参考文档大学计算方法试题范文word版 17页.docx

参考文档大学计算方法试题范文word版 17页.docx

《参考文档大学计算方法试题范文word版 17页.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《参考文档大学计算方法试题范文word版 17页.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

参考文档大学计算方法试题范文word版17页

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！

==本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！

==

大学计算方法试题

篇一：

西华大学201X年应用计算方法试题及答案

研究生课程考试试题

课程名称：

计算方法考试类型（考试或考查）：

考试年级：

201X学时：

54考试时间：

201X年12月20日专业：

学生姓名:

学号:

一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）

1、经过四舍五入得到近似数x?

56.430，它有2、设A是n阶方阵，A的1-范数为max

1?

j?

n

*

?

a

i?

1

n

ij

。

3、设A?

?

?

10?

?

，A的谱半径?

（a）?

1。

?

?

31?

3

33xk?

3xk?

12xk?

1

4、用牛顿迭代法求方程x?

3x?

1?

0的根，迭代公式为xk?

1?

xk?

。

?

22

3（xk?

1）3（xk?

1）

5、设解线性方程组的迭代公式为x6、设lk（x）（k?

0,1,

（k?

1）

?

Bx（k）?

d，则迭代法收敛的充要条件是?

（B）?

1。

n

n）是关于n?

1个互异结点的n次插值基函数，则?

lk（x）?

。

k?

0

7、对于n?

1个结点的插值型求积公式8、对初值问题?

?

b

a

f（x）dx?

?

Akf（xk）至少具有n次代数精度。

k?

0

n

?

y?

?

?

20y1

，当步长h满足0?

h?

时，Euler方法是绝对稳定的。

10?

y（0）?

1

二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）

1、下列诸数是按四舍五入方法得来的近似数：

p?

1.1020,q?

0.031,r?

385.6

试计算

（1）p?

q?

r；

（2）pqr，并并指出计算结果有多少位有效数字。

111

?

101?

5?

0.00005,e（q）?

?

10?

1?

3?

0.00005,e（r）?

?

103?

4?

0.05.222

（1）p?

q?

r的绝对误差限为?

（p?

q?

r）?

0.0501?

0.5,又p?

q?

r?

386.1330,所以

1

e（p?

q?

r）?

0.5?

?

103?

3,p?

q?

r有3位有效数值,故p?

q?

r?

386.

2

（2）pqr的绝对误差限为?

（pqr）?

|qr|?

（p）?

|pr|?

（q）?

|pq|?

（r）?

0.05,pqr?

13.1728672,

12?

3

所以e（pqr）?

0.05?

?

10,pqr有3位有效数值,故pqr?

13.2

2

解:

e（p）?

2、应用牛顿法于方程x?

a?

0,

解:

（1）xk?

1?

3

21axk?

.233xk

x3?

a?

0的单根,

.

2

当a?

0时,迭代公式退化为xk?

1?

xk,xk?

0,迭代公式收敛.

3

（2）当a?

0时

3、用LU分解求解方程组：

?

3x1?

x2?

2x3?

3?

?

x1?

x2?

x3?

4。

?

2x?

x?

x?

3?

123

?

?

10

3?

123?

?

?

?

?

1?

?

?

?

1?

b?

?

4?

设A?

LU,则L?

?

解:

设A?

?

111

?

3?

21?

1?

?

3?

?

25?

?

?

?

?

?

34

11T

化为:

Ly?

b,Ux?

y,解Ly?

b得y?

（3,3,?

）.解方程Ux?

4

4、取初始向量x（0）?

（0,0,0）T，用Jacobi迭代法求方程组

?

?

?

?

3?

12?

0?

?

?

?

41?

方程0?

U?

?

0

?

?

33?

?

?

11?

?

00?

?

1?

?

4?

?

y得:

x1?

1,x2?

2,x3?

1.

?

x1?

2x2?

2x3?

1

?

?

x1?

x2?

x3?

3?

2x?

2x?

x?

5

23?

1

（4）

的解。

写出迭代公式，并计算出x3。

（k）（k）?

x1（k?

1）?

1?

2x2?

