x,,0,1033
fx(ln3),13(设,则。
Fxfx()(),dx,FxCln3,,,,x
11,,解:
?
,ln3ln3ln3xdxxdxdx,,,,xx
1fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3,,,,,,,,,x
122,xfxdx
(1),,14(已知Fxfx()(),,则。
FxC,,1,,,2
解:
xfxdxfxxdxfxdxFxC
(1)12111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222
fxxdx(sin)cos,15(设Fx()fx()为的原函数,那么。
FxCsin,,,,
fuduFuC,,cossinxdxdx,Fx()fx()分析:
为的原函数,,,,,,,
fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin,,,解:
,,,,,,
sinx,sinxfx()16(设的一个原函数是,则fx(),。
,sinxfx()Fx()fx()Fx'()fx(),解:
的一个原函数为,,,sin''xcos'x,,,,,,
0,,xxcos2Fx(),17(,那么。
Fxttdt()cos2,,x
,xx,解:
ftdtfx,,,,,,Fxttdtxx()cos2cos2,,,,,,,,,,0a
0d,2t2,x,tedt18(_______,xe__________。
,,,xdx
0xdd,2,t2t2,x,,,tedttedt解:
xe,,,,,,0xdxdx
x,,1,sint,F(),19(设,则e。
Fxedt(),,02
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,x,sin,,,,,,sinsin1tx2,,FxedteFee,,,,,解:
,,,,,,,02,,
0d2220(cos=。
tdt,cosx,xdx
0xdd222coscos解:
tdt,,tdt,,cosx,,x0dxdx
二(选择题
1(下列函数中(B)的图像关于坐标原点对称。
xlnxA(B(C(xxsinD(axxcos
规律:
(1)1(奇偶函数定义:
;fxfxfxfxfxfx,,,,,,;是奇函数,是偶函数,,,,,,,,,,,,
2243
(2)(常见的偶函数:
xxxxx,,...,,cos,,常数
111,,xx3523常见的奇函数:
xxxxxxx,,,...,,sin,ln1,ln,ln,,,,11,,xx
xxxx,,常见的非奇非偶函数:
;aeaex,,,,ln
(3)(奇偶函数运算性质:
奇?
奇=奇;奇?
偶=非;偶?
偶=偶;奇×奇=偶;奇×偶=奇;偶×偶=偶;
y(4)(奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。
y解:
A(非奇非偶;B(奇×偶=奇(原点);C(奇×奇=偶(轴);D(非奇非偶2(下列函数中(B)不是奇函数。
xx,2sinxcosxA(;B(sin
(1)x,;C(;D(ee,ln1xx,,,,解:
A(奇函数(定义);B(非奇非偶(定义);C(奇函数(奇×偶);D(奇函数(定义)
y3(下列函数中,其图像关于轴对称的是(A)。
1,xx2lncos
(1)x,A(B(C(D(excossin
(1)x,1,x
y解:
A(偶函数(轴);B(非奇非偶(定义);C(奇函数(常见);D(非奇非偶(定义)4(下列极限正确的是(B)。
3xx,11e,1A(B(lim,lim0,3x,,313x,,0xx
sinx1x,,,elim
(1)lim1C.D(x,,,0xxx
xxe,1xlim1,x,0解:
A错。
?
,e,1,?
;lim,xx,0x,0xx
B正确。
分子分母最高次幂前的系数之比;
11sinxsinx,,0lim0C错。
?
,即是无穷小,即是有界变量,?
