九年级数学上册第二十二章二次函数教学设计全章.docx
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九年级数学上册第二十二章二次函数教学设计全章
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
学习目标
1.结合具体情境分析确定函数表达式,体会二次函数的意义和相关概念.
2.在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究得到发现的乐趣,同时进一步体会建立函数模型的思想.
3.能利用二次函数解决简单的实际问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)学生观看图片
雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线.
问题1:
这些曲线能否用函数关系式表示?
问题2:
如何画出这样的函数图象?
(二)列出下列问题中两个变量之间的关系式:
(1)圆的面积S与圆的半径r的关系;
(2)多边形的对角线线数d与边数n的关系;
(3)某公司的生产利润原来是100万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的关系式是怎样的?
二、信息交流,揭示规律
问题1:
回忆一次函数的定义:
学生活动:
以小组为单位,讨论交流一次函数的特征.
问题2:
判断在前面问题中写出的三个函数式是什么类型的函数.
问题3:
类比一次函数的特征,小组讨论得出二次函数的定义.
问题4:
类比一元二次方程的知识,得出各部分的名称和意义.
三、运用规律,解决问题
下列函数中哪些是二次函数,哪些不是?
若是二次函数,指出相应的a,b,c.
(1)y=-3x2+7;
(2)y=x(x-5);(3)y=3x(2-x)+3x2;(4)y=(x+2)(2-x);(5)y=x4+2x2+1;(6)y=ax2+bx+c.
四、变式训练,深化提高
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式,二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .
2.关于x的函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m,当m=0时,它是 函数;当m=-2时,它是 函数.
3.已知函数y=,当m= 时,它是二次函数.
变形:
已知函数y=(m+1),当m= 时,它是二次函数.
4.九年级
(2)班有x名学生,每2名学生之间握手1次,总握手次数y与人数x有什么关系?
判断它是什么类型的函数.
5.举出二次函数的例子.
6.编一个实际问题,使得列出的式子是二次函数.
五、反思小结,观点提炼
1.这节课你最大的收获是什么?
2.这节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
参考答案
一、设计问题,创设情境
(二)
(1)S=πr2
(2)d=n2-n
(3)y=100x2+200x+100
二、信息交流,揭示规律
问题1:
一般地,形如y=kx+b(k,b都是常数,k≠0)的函数叫做一次函数.
学生活动:
一次函数的特征如下:
(1)自变量的指数为1;
(2)常数项可以为0;
(3)一次项不能为0,其系数是不为0的任意实数;
(4)解析式为整式.
问题2:
二次函数.
问题3:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
问题4:
a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
特别强调二次项系数a≠0.
三、运用规律,解决问题
(1)
(2)(4)是二次函数.
(1)a=-3,b=0,c=7;
(2)a=1,b=-5,c=0;
(4)a=-1,b=0,c=4.
四、变式训练,深化提高
1.-3x2 -16 12
2.二次 一次
3.1或-1 1
4.y=x(x-1) 二次函数
五、反思小结,观点提炼
略
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念.
2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.
3.会用待定系数法确定二次函数y=ax2(a≠0)的解析式.
4.在类比探究二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的过程中,进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.一次函数y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=(k≠0)图象是什么形状?
它们分别有哪些性质?
2.通常怎样画一个函数的图象呢?
二、信息交流,揭示规律
问题1:
画出二次函数y=x2的图象.
(一)列表
1.自变量x的取值范围是什么?
x取整数还是取其他数较好?
y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系?
2.若选7个点画图,你准备怎样选?
(二)描点
1.在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长?
2.根据所取得的点,如何画出坐标系?
(三)连线
1.观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?
2.我们应该怎样连接这7个点?
问题2:
在同一坐标系中画出二次函数y=x2,y=-x2的图象.
问题3:
观察两个函数图象回答下面的问题:
函数的图象有什么特点?
你是怎样判断出函数的图象有上述特征的?
问题4:
全班学生分为两组,分别在同一平面直角坐标系中画出
(1)y=2x2,y=-2x2;
(2)y=3x2,y=-3x2的图象.
问题5:
总结归纳二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质.
三、运用规律,解决问题
函数y=x2的图象开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
当x 时,有最 值,最小值为 ;当x 时,y随着x的增大而减小.
四、变式训练,深化提高
1.已知抛物线的解析式是y=-x2,那么它的顶点坐标是 .
2.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最低点,则m的取值范围是 .
3.若y=(2-m)是二次函数,且开口向上,则m的值是 .
4.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点( )
A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-4,2)D.(4,-2)
5.如果抛物线y=(2-a)x2的开口向下,直线y=(5-a)x经过第一、三象限,求以整数a的长为边的等边三角形的周长.
五、反思小结,观点提炼
1.这节课你最大的收获是什么?
2.这节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
布置作业
课本第32页练习.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线.
2.利用描点法画函数的图象分三步:
列表、描点、连线.