2x3?

（k?

1）

（k）（0）T

（1）T

（2）T

解:

?

x2,当x?

（0,0,0）时,x?

（1,3,5）,x?

（5,?

3,?

3）,?

3?

x1（k）?

x3

?

（k?

1）（k）（k）x?

5?

2x?

2x12?

3

x（3）?

（1,1,1）T,x（4）?

（1,1,1）T

（4）

所以x3?

1

5

解:

由于1.9介于1和4之间,而1和4的算术平方根为1和2.故x0?

1,x1?

4,此时y0?

1,

y1?

2.由线性插值公式得

6、求数据:

?

1.9?

41.9?

1

?

1?

?

2?

1.31?

44?

1

的最小二乘拟合y?

a0?

a1x?

a2x。

?

7028?

?

a0?

?

1?

23911?

?

?

?

?

?

0?

?

a1?

?

?

?

39?

解之得a0?

a1?

?

a2?

?

故数据的最解:

法方程为?

028

32884?

280196?

?

a?

?

?

7?

?

?

?

2?

?

?

小二乘拟合函数为y?

7、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

23911

?

x?

x2.32884

?

2

?

2

f（x）dx?

Af（?

a）?

Bf（0）?

Cf（a）

有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？

它是否是Gauss型的？

解:

公式要确定的参数有4个,先设公式对函数f（x）?

1,x,x2,x3精确成立,注意当f（x）?

x,x3时所得方程相同.故最后假设公对函数f（x）?

1,x,x2,x4精确成立,得

?

A?

B?

C?

4

?

?

Aa?

Ca?

0?

?

216?

Aa?

Ca2?

3?

?

4644?

Aa?

Ca?

5?

101610,B?

C?

和a?

求积公式为

9992

解方程组得A?

101610f（?

?

f（0）?

f

?

?

2

9991585与高斯型求积公式?

f（x）dx?

f（?

f（0）?

f比较,得出公式是Gauss型的,它有

?

19995次代数精度.

f（x）dx?

三、证明题（6分）

证明求解微分方程初值问题的中点方法yn?

1?

yn?

1?

2hf（xn,yn）为二阶方法。

证明:

由局部截断误差的定义

Tn?

1?

y（xn?

1）?

y（xn?

1）?

2hf（xn,y（xn））?

y（x）?

y（nx?

h）?

2?

hy（nx）n?

h

h23

?

?

?

y（nx）?

O（h）?

y（xn）?

hy（nx）2

?

h23?

?

?

?

?

?

y（x））?

hy（x?

）y（x?

）O（?

hnnn

2?

?

?

?

（x?

2hyn）

?

O（h）

局部截断误差为h同阶无穷小,故中点方法是二阶方法.

3

3

篇二：

河南理工大学计算方法试题答案（A）

河南理工大学201X-201X学年第一学期

3

二、已知方程x?

x?

5在区间[1,2]内有根

（1）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因；

《计算方法》试卷（A卷）

（2）写出牛顿迭代格式及双点弦截格式。

一、填空题（每空3分，共42分）

1、若x?

31.41592是x*

的具有五位有效数字的近似值，则误差限是。

2、利用二分法求方程f（x）?

0在区间[a,b]内的根，则二分n次后的误差限为。

?

4?

10?

3、矩阵A?

?

?

?

14?

1?

?

，则矩阵A的杜丽特尔分解L?

U?

?

?

0?

14?

?

?

4x1?

x2

?

74、求解方程组?

?

x

1?

4x2?

x3?

4的雅可比迭代格式为，用雅可比迭代

三、

（1）取7个点，分别复化的梯形公式、复化的Simpson公式计算?

?

x2?

4x3?

8?

6

0x2dx；法求解该方程组是（收敛、发散）的。

（2）利用这7个点能用复化的柯特斯吗，为什么？

5、对f（x）?

3x3

?

2，差商f[0,1,2,3]?

f[0,1,2,3,4]?

。

6、求积公式

?

b

a

f（x）dx?

（b?

a）f（

a?

b

2

）的代数精度为。

7、数值积分中的柯特斯公式为C?

?

?