;sin1x,x,,x,,xxx
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11x,x1,,eD错。
第二个重要极限应为或,其类型为。
lim
(1)lim
(1),,xe,,x,x0x
5(当x,,1时,(D)为无穷小量。
x,11A(B(sinC(D(cos
(1)x,ln
(2)x,2x,1x,1
0
x,1110lim解:
A(,,,0;lim2x,,1x,,1x22x,1
11B(x,,1,x,,10,,,,不存在;limsinx,,1x,x,11x,,1C(,;cos
(1)cos01x,,,
x,,1D(,。
ln
(2)ln10x,,,
6.下列等式中,成立的是(B)。
1,,33xx,,22xxedxde,,A(B(edxde,,23
21C(D(dxdx,ln3dxdx,3xx
1,,33xx,,22xx,,33xxedxde,,解:
A(错,正确的应为B。
正确,即,,2edxde,,3edxde3
11C(错,正确的应为D(错,正确的应为dxdx,dxdx3ln3,3x2x
f(x)7(设在点可微,且,则下列结论成立的是(C)。
xx,fx()0,00
f(x)f(x)A(是的极小值点B(是的极大值点;xx,xx,00
f(x)f(x)C(是的驻点;D(是的最大值点;xx,xx,00
fx()fx()解:
驻点定义:
设在点可微,且,则是的驻点。
驻点为可能的极值点。
xx,fx()0,xx,000
fxf()(3),fxx()ln,8((函数lim,,则(D)。
x,3x,3
11ln3A(3;B(;C(;D(x3fxf()(3),11解一:
lim,ffxx,,,,'3'ln',,,,,,xx,,33x,3x,3x3x,3
10
fxf()(3),lnln3x,1x0lim,lim解二:
limx,3x,3x,3x,3x,313
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fx()9(设,则,(B)。
fxx()sin,limx,0x
12A(0;B(;C(;D(不存在
fx,,sinx解一,,:
limlim1xx,,00xx
fx,,sin0x,,解二:
limlimsincos1,,,,xx,,,,xx,,00xx,,00,0xx
3210(曲线在区间(1,3)内是(A)。
yxxx,,,,391
A(下降且凹B(上升且凹C(下降且凸D(上升且凸解:
22,yxxxxxx,,,,,,,,,1,,,,,,,
在任取一点13,0,,,xyx带入可知,曲线下降
,yx,66,,
,在中任取一点13,0,,,xyx带入可知,曲线是凹的
x11(曲线在(0,),,内是(B)。
yex,,
A(下降且凹;B(上升且凹;C(下降且凸;D(上升且凸解:
xxyexe''1,,,,,,
当时上升xy,,0'0,,曲线xye'',
当时,,曲线是凹的xy,,0''0
12(曲线在点M(1,2)处的法线方程为(B)。
yx,2
1yx,,,2
(1)yx,,,,2
(1)yx,,,,22
(1)A.;B.;C,,,1
(2)2
1规律:
曲线在x=处的法线方程为xyfx,yfxxx,,,,,,,,,,000,fx,,0
11yfxx,,2解:
,,fxx'2',,f,,,,'11,,,,,,xxx,1
yx,,,,2
(1)故法线方程为B(;
13(下列结论中正确的是(C)。
A(函数的驻点一定是极值点B(函数的极值点一定是驻点
00C(函数一阶导数为的点一定是驻点D(函数的极值点处导数必为
fx()fx()解:
驻点定义:
设在点可微,且,则是的驻点。
驻点为可能的极值点。
xx,fx()0,xx,000
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2332高等数学期末复习指导14(设函数,则(A)。
df(x),fxx()cos,
sinxsinxsinxsinxA(;B(;C(;D(dxdx,dxdx
2xx2xx
sinx解:
dfxdxxd()coscos'si,,,xxxdx,,n',dx,,,,2x15(当函数不恒为0,为常数时,下列等式不成立的是(B)。
fx()ab,
db,f(x)dx,f(x)A.B.(f(x)dx),f(x),,adx
b,C.D.df(x),f(b),f(a)f(x)dx,f(x),c,,a
解:
(())()fxdxfx,A.成立,为不定积分的性质;,
bB.不成立,常数,而常数的导数为零;fxdx(),,a
fxdxfxc()(),,C.成立,为不定积分的性质;,
bD.成立,为牛顿,莱布尼兹公式。
dfxfbfa()()(),,,a
1116(设函数f(x)Fx()fdx(),的原函数为,则(A)。
2,xx
111FC(),fC(),A(,,FC()FxC(),;B(;C(;D(xxx
11fuduFuC,,fx()Fx()解:
函数的原函数为,,,dxd,,,,,2,xx
1111111,,,,,,fdx(),,,,,,fdxfd(),,FC,,,,,,22,,,xxxxxxx,,,,,,17(下列无穷积分为收敛的是(B)。
,,0,,01,x2x1edxdxA.B.C.D.edxsinxdx,,,,1,,0,,2x
,,0,,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律:
?