二、信息交流,揭示规律
问题1:
(一)列表:
1.略
2.(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9).
(二)描点:
1.x轴的正、负半轴画的一样长,y的正半轴画的较长,负半轴画的较短就可以.
2.略
(三)连线:
完成图象.
问题2:
问题3:
两个图象都是轴对称图形.原因可以是:
(1)观察图;
(2)看列表;(3)直接根据解析式.
简单总结如下:
二次函数的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.
实际上,二次函数的图象都是抛物线.
问题4:
略
问题5:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是x轴,顶点是原点(0,0).
当a>0时,开口方向向上.当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小.当x=0时,y取最小值0.
当a<0时,开口方向向下.当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大.当x=0时,y取最大值0.
三、运用规律,解决问题
向上 y轴 (0,0) =0 小 0 x<0
四、变式训练,深化提高
1.(0,0) 2.m>-1 3.- 4.A 5.9或12
布置作业
(1)开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点.
(3)开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.
(4)开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点.
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)
学习目标
1.能画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的联系.
3.能灵活运用二次函数y=ax2+k(a≠0)的知识解决简单的问题.
4.利用抛物线y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的联系解决简单的问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:
一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
问题2:
你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+2的图象之间有何关系吗?
二次函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象之间又有何关系?
二、信息交流,揭示规律
问题1:
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+2的图象.观察这两个函数图象,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些相同和不同之处?
你能由此说出函数y=2x2与y=2x2+2的图象之间的关系吗?
问题2:
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象,并说明:
通过怎样的平移,可以由抛物线y=-x2+1得到抛物线y=-x2-1.
问题3:
二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图象有什么关系?
三、运用规律,解决问题
1.把抛物线y=2x2向上平移5个单位长度,会得到抛物线 ,向下平移3个单位长度,会得到抛物线 .
2.抛物线y=x2+k的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它与抛物线y=x2有什么关系?
四、变式训练,深化提高
1.函数y=x2-1的图象可由y=x2的图象向 平移 个单位长度得到.
2.把函数y=3x2+2的图象向下平移5个单位长度,得到的图象的函数解析式为 .
3.已知(m,n)在y=ax2+a的图象上,(-m,n) (填“在”或“不在”)y=ax2+a的图象上.
4.若y=x2+(2k-1)的顶点是原点,则k ;若顶点位于x轴上方,则k ;若顶点位于x轴下方,则k .
五、反思小结,观点提炼
1.你有什么收获?
2.本节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
布置作业
课本第33页练习.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:
平行.
问题2:
后一个可以由前一个平移得到.
二、信息交流,揭示规律
问题1:
解:
列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y=2x2+2
…
20
10
4
2
4
10
20
…
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图所示:
相同点:
开口方向都向上,对称轴都是y轴;
不同点:
顶点坐标不同.
函数y=2x2+2的图象是由函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到的.
问题2:
图略.抛物线y=-x2+1沿对称轴向下平移2个单位长度便得到抛物线y=-x2-1.
问题3:
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,0)
y=ax2+k
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,k)
三、运用规律,解决问题
1.y=2x2+5 y=2x2-3
2.向上 y轴 (0,k) 它是由抛物线y=x2平移得到的
四、变式训练,深化提高
1.下 1 2.y=3x2-3 3.在 4.= > <
五、反思小结,观点提炼
(1)二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移而得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
(2)y=ax2+k(a≠0)中k决定图象与y轴的交点的位置.当k=0时,图象过原点;当k>0时,图象与y轴正半轴相交;当k<0时,图象与y轴负半轴相交.
布置作业
图略.
开口方向
对称轴
顶点
y=x2
向上
y轴
(0,0)
y=x2+2
向上
y轴
(0,2)
y=x2-2
向上
y轴
(0,-2)
y=x2+k:
开口方向:
向上;对称轴:
y轴;顶点:
(0,k).
当k>0时,抛物线y=x2向上平移k个单位长度得到抛物线y=x2+k;
当k<0时,抛物线y=x2向下平移-k个单位长度得到抛物线y=x2+k.
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第2课时)
学习目标
1.能画出二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)图象之间的联系.
3.能灵活运用二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的知识解决简单的问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:
二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系?
问题2:
函数y=(x-2)2的图象,能否也可以由函数y=x2平移得到?
二、信息交流,揭示规律
问题1:
在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:
y=x2,y=(x+2)2,y=(x-2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问题2:
在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:
y=-x2,y=-(x+1)2和y=-(x-1)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问题3:
二次函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2(a≠0)的图象有什么关系?
三、运用规律,解决问题
1.抛物线y=(x-1)2的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,它可以看做是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的.
2.与函数y=2(x-2)2形状相同的抛物线的解析式是( )
A.y=1+ B.y=(2x+1)2
C.y=(x-2)2D.y=2x2
四、变式训练,深化提高
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2
x-
2图象的对称轴是直线 ,顶点是 .
3.若
-,y1
-,y2
y3
为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 .