12?

8、矛盾方程组?

0

1?

?

?

?

?

1?

?

x?

?

1?

?

1?

?

?

5?

1?

?

?

的最小二乘解为?

?

10?

?

?

?

x2?

。

?

?

2?

?

?

3?

?

?

9、求解微分方程初值问题?

?

y'?

xy

x?

[0,1]

的欧拉公式为?

y（0）?

1

h?

0.5

，改进的欧拉公

式为，用改进的欧拉计算y1?

密

………………

…

……四、利用在点1,4,9的函数值：

…f（x）?

x

（1）建立其拉格朗日插值多项式，并进行误差分析；

…

（2）构造差商表，建立牛顿插值多项式。

……

…

……线………………………………封………………………………密…………………………

?

x1?

x2?

x3五、

（1）用列主元消去法求解方程组?

?

?

4?

5x1?

4x2?

3x3?

?

12；

?

?

2x1

?

x2?

x3?

11

?

3x1?

2x2?

10x3?

15

（2）对于方程组?

?

10x1?

4x?

2?

x3?

5试建立一种收敛的赛德尔迭代格式并说明收敛理由；写出其

?

2x1

?

10x2?

4x3?

8

迭代格式，取x（0）?

（0,0,0），计算x

（1）。

篇三：

大学计算方法和数值分析复习试题

201X计算方法复习

务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：

1.会平方根法求解方程组

2.会求Lagrange,Newton插值多项式和余项

3.会Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式，迭代矩阵及其谱半径，收敛性。

4.会高斯-勒让德公式求积分

5.会写非线性方程根的Newton迭代格式6.会用改进的欧拉公式求解初值问题7.会求最佳平方逼近多项式8.会计算求积公式的代数精度9.会写插值基函数

10.会三次样条函数的概念

11.会计算差商12.了解矩阵范数

第一章、绪论

（一）考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。

（二）复习要求

1.了解数值分析的研究对象与特点。

2.了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。

3.了解误差的定性分析及避免误差危害。

例题

例1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。

例2.为了提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将ln（x?

x2?

1）改写为

?

ln（x?

x2?

1）。

例3.

第二章、插值法

（一）考核知识点

插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数；

（二）复习要求

1.了解插值的概念。

2.掌握拉格朗日（Lagrange）插值法及其余项公式。

3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。

4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

x*的相对误差约是x*的相对误差的1/3倍.

5.了解埃尔米特（Hermite）插值及其余项公式。

6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。

7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。

例题例1.

设f（x）=x3+x2-3,则差商f[3,32,33,34]=1.

例2.设l0（x）,l1（x）,l2（x）,l3（x）是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则

?

l

j?

0

3

j

（x）（xj?

2）3=（x?

2）3

例3.已知列表函数y?

f（x）

试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式N3（x），并写出插值余项。

解：

牛顿插值公式是

Nn（x）?

f（x0）?

f?

x0,x1?

（x?

x0）?

f?

x0,x1,x2?

（x?

x0）（x?

x1）?

?

?

f?

x0,?

xn?

（x?

x0）?

（x?

xn?

1）

N3（x）?

?

5（x?

1）?

2（x?

1）（x?

2）?

（x?

1）（

x?

2）（x?

3）

?

x3?

4x2?

3

f?

?

?

（?

）

（x?

1）2（x?

2）3!

例4已知函数y=f（x）的观察数据为

插值余项是：

R（x）?

试构造f（x）n解先构造基函数

x（x?

?

）（x?

?

）x（x?

?

）（x?

?

）

l?

（x）?

?

?

（?

?

?

?

）（?

?

?

?

）（?

?

?

?

）?

?

（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）

?

（?

?

（?

?

））（?

?

?

）（?

?

?

）?

?

（x?

?

）x（x?

?

）x（x?

?

）（x?

?

）

l?

（x）?

?

?

（?

?

?

）（?

?

?

）（?

?

?

）?

?

（x?

?

）x（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）x（x?

?

）

l?

（x）?

?

（?

?

?

）（?

?

?

）（?

?

?

）?

?

所求三次多项式为

l?

（x）?