(0),?
,,,a,,xp,0,发散,1,收敛,
,,,,,,p,0,发散npx,xedxn,N,?
、发散?
sinxdxcosxdx,,,0aap,0,收敛
,,1p,,,20p,,10,,,解:
A.;B.,收敛;C.,发散;D.,发散1sinxdx,0218(下列无穷积分为收敛的是(C)。
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2332高等数学期末复习指导
x,,,,,,,,122,2A.C.D.edxxdxxdx,,,,1111x
解:
A.发散;B.发散;C.收敛;D.发散;
三(计算题
12,x2x41x,4x,,,,limlim1、求极限2、求极限,,,,x,,x,,41x,43x,,,,,414122xx,,,,44333xx,,,解:
?
解:
?
,,1,,,1414141xxx,,,434343xxx,,,,,212x,,,,32x3lim,-lim,1x,,x,,43x,241x,
3,2?
原题,?
原题,ee
xex,,1xx,03、求极限解:
?
,,,,e,1limln1,xxx,,,0xxxln
(1),
xxxxex1,,,,e1ex,,1e,1lim?
原题,=,limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x,,
sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限lim解:
?
,,,,141,,xx,0,,141x
3x3,lim?
原题,,x,0,22x
2ln(13),x22sin2x2xx,0、求极限5解:
?
,,,,,3xlimln(13),xx,0xxsin2
23,3x,?
原题,lim,x,02xx,2
sin2xe,16、求极限lim,x0tan4x
sin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:
?
,,,,,e,1
2x1lim?
原题,,x,04x2
3dy7、设函数,求yxx,,ln
(2)
13323yxxxx''ln
(2)ln2',,,,,,,,,,,3ln
(2)2'xxxx解:
,,,,,,,,2,x
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3x2,,,3ln
(2)xx2,x
3,,x2,3ln
(2)xxdx,,dy,,2,x,,
cosx8、设函数,求。
dyyxex,,2,,
3xcos2解:
yxex,,2
131,,coscosxxxcosxxcoscos222,,,exex'3yxex''2',,,,,exexxcos'3,,,,,,,,
,
1xxcoscos2,,,exxexsin3
1,,xxcoscos2,exxexdx,,sin3dy,,
,
2x,129、设函数,求dy。
yxee,,,cos(ln2)
2,x,12,解:
yxeecosln2,,,,,
2,,x,12,cosln2xee,,,,,,,,,
2,x,12,sinln2ln210xxex,,,,,,,,,
21x,1,xxex,,,,sinln222,,,,x2
2sinlnxx,1,,,2xex
2sinln2x,,x,1,,,dy2xedx,,x,,
3xedy10、设函数y,,求。
2,x
33xx,33xx33xx,3x,exex22,,,,,,,,,exxe321,,,32exe,,,,,,,,,,,,e,解:
y,,,,,,2222,x22,,xx2,x,,,,,,,,
33xx32ex,,e,,dy,dx22,x,,
sin3xy,dy11、设函数,求。
cos1x,
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,,sin31cossin31cosxxxx,,,,,,,,,sin3x,,解:
y,,,,21cos,x,,1cos,x,,
cos331cossin3sinxxxxx,,,,,,,,,,21cos,x,,
3cos31cossin3sinxxxx,,,,,21cos,x,,
3cos31cossin3sinxxxx,,,,dy,dx21cos,x,,
x2xdxsin12、计算不定积分,2
22x20解:
x
+—+
xxxx,4cossin,2cossin82222
xxxx22,,,,2cos8sin16cosxxCxdxsin,,2222
3xxedx13、计算不定积分解:
10x,
,—
11,3x,3x,3x,eee93
11,3x,3x,3xxedx,xe,,eC,,39
四、应用题
1、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
h解:
设圆柱体底半径为,高为,r
42,,h则体积Vrh,,,42,r
材料最省即表面积最小
48222S,,,,,,r表面积rr2,,,rrh,2,,2rr,
843,,S'2rS',,令,0,得唯一驻点,r2r,