五、反思小结,观点提炼
1.谈一谈自己的收获.
2.你认为怎样的学习模式有利于自己的学习?
布置作业
在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
y=-x2,y=-(x+2)2,y=-(x-2)2.
观察三条抛物线的位置关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
问题2:
应该可以.
二、信息交流,揭示规律
问题1:
解:
列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
2
0
2
…
y=(x+2)2
…
0
2
8
…
y=(x-2)2
…
8
2
0
…
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图所示.
它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0).
问题2:
它们的开口方向都向下;对称轴分别是y轴、直线x=-1和直线x=1;顶点坐标分别是(0,0),(-1,0),(1,0).
问题3:
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移而得到:
当h>0时,向右平移h个单位长度.
当h<0时,向左平移-h个单位长度.
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
(a≠0)
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,0)
y=a(x-h)2
(a≠0)
当a>0时,向上
当a<0时,向下
x=h
(h,0)
三、运用规律,解决问题
1.向上 直线x=1 (1,0) 右 1
2.D
四、变式训练,深化提高
1.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
2.x=,
0
3.y1>y2>y3
布置作业
图略.把抛物线y=-x2向左平移2个单位长度,就得到抛物线y=-(x+2)2.把抛物线y=-x2向右平移2个单位长度,就得到y=-(x-2)2.
三条抛物线都是开口向下;对称轴依次是y轴.直线x=-2和直线x=2;顶点坐标依次是(0,0),(-2,0),(2,0).
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标
1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想.
2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:
你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
问题2:
函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
问题3:
不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性吗?
二、信息交流,揭示规律
问题1:
能否将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式?
并解决一中的问题3.
问题2:
将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.
问题3:
由此你可以得到什么?
三、运用规律,解决问题
问题:
用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质.
四、变式训练,深化提高
1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是 .
2.抛物线y=2x2+8x的开口向 ,对称轴是 .
3.抛物线y=-2x2-4x+8的开口向 ,顶点坐标是 .
4.两人合作,其中一人说出一个二次函数,另一人说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
五、反思小结,观点提炼
本节课你有什么收获?
有什么疑问?
布置作业
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2+2x
(2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8
(4)y=x2-4x+3
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:
函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).
问题2:
函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的.
问题3:
开口方向:
向上.(对称轴、顶点坐标、增减性和最值师生共同探究.)
二、信息交流,揭示规律
问题1:
y=x2-6x+21=(x-6)2+3.
开口方向:
向上;对称轴:
直线x=6;顶点坐标:
(6,3).
在对称轴的左侧,抛物线从左向右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左向右上升.也就是说,当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,函数取最小值3.
问题2:
y=ax2+bx+c=a
x2+x+
=a
x2+x+
2-
2+
=a
x+
2+
=a
x+
2+.
问题3:
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,顶点坐标是
-,
.当x=-时,函数取最值.
如果a>0,当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小;
三、运用规律,解决问题
y=-2x2-4x+1=-2
(x2+2x-
=-2
x2+2x+1-1-
=-2(x+1)2+3,平移y=-2x2的图象能得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象.如果直接画二次函数的图象,由图象的对称性列表时,自变量取顶点横坐标-1及其左右的值,然后描点画图.由图象可以看出,在对称轴的左侧,抛物线从左到右上升;在对称轴的右侧,抛物线从左到右下降.由此得出:
当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小.
四、变式训练,深化提高
1.(1,1) 2.上 x=-2 3.向下 (-1,10) 4.略
五、反思小结,观点提炼
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可转化为y=a
x+
2+,所以y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
-,
对称轴是x=-,a的正负决定抛物线的开口方向.
2.一般的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(高)点,所以当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c取最小(大)值.
布置作业
(1)开口向上,对称轴是x=-,顶点坐标是
-,-
;
(2)开口向下,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,1);
(3)开口向下,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,0);
(4)开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-5).
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 习题课
学习目标
1.体会二次函数的意义,会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向和对称轴.
3.会利用抛物线上点的坐标确定二次函数的解析式.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.已知函数y=2(x-1)2+5,当x< 时,y随x的增大而减小;当x> 时,y随x的增大而增大.
2.已知函数y=-2x2+4x-7,当x< 时,y随x的增大而增大;当x> 时,y随x的增大而减小.
3.一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,求这个二次函数的解析式.
4.汽车刹车后行驶的距离s(单位:
m)关于行驶的时间t(单位:
s)的函数解析式是s=15t-6t2.汽车刹车后到停下来前进了多远?
二、信息交流,揭示规律
1.下列各式中是二次函数的有( )
(1)y=2x2-3x+5;
(2)y=3-2x+5x2;(3)y=+2x-3;(4)y=(2x-3)(3x-2)-6x2;(5)y=ax2+bx+c;(6)y=(m2+1)x2+3x-4;(7)y=m2x2+4x-3.
A.1个
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- 九年级 数学 上册 第二十二 二次 函数 教学 设计