P3（x）=k?

0＝

?

yl

3

kk

（x）

?

?

?

x（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）x（x?

?

）x（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（x?

?

）（?

?

）?

?

?

?

?

?

?

?

?

＋－＋

?

?

?

?

?

?

x?

x?

x?

?

?

?

?

?

＝?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

P3（－1）＝?

?

?

?

?

?

?

第三章、函数逼近与曲线拟合

1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。

2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。

3.理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。

4.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。

5.了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换。

例题

?

1,x?

中寻求对于f?

x?

?

lnx的1.定义内积（f,g）?

?

f（x）g（x）dx，试在H1?

Span

1

2

最佳平方逼近多项式p?

x?

.

解f?

x?

?

lnx，?

0（x）?

1，?

1（x）?

x

?

?

0,?

0?

?

?

11dx?

1，?

?

1,?

0?

?

?

1?

?

1,?

1?

?

?

1

2

22

xdx?

32

27

，?

?

0,f?

?

?

lnxdx?

2ln2?

1，

13

2

?

?

1

f?

?

?

1xlnxdx?

2ln2?

3，

4

x2dx?

法方程为

?

13/2?

?

a0?

?

2ln2?

1?

?

3/27/3?

?

a?

?

?

2ln2?

3/4?

，?

?

?

1?

?

?

解得a0?

?

0.6371，a1?

0.6822。

所求的最佳平方逼近多项式为

p（x）?

0.6822x?

0.6371。

2.设M2?

span{1,x2}，试在M2中求f（x）?

x在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元。

解:

设

?

0?

x?

?

1,?

1?

x?

?

x2,f（x）在M2中的最佳平方逼近元为

P?

x?

?

a0?

0?

x?

?

a1?

1?

x?

则a0和a1满足如下正规方程组

?

?

?

0，?

0?

?

?

0，?

1?

?

?

a0?

?

?

?

0，f?

?

?

?

?

?

，?

?

?

?

，?

?

?

?

?

a?

?

?

?

?

f?

?

011?

?

1?

?

1?

?

1

?

22/3?

?

1?

即?

?

?

1/2?

2/32/5?

?

?

?

解得a1?

15/16,a0?

3/16

所求最佳平方逼近元为P（x）?

3/16?

15/16*x2

3.给定数据表

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.

解y（x）?

c0?

c1x?

c2x2?

c3x3

?

1?

24?

8?

?

50100?

?

1?

11?

1?

?

010034?

?

?

?

A?

?

1000?

，ATA?

?

?

100340?

?

?

?

?

?

1111?

0340130?

?

?

?

1248?

?

ATy?

（2.9,4.2,7,14.4）T

法方程

ATAc?

ATy

的解为c0?

0.4086，c1?

0.39167，c2?

0.0857，c3?

0.00833得到三次多项式

y（x）?

0.4086?

0.39167x?

0.0857x2?

0.00833x3

误差平方和为?

3?

0.000194

第四章、数值积分与数值微分数

（一）考核知识点

代数精度；插值型求积公式，牛顿—柯特斯公式，复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。

（二点、三点）高斯――勒让德求积公式。

（二）复习要求

1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。

2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。

3.掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。

4.了解龙贝格（Romberg）求积算法，知道外推法。

5.会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。

例题

1.试确定参数A,B,C及a,使数值积分公式

?

2

?

2

f（x）dx?

Af（?

）?

Bf（0）?

Cf（?

?

）

有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?

它是否是Gauss公式?

解令公式对f（x）=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有4=A+B+C,0=Aa-Ca,16/3=Aa2+Ca2,0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4,解得:

A=C=10/9,B=16/9,a=（12/5）1/2

容易验证公式对f（x）=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。

211123

f（）?

f（）?

f（）具有3次代数精度.

0343234

3.用两点高斯-勒让德公式求积分

2.求积公式?

f（x）dx?

1

1

I?

?

解:

xdx

x?

0.5t?

0.5,x?

?

0,1?

t?

?

?

1,1?

dx?

0.5dt

篇四：

西安交通大学计算方法考题B_201X

共7页第1页

共8页第2页