4433所以当底半径为米,此时高为米时表面积最小即材料最省。
,
2、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米,侧面单位面积的造价为20
元/平方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
第10页共19页
2332高等数学期末复习指导
h解:
设圆柱体底半径为,高为,rr
162h则体积,,hVrh,,,162,r
64022,,,,,,,,且造价函数frrhr1020210r
64043,,,,,令,得唯一驻点fr200,r22r,
4433所以当底半径为米,此时高为米时造价最低。
2,,
3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解:
要使建造费用最省,就是在体积不变的情况下,使圆柱体的表面积最小。
h设圆柱体底半径为,高为,r
1082,,则体积hVrh,,,1082,r
2S,,,,,,r则圆柱体仓库的表面积为,,,rr2,,rrh,22rr,
3,,S'S'2r,,令,0,得唯一驻点,,,,3r2r,,
4433所以当底半径为米,此时高为米时表面积最小即建造费用最省。
,33,,
4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图),为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少。
y2x解:
设长方形的底边长为,高为,
2222,,,yx64y则88,,xy
2Sxyxx,,,2264面积xx
2,,x2,Sx,,,,2640令,得唯一驻点x,42,,264,x,,
所以当底边长为米,此时高为米时面积最大。
8242
5、在半径为8的圆内内接一个长方形,为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少。
2x2y解:
设长方形的底边长为,高为,
2222,,,yx64则8,,xy
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2Sxyxx,,,4464面积
2,,x2,令Sx,,,,4640,得唯一驻点x,42,,264,x,,
米,此时高为米时面积最大。
所以当底边长为8282
第二部分高等数学基础历年试题汇编
一、单项选择题(每小题4分,本题共20分)
xxee,1.函数的图形关于(A)对称(y,2
yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x
2.在下列指定的变化过程中,(C)是无穷小量(
11xsin(x,,)sin(x,0)(A)(B)xx
1
x(C)ln(x,1)(x,0)(D)e(x,,)
f(x2h)f(x),,00lim3.设f(x)在可导,则,(C)(x0h,02h
,,,(A)(B)(C)(D)f(x)2f(x),f(x),2f(x)0000
1f(x)dx,F(x),cf(lnx)dx,4.若,则(B)(,,x
11F(lnx),cF(),c(A)F(lnx)F(lnx),c(B)(C)(D)xx
5.下列积分计算正确的是(D)(
1001,x(A)(B)(C)(D)xsinxdx,0edx,1sin2xdx,πxcosxdx,0,,,,,,,,,,11
xx22,y,6.函数的图形关于(B)对称(2
yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x
7.在下列指定的变化过程中,(A)是无穷小量(
11xsin(x,0)xsin(x,,)(A)(B)xx
xlnx(x,0)(C)(D)e(x,,)
8.下列等式中正确的是(B)(
dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx),(A)(B)(C)(D)d(3),3dxxxx
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1f(x)dx,F(x),c9.若,则f(x)dx,(C)(,,x
(A)(B)(C)(D)F(x)F(x),c2F(x),c2F(x)
10.下列无穷限积分收敛的是(D)(
,,,,,,,,111xdxdx(A)(B)(C)dx(D)edx2,,,,1110xxx
xxee,11.函数的图形关于(A)对称(y,2
yy,x(A)坐标原点(B)轴(C)轴(D)x
12.在下列指定的变化过程中,(C)是无穷小量(
11xsin(x,,)sin(x,0)(A)(B)xx
1
x(C)ln(x,1)(x,0)(D)e(x,,)
f(x2h)f(x),,00lim13.设f(x)在可导,则,(C)(x0h,02h
,,,(A)(B)(C)(D)f(x)2f(x),f(x),2f(x)0000
1f(x)dx,